周期函数的傅里叶级数

1、Fourier series,周期函数的傅里叶级数,上一节详细研究了一种重要的函数项级数:,幂级数.,下面研究另一种重要的函数项级数:,这种级数是由于研究周期现象的需要而,产生的.,它在电工、力学和许多学科中都有很,重要的应用.,傅里叶,级数.,1757年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:,1759年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数. 1777年, 欧拉在研究天文学的时候, 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数系数.,历史朔源,在历史上, 三角级数的出现和发展与求解微分方程是分不开的. 175

2、3年, 丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶 展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分析学的发展. 1822年, 傅里叶在热的解析理论一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的特殊的情形所采用的三角级数方法进行加工处理, 发展成一般理论.,在自然界和人类的生产实践中,周期运动很常见.,如行星的飞转, 飞轮的旋转, 蒸气机活塞的往复运动,数学上, 用周期函数来描述它们.,最简单最基本,的周期函数是,谐函数,振幅,时间,角频率,初相,简谐波,简谐振动,正弦型函数,物体的振动, 声、光、电的波动等.,问题的提出,如矩形波,除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,

3、12,把一个周期运动 (如矩形波) 分解为简谐振动的迭加, 反映在数学上, 是把一个周期函数 f(t) 表示为各类正弦函数的迭加, 即,谐波分析,即,三角级数,？,函数 f (t) 满足什么条件,系数,才能展为,如何确定?,三角级数?,基本三角函数系的正交性,的正交性是指:,其中任何两个不同的函数的乘积,在一个周期长的区间,而任,一个函数的自乘 (平方) 在,(orthogonality),基本三角函数系,傅里叶系数 (Fourier coefficient),三角函数系的正交性,两边积分,三角函数系的正交性,19,三角函数系的正交性,解,由傅里叶系数公式,偶,练习,函数 f (x) 的傅里叶

4、级数,注,称为函数 f (x) 的傅里叶系数.,函数 f (x)的傅里叶级数常记为,f (x) ,f (x) 的傅里叶级数不见得收敛；,即使收敛，,级数的和也不一定是 f (x).,不能无条件的,傅里叶级数收敛定理解决了这些问题.,所以,把符号“”,它的傅里叶级数收敛，,当 f (x) 满足什么条件时，,并收敛于 f (x) 本身.,换为“=”.,狄利克雷 (Dirichlet) 收敛定理,(1) 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是,(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数 f (x) 相等,幂级数的条件低得多;,其傅里叶级数;,的 x 的取值范围.

5、,解,因为,练习,周期函数的傅里叶级数解题程序,并验证是否满足狄氏条件,(画图目的: 验证狄氏条件;,由图形写出收敛域;,易看出奇偶性可减少求系数的工作量);,(2) 求出傅氏系数;,(3) 写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 f (x).,(1) 画出 f (x)的图形,解,u(t) 的图象,计算傅里叶系数,奇,的傅里叶级数.,例,偶,故 u(t) 的傅里叶级数为,由于u(t)满足狄利克雷条件,所以,解,计算傅里叶系数,例,将 f (x) 展开为傅里叶级数.,f (x) 的图象,故 f (x) 的傅里叶级数,由于 f (x) 满足狄利克雷充分条件,由收敛定理得,(2) F(x) 展开为傅里叶

6、级数;,作 法,对于非周期函数,如果 f (x)只在区间,上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成,傅氏级数.,解,例 将函数,展开为傅氏级数.,延拓后的周期函数连续, 其傅氏级数展开式在,下面计算傅里叶系数.,收敛于 f (x).,偶函数,奇函数,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,为周期的傅氏级数的和函数 s(x) 在 上的,解,s(x) =,练习,表达式.,由 f (x) 周期延拓后的函数图像可知,已知级数 则级数 的和,等于,解,所以,练习,由奇函数与偶函数的积分性质,系数的公式,易得下面的结论.,和傅里叶,此时称傅里叶级数为,(sine series),正弦级数,si

7、ne series and cosine series,四、正弦级数和余弦级数,它的傅里叶系数为,此时称傅里叶级数为,将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数,这是非常有用的.,是否有奇偶性,(cosine series),余弦级数,它的傅里叶系数为,解,函数的图形如图,电学上称为,偶函数,例,展为傅里叶级数.,锯齿波.,余弦级数,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,奇函数,设 f (x)是周期为 的周期函数,它在,例,上的表达式为,将 f (x)展开成傅氏级数.,f (x)的图形,正弦级数,例 在无线电设备中,常用电子管整流器将交流电转换为直流电.已知电压,t为时间,试将E(t)展为傅氏级数.,

8、解,在整个数轴上连续.,偶函数,所给函数满足狄利克雷充分条件，,n为奇数,n为偶数,(n=1时也对),奇延拓,偶延拓,两种:,正弦级数.,偶函数,奇函数,余弦级数;,因而展开成,因而展开成,上有定义.,作法,3. F(x)可展开为傅氏级数, 这个级数必定是,得到 f (x)的正弦级数 的展开式.,(偶函数),的奇函数,正弦级数,(余弦级数),(余弦级数),其实也不必真正实施这一手续.,满足收敛定理的条件,1. f (x)在,2. 在开区间,内补充定义,得到定义在,上的函数F(x),使它成为 在上,解,(1) 求正弦级数.,奇延拓,正弦级数,分别展开成正弦级数和余弦级数.,例,(2) 求余弦级数,又可展成余弦级数,既可展成正弦级数,其傅氏级数不唯一.,余弦级数,偶延拓,上有定义的函数,设函数,(1) 把f (x) 展开为正弦级数;,(2) 求级数的和函数S(x)在,解,练习,(1),上的表达式;,级数的和函数S(x)的周期为,如图所示,从图上看更明显,(2) 求级数的和函数S(x)在,上的表达式;,解,解,基本概念(三角级数、三角函数系的正交性),函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、 傅里叶级数