数学人教版九年级上册二次函数图像与性质 课件.ppt

1、二次函数的图象和性质,1二次函数的概念 定义：形如y_(a，b，c是常数，a0)的函数叫做二次函数 注意：二次项系数a0.,考 点 知识,ax2bxc,2二次函数的图象及性质,3.二次函数的三种形式 一 般 式：yax2bxc(a0) 顶 点 式：ya(xh)2k(a0) 两 根 式：y_(a0) 4二次函数的系数a，b，c与图象的关系 a的作用：决定开口的方向和大小 (1)a0，开口向上，a0，开口向下； (2)|a|越大，抛物线的开口越小,a(xx1)(xx2),b的作用：决定顶点(对称轴)的位置 (1)b与a同号时，顶点在y轴的_边； (2)b与a异号时，顶点在y轴的右边； (3)b0时

2、，顶点在_,左,y轴上,c的作用：决定抛物线与y轴的交点的位置 (1)c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的_半轴上； (2)c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的_半轴上； (3)c0时，抛物线过_,正,负,原点,5二次函数图象的平移 平移方法：,图171,注意：将抛物线yax2bxc(a0)用配方法化成ya(xh)2k(a0)的形式，而任意抛物线ya(xh)2k均可由yax2平移得到 6二次函数与一元二次方程的关系 关系：二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是相应的一元二次方程的实数根 判别：b24ac0抛物线与x轴有两个交点； b24ac0抛物线与x轴有一个交点； b24ac0抛物线与x轴没有交点

3、,类型之一二次函数的图象和性质 2017中考预测已知二次函数yx24x3. (1)用配方法求该函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况； (2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及ABC的面积,解：(1)yx24x3x24x41 (x2)21， 该函数的顶点C的坐标为(2，1) 当x2时，y随x的增大而增大. (2)令y0，则x24x30，解得x11，x23， 当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)， 当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)，,【归纳】 (1)从函数图象上可知二次函数图象的如下特征：开口方向；对称轴；顶点坐标；与y轴的交点坐标；与x轴

4、的交点坐标 (2)求二次函数的顶点坐标有两种方法：配方法；顶点公式法,12016兰州二次函数yx22x4化为ya(xh)2k的形式，下列正确的是 ( ) Ay(x1)22 By(x1)23 Cy(x2)22 Dy(x2)24,B,A开口向上 B与x轴有两个重合的交点 C对称轴是直线x1 D当x1时，y随x的增大而减小,D,类型之二二次函数的平移 2016山西将抛物线yx24x4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ( ) Ay(x1)213 By(x5)23 Cy(x5)213 Dy(x1)23 【解析】因为yx24x4(x2)28，所以抛物线yx24x4的顶点坐标为(2

5、，8)，把点(2，8)向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为(1，3)，所以平移后的抛物线的函数表达式为y(x1)23.,D,12016舟山把抛物线yx2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是_ 2将抛物线yx2bxc向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为yx22x3，则b，c的值为 ( ) Ab2，c2 Bb2，c0 Cb2，c1 Db3，c2,y(x2)23,B,【解析】先把yx22x3配方为y(x1)24，逆向思考把y(x1)24向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到解析式为y(x12)243(x1)21，化为一般式

6、是yx22x，故选B. 【归纳】 (1)二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后求出平移后的顶点坐标，从而求出平移后二次函数的解析式 (2)图象的平移规律：上加下减，左加右减,类型之三二次函数的解析式的求法 2016淄博如图172，抛物线y ax22ax1与x轴仅有一个公共点A，经过点A 的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点 C是线段AB的中点 (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB对应的函数解析式 解：(1)抛物线yax22ax1与x轴仅 有一个公共点A， 4a24a0，解得a10(舍去)，a21， 抛物线的解析

7、式为yx22x1；,图172,(2)yx22x1(x1)2， 顶点A的坐标为(1，0)， 点C是线段AB的中点， 即点A与点B关于C点对称， B点的横坐标为1， 当x1时，yx22x11214， 则B(1，4)， 设直线AB的解析式为ykxb， 把A(1，0)，B(1，4)代入得,2016宁波如图173，已知抛物线yx2mx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0) (1)求m的值及抛物线的顶点坐标 (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PAPC的值最小时，求点P的坐标,图173,解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线yx2mx3得：0323m3， 解得m2， yx

8、22x3(x1)24， 顶点坐标为(1，4) (2)连接BC交抛物线对称轴l于点P， 则此时PAPC的值最小， 设直线BC的解析式为：ykxb， 由yx22x3的解析式可知， C(0，3)，且对称轴为直线x1.,变式跟进答图,【归纳】 (1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式yax2bxc(a0) (2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解析式时，一般采用顶点式ya(xh)2k. (3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式ya(xx1)(xx2),类型之四二次函数与方程的关系 2016衢州已知二次函数yx2x的图象如图174所示.,

9、图174,(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2x1的根在图上近似地表示出来(描点)，并观察图象，写出方程x2x1的根(精确到0.1),解：(1)作图描点如答图(1) 例4答图(1),x11.6，x20.6.,例4答图(2),12016宿迁若二次函数yax22axc的图象经过点(1，0)，则方程ax22axc0的解为 ( ) Ax13，x21 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx13，x21,C,【解析】二次函数yax22axc的图象经过点(1，0)， 方程ax22axc0一定有一个解为x1， 二次函数yax22axc的图象与x轴的另一个交点为(3，0)， 方程ax22axc0

10、的解为x11，x23.,22016永州抛物线yx22xm1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是 ( ) Am2 C00，解得m2.,A,32015宁波已知抛物线y(xm)2(xm)，其中m是常数. (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点,求该抛物线的函数解析式 把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？,(1)证明：y(xm)2(xm) x2(2m1)xm2m， (2m1)24(m2m)10， 不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点,类型之五二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系 2016广安已知二次函数yax2 bxc(a0)的

11、图象如图175所示，并且关于x的 一元二次方程ax2bxcm0有两个不相等 的实数根下列结论： b24ac0； abc2. 其中，正确的个数有 ( ) A1 B2 C3 D4,图175,B,【解析】图象与x轴有两个交点， b24ac0，故错误； 图象开口向上，a0， 对称轴在y轴右侧，a，b异号，b0，故正确； 当x1时，abc0，故错误； 二次函数yax2bxc的顶点纵坐标为2， 且关于x的一元二次方程ax2bxcm有两个不相等的实数根，m2， 故正确故选B.,2016兰州二次函数yax2bxc的图象 如图176所示，对称轴是直线x1，有以下 结论：abc0；4ac0.其中正确的结论的个数是

12、 ( ) A1 B2 C3 D4,图176,C,【解析】抛物线开口向下，a0，abc0，正确； 抛物线与x轴有2个交点， b24ac0， 4ac0， abc0，正确,【归纳】 二次函数的图象特征主要包括开口方向，与x轴有无交点，与y轴交点及对称轴的位置，根据这些特征可以确定a，b，c及b24ac的符号，有时也可把x的特殊值代入根据图象确定y的符号,类型之六二次函数的综合运用 2016枣庄如图177，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.,图177,(1)若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)

13、在抛物线的对称轴x1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标,(2)MAMB，MAMCMBMC. 使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点. 把x1代入直线yx3，得y2. M(1，2) (3)设P(1，t)，结合B(3，0)，C(0，3)，得 BC218， PB2(13)2t24t2， PC2(1)2(t3)2t26t10. 若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即 184t2t26t10，解得t2.,若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即 18t26t104t2，解得

14、t4. 若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018，,如图178所示，二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. (1)求m的值； (2)求点B的坐标； (3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x0，y0)，使SABDSABC，求点D的坐标,图178,【解析】(1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式yx22xm；(2)令y0，解一元二次方程；(3)由SABDSABC，则C，D关于二次函数对称轴对称,解：(1)将A(3，0)的坐标代入二次函数解析式，得3223m0，解得m3. (2)二次函数解析式为yx22x3，令y0， 得x22x30，解得x3或x1， 点B的坐标为(1，0) (3)SABDSABC，点D在第一象