数学人教版九年级上册垂径定理第一课时.ppt

1、垂直于弦的直径,探究1：,圆是不是轴对称图形呢？它有多少条对称轴？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.,B,A,CD与AB不垂直,CDAB,直径CD与弦AB的相交时有几种情况？,思考：图中有没有相等的线段、相等的弧？,怎样证明我们的猜想呢？,探究2：,垂径定理：,垂直于弦的直径,_,并且_,_,平分优弧,平分劣弧,平分弦所对的两条弧,平分弦,题设,结论,直径 垂直于弦, 平分弦 平分优弧 平分劣弧,符号语言：, CD是直径，,CDAB, AE=BE,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,注意：定理中的两个条件 过圆心（直径），垂直于弦 缺一不可！,是,是,例

2、1：如图，已知在O中，弦AB的长为6厘米，圆心O到AB的距离为4厘米，求O的半径。,解：连结OA，过点O作OEAB,.,A,B,O,3(垂径定理), OE4厘米,RtAOE中，由勾股定理得：OA5厘米,答：O的半径为5厘米。,3,4,?,练习2：如图，OCAB于D，快速填空： (1) 若AB=8，OD=3, 则OC=_. (2) 若OC=5，AB=6， 则OD=_，CD=_.,5,4,3,?,5,3,?,4,1,练习2：如图，OCAB于D，快速填空： (3) 若OC=5，OD=4， 则AB=_,CD=_. (4) 若AB=6，CD=1， 则OC=_,OD=_,5,4,?,6,1,r,r1,5,

3、4,3,1,归纳特点： 已知圆O的 半径OA 弦长AB 圆心到弦的距离（弦心距OD） 弧的中点弦的距离（弓形高CD） 这四条线段中的任何两条，利用勾股定理可以求出另外两条.,注意： 已知弦长和弓形高时，要用勾股定理列方程.,练习3,1.已知圆O的弦AB=6cm，半径OA=5cm，求圆心O到AB的距离.,5,3,?,解：过点O作OCAB,3(垂径定理), OA5厘米,RtAOC中，由勾股定理得：OC4厘米,答：圆心O到AB的距离为4厘米。,练习3,2.已知圆O的弦AB与半径的长都是4cm,求A的度数、圆心O到AB的距离.,A,B,.O,4,60,2,1,解：连结OA、OB, OA=OB=AB=4

4、厘米, OAB是等边, A=60,过点O作OCAB,RtOAC中，AOC=30,特点：直径或直径的一部分与弦垂直.,符合垂径定理的基本图形,小结,1.在垂径定理的使用中，常作出圆心到弦的垂线、 连接半径等辅助线.,2.计算中使用了垂径定理和勾股定理. 半径、圆心到弦的距离、弦的一半 这三条线段组成直角三角形.,作业P87. 1. 8. 9. 10.,复习巩固：,垂径定理：,垂直于弦的直径,_,并且_,_,平分弦所对的两条弧,平分弦,平分_（_）的直径，_，并且_.,推论：,弦,不是直径,垂直于弦,平分弦所对的两条弧,特点：直径或直径的一部分与弦垂直.,符合垂径定理的基本图形,辅助线归纳:,解决

5、有关弦的问题，经常是_， _等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,过圆心作弦的垂线,连结半径,例1: 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度AB 为 37.4 m，拱高CD为 7.2 m，求桥拱的半径吗？,A,B,C,D,连接OA，由垂径定理得：,AD=DB=37.42=18.7,拱高CD=7.2，OD=R7.2,在RtAOD中，根据勾股定理得,18.72 + (R-7.2)2=R2,解得：R27.9,答：桥拱的半径约为27.9m.,练习1：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧点O是这段弧的圆心，AB=300 m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD=45 m，求这段弯路半径。,A,B,C,D,解：O

6、CAB于D,AD=BD= (垂径定理),CD=45，设半径为r，OD=r45,在RtAOD中，根据勾股定理得,1502 + (r-45)2=r2, r=272.5,答：这段弯路半径为272.5m,例2：O的半径为13cm，弦AB / CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离。,O,.,解：（情况1）,作EFAB于E，EFCD于F,RtAOE中：OE=,RtCOF中：OF=,OA=OC=13,因此 EF = EO+FO = 5+12 = 17,例2：O的半径为13cm，弦AB / CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离。,O,.,解：（情况2）,作EFAB于E，

7、EFCD于F,RtAOE中：OE=,RtCOF中：OF=,OA=OC=13,因此 EF = FOEO = 125 = 7,练习2：O的半径为 5 cm，弦AB / CD，AB= 8 cm，CD= 6 cm，求AB和CD的距离。,O,.,解：（情况1）,作EFAB于E，EFCD于F,RtAOE中：OE=,RtCOF中：OF=,OA=OC=5,因此 EF = EO+FO = 3+4 = 7,练习2：O的半径为5cm，弦AB / CD，AB = 8 cm，CD = 6 cm，求AB和CD的距离。,O,.,解：（情况2）,作EFAB于E，EFCD于F,RtAOE中：OE=,RtCOF中：OF=,OA=

8、OC=5,因此 EF = FOEO = 43 = 1,例3、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC=BD。,证明：过O作OEAB于E,E,AE = BE，CE = DE（垂径定理）,AE CE = BE DE,即：AC = BD,本题用造三角形全等的方法也可以证明， 但不如用垂径定理简便.,练习3.已知:AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD，求证：ECDF,证明：过O作OGCD于G, CG = DG（垂径定理）,AEEF, OGEF, BFEF, AE / OG / BF,AO=BO, EG = FG,EG CG = FG DG,即：EC = DF,练习4.在圆O中，AB、AC是互相垂直且相等的弦，ODAB于D，OEAC与E.求证：四边形ADOE是正方形,证明：,ACAB, OEAC, ODAB,四边形ADOE是矩形,OEAC, ODAB