第03章 自激振动

1、第三章 自激振动 3.1 自激振动的机理和特征 3.2 极限环与 van der Pol 方程 3.3 工程中的自激振动问题 3.4 张驰振动 3.5 动态分岔,第三章 自激振动,自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。 当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征。 自激振动系统（se

2、lf-excited system）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。,3.1 自激振动的机理和特征,1. 自激振动的机理 ,图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收,电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。 可见，自激振动的形成过程和机理是：振系在某

3、些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节,能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。,需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。,2. 自激振动的特征,参见课本p57的总结。,3.2 极限环与 van der Pol 方程,1. 极限

4、环,从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limit cycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研

5、究中的一个最重要的问题。, van der Pol 振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为,2. van der Pol 方程,图3.4,(3.2),这就是van der Pol 方程。对（3.2）作能量积分得,(3.1),（3.1）式对 t 求导，得,E为积分常数。当x 的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x 的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时

6、，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。 方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。 下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性，设Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相轨迹微分方程为,显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹， Lienard辅助曲线为,(3.3),它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3

7、.5。 也可用谐波平衡法来求出van der Pol 方程的近似解，设,代入下面的van der Pol方程,注意，以上近似解只有当 e 为小参数时才成立，图3.5也是针对e 为小参数的情况画出的。对于e 为大参数的情况将在3.4节中研究。,3.3 工程中的自激振动问题,1. 时钟原理,机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统。近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并,(3.4),到达摆角 x= 时，会受到由发条能量转换而来的脉冲力。设钟摆受到干摩擦，动力学方程可写成,系统的能量积分为,其中 E 为积分常数。 我们规定B 0、 x ，接下去相点先在下半相平面运动，因此按

8、（3.5）式进行。由初始条件求出积分常数E 后，（3.5）式变为,(3.5),(3.6),(3.7),这是一个以（0, B）为圆心的圆方程。,下面分三种情况分析： (1) x B ：这时按（3.7）式画出的相轨迹如图3.7a，这种相轨迹是不可能出现的，因此相点只能静止不动。实际上，这时系统的弹性力没有超过最大摩擦力，弹性力与摩擦力平衡，再加上,初始速度为零、没有受到脉冲的作用，因此系统将静止，相点不再运动。 (2) B x ：这时系统也没有受到脉冲的作用，但是弹性力已超过最大摩擦力，系统将按干摩擦阻尼系统的规律逐渐运动。随着运动的进行，由于摩擦耗能，位移幅值将持续减小，永远不可能到达x= 的位

9、置而受到能源的激励，因此能源对系统不起作用。这种情况下，系统退化为一个纯粹的干摩擦阻尼系统，相轨迹如图3.7b。, (3) x ：这时相点开始阶段按干摩擦阻尼系统的规律在下半相平面逐渐运动，随着位移幅值的减小，将到达x= 的位置，受到脉冲的激励而吸能，激励后，系统位置不变，速度值增加，然后继续按干摩擦阻尼系统的规律运动，到达负 x 轴上的某,一点。接下来相点进入上半相平面运动，运动情况与下半相平面的运动类似，也可能出现上述情况（2）的运动，如图3.8。,上述各个结果中，只有图3.8(a)所示情况才有可能发育成一个极限环，因此对它作深入分析。由（3.5）、（3.6）式，这时的能量积分方程为,(3

10、.8),(3.9),(3.10),(3.11),参见图3.9，其中对脉冲函数的积分要注意积分限的变化方向。,在（3.9）式中令 y = 0、 x = h ，解出 h 得,在（3.11）式中令 y = 0、 x = xT ，解出 xT 得,如果能使 xT = x ，则相轨迹封闭而成为极限环，由(3.12)、(3.13)可求出实现这一结果应满足的条件为,(3.12),(3.13),这意味着，对于给定的B、I 值，当相点从点（I / 2B, 0 ）出发，将沿极限环运动。马上将证明，这个极限环是稳定的，因此系统能实现自激振动，极限环如图3.10；其振幅 A为,(3.14),下面来研究极限环的稳定性。由

11、(3.12)、(3.13)可得函数关系,(3.15),(3.16),（3.16）式意味着，在极限环邻近的相点，每运动一周将向极限环靠近一点，随着运动的进行，相点将逐渐进入极限环，因此极限环是稳定的。,2. 干摩擦自振,当干摩擦振子与摩擦面有恒速相对运动时，振子会出现自激振动，图3.11为力学模型。,图3.11,以往将干摩擦力简化为常值，对于本问题，为了能解释实际中出现的自激振动，需要对摩擦力的模型作一些细化，如图3.12，其中的摩擦力j 随速度v 有小的变化。不失一般性，设系统的质量和刚度等于1。,则系统的动力学方程为,系统的平衡位置为,(3.17),其中 v0 为摩擦面的运动速度，设为常值。

12、当 时，摩擦力j (0)的值不定，需要根据不同情况确定，具体如下：,(3.18),(3.21),将平衡位置变换到新坐标的原点。方程（3.17)变为,(3.19),(3.20),引入变换,相平面微分方程为,(3.24),y (y)曲线如图3.13。其中,(3.23),根据式(3.20)、(3.18)、(3.19) 和 (3.23)，y(v0)的取值为,(3.22),于是，相平面微分方程变为,其中,(3.25),(3.26),方程（3.25）决定了几乎整个相平面上的相轨迹分布；方程（3.26）决定了直线 y = v0 上的相轨迹或直线 y = v0 附近的相轨迹的走向。与方程（3.25）对应的相轨

13、迹方程（能量积分）为,(3.27),因为上式右端第二项的值近似为零（参见图3.13），即,于是方程（3.28）为两个圆方程上叠加一个摄动项，摄动项将决定相轨迹是向圆内收缩、向圆外发散或在圆周附近振荡。 方程（3.26）决定了相点到达y = v0 这条直线上以后的相轨迹及其走向。其中的第一个方程规定了相轨迹为一个直线段，第二、第三个方程规定了相轨迹穿越直线y = v0 的斜率。,上式写成,即,(3.28),根据方程（3.28）、（3.26），辅之以Lienard方法可以定出相轨线的近似形状。易知，辅助曲线,穿过相平面的原点，当v0值适当时，辅助曲线从一、三象限穿过原点，此时原点为不稳定焦点，原点

14、附近的相轨线发散。另一方面，由方程（3.26）的第一个方程知道， 从 P1( ymax, v0)、P2( ymin, v0) 两点之间的任意点出发，将沿直线 y = v0运动到P2( ymin, v0)点，再按方程（3.28）的第一个方程运动回到P1P2线段上的D1点，最后按D1 P2 D2 D1的轨迹作周期运动，因而构成极限环。如图3.14。,3. 管内流体喘振,有些输水管道系统中，当拧开水龙头时，水管会剧烈振动并发出噪声，这种现象称为流体的喘振，这是管内流体自激振动造成的。图3.15为喘振的力学模型。设水泵通过导管1将水注入容器2，导管的长度为l，容器内的水面高度为h，导管和容器的横截面积

15、分别为S1、S2，导管左右,导管内水流的流速流量关系为,(3.29),两端的压强分别为P1、P2，水的密度为r，流速为v，管内阻力为Fd。应用动量定理得导管内流体的动力学方程为,图3.15,压强P1和管内阻力Fd均为流速v的函数，因而也是流量q的函数。令,(3.30),函数f (q)的实验曲线如图3.16。压强P2取决于容器内水面的高度h,(3.31),设q0为容器的出水流量，由流体的连续性条件得,(3.32),方程（3.29）对t求导，并将(3.30)(3.32)代入，得,(3.33),系统的平衡点为 qs = q0 ，将f(q)在 q0 附近展开，得,图3.16,如果系统参数和特性的组合恰

16、好使得 df 2(q0) /dq2 = 0，也就是q0恰好是f (q)的拐点，于是得,代入（3.33），得,(3.34),方程（3.34）是van der Pol方程，因此喘振现象可用van der Pol方程的极限环解释。,3.4 张驰振动,现在我们来考察Rayleigh方程(3.1)中e 为大参数的情况。不失一般性，仍然考虑 w 0 = 1、 d = 1的情况,(3.35),引入变换,，得,相轨迹微分方程为,(3.37),由于 e 很大，因此只要 y(1 y2) x 0 , 就可认为近似有dy / dx ，也就是只要相点不落在曲线 y(1 y2) = x 附近，将近似沿相平面上的铅垂线运动

17、；当相点到达,(3.36),曲线 y(1 y2) = x 附近时，相轨迹的斜率急剧变为零，相点被吸引到曲线 y(1 y2) = x 上，沿该曲线运动到曲线的极值点，然后沿近似铅垂线跳跃到曲线 y(1 y2) = x 的另一侧，接下去，重复沿曲线 y(1 y2) = x 和沿近似铅垂线的跳跃运动，因而构成极限环，如图3.17。,相点在 AB 线段上运动的时间：,可见，近似极限环由两段铅锤线BC、DA，和两段y(1 y2) = x 曲线AB、CD 构成。下面，我们来估计相点在AB 线段和BC 线段上运动的时间。,y B 对应于dx / dy = 0 ，即,所以,进而,(3.38),所以,相点在 B

18、C 线段上运动的时间：,而,其中,(3.39),(3.40),G( y )y 曲线如下图所示， G( y )在 yB 和 yC 的值为，这是由于假设了相轨线 BC 为直线造成的，而实际上相轨线 BC 并非为直线，且BC 与曲线 y(1 y2) = x 的衔接有一个光滑的过渡过程。因此，在计算式（3.40）的积分时，需要排除G( y )在 yB 和 yC 的奇异区间，从下图可见，我们取非奇异积分区间为 0.3 1，由此，对式（3.40）作数值积分，得,(3.41),由于 e 很大，由式（3.39）和（3.41）可见， 有 TAB TBC 对极限环上的CD和DA段有相同的结果。因此在自激振动的一个周期中，有非常明显的快、慢交替运动。将速度时间曲线画出，是类似于锯齿的锯齿波，如图3.18。这种一张一弛的振动称为张驰振动。,张驰振动的的过程，从物理本质上讲，是一个能量积聚和能量释放或耗散的交替过程。如图3.17，在相轨迹的AB段，系统从能源慢速吸能而使系统的势能缓慢增长，系统动能缓慢变小，到达势能的临界