高中数学：1.3.2《球的体积和表面积》教案新人教版必修2（通用）

1、1.3.2球的体积和表面积总体设计教育分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题说明了其应用.值得注意的是，着重于球和其他几何组合体的修正计算，这是高考的重点三维对象掌握球的表面积和体积公式，应用它解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化和化归的数学思想方法重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用教学难点：关于球组合体的修正计算上课的日程约一格教育过程新课程的通讯端口入构想1 .位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端的海滨，有新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资建设，1996年9月正式开业，是岛城饮食服务业的“特一级”店，也是新增的旅游胜地

2、2 .球的底面也不能像柱体、锥体、台体那样展开为平面图形的话，如何求出球的表面积和体积，球的大小与球的半径有关，如何用球半径表示球的体积和面积？ 人民教师引出课题：球的体积和表面积推进新课程新知研究球的半径是r，其体积和表面积仅与半径r有关，是以r为参数的函数。实际上，如果球的半径是r，则S=4R2，V=。注意：球的体积和表面积公式的证明以后再证明适用例构想一例1如图1所示，圆柱体底面的直径和高度都等于球的直径，求得证据。图1(1)球体积等于圆柱体积时(2)球的表面积等于圆柱的侧面积活动：学生思考圆柱和球的结构特征，展开空间形象。 人民教师可以利用信息技术帮助学生阅读图形证明： (1)设球的半

3、径为r，则圆柱的底面半径为r，高度为2R。有v球=、v圆柱=R22R=2R3，v球=。(2)s球=4R2，s圆柱侧=2R2R=4R2，s球=S圆柱侧。本问题主要考察球的组合体的表面积和体积的修正计算，解决这样的问题的关键是明确组合体的构造特征变体训练1 .表面积为324球，如图2(1)所示，其内接的正四角柱的高度为14，求出该正四角柱的表面积.图2解：设球的半径为r，正四角柱底面边的长度为a，则轴截面如图2(2)所示，aa=14，AC=，另外4R2=324，R=9。AC=.a=8。s表=642 3214=576，即，该正方形柱的表面积是576。有2质量为142 g、测定外径(直径)等于5 cm

4、的中空钢球，求出其内径(钢的密度为7.9 g/cm3，精确为0.1 cm )。解：设空心球的内径(直径)为2x cm，钢球的质量为7.9=142，x3=11.3、x2.24、直径2x4.5。a :中空钢球的内径约为4.5厘米。例2如图3所示，用花做成的花柱，其下面有直径1 m、高3 m的圆柱形物体，上面有半球形状。 如果每平方米需要约150朵花，装饰这个花柱需要多少花(是3.1 )。图3活动：学生思考和讨论如何修订花朵数量。 花的轮数等于该几何图形的表面积(不包括下底面)和花所占的面积。 几何的表面积等于圆柱的侧面积加上半球的表面积解：圆柱形物体的侧面面积S13.113=9.3(m2)、半球形

5、物体的表面积为S223.1()21.6(m2)，S1 S29.3 1.6=10.9(m2)。10.91501 635 (轮)。a :装饰这个花柱大约需要635朵花本问题主要研究球与圆柱组合体的应用及解决实际问题的能力变体训练有轴断面为正三角形的圆锥容器，放入半径为r的内切球，使容器充满水，现将球从容器中取出，水不会消耗。 然后，取出球后，水面与圆锥底面平行形成圆锥台体，询问容器的水的高度。分析：将水转换为需要的体积，描绘轴截面，活用轴截面中的垂直角三角形进行解决制作圆锥和球的轴截面图如图4所示图4圆锥底面半径r=、圆锥母线l=2r=、圆锥高度h=3R，v水=3R23R，取出球后，水形成圆锥台，

6、设下底面半径r=、上底面半径为r高度h=(r-r)tan60=，r2r 2RR 、5R3=、5R3=、r=、h=()r。a :容器中的水的高度是() r。构想2例1 (2020广东高考，12 )如果棱锥长为3的立方形的顶点全部位于同一球面上，则该球的表面积为活动：学生考虑长方体和球的结构特征。 人民教师可以利用信息技术来画图形分析：可以画出球的轴截面，球的直径是立方形的对折角线，球的半径R=，其球的表面积是S=4R2=27。回答： 27本主题主要调查简单的组合体和球的表面积。 球的表面积和体积都是半径r的函数。 对于与球有关的问题，通常可以与轴截面建立关系。 画轴断面是正确解题的关键。变体训练

7、1.(2020全国高考卷I，理7 )已知如果各顶点在一个球面上的正四角柱的高度为4，体积为16，则该球的表面积为()A.16 B.20 C.24 D.32分析： V=Sh，得到的S=4，得到的正四角柱的底面边的长度为2 .可以画出球的轴截面，因此正四角柱的对折角线是球的直径，球的半径是R=，球的表面积是S=4R2=24。回答： c2.(2020湖南数学竞赛，13 )一个球与正四面体的六个棱相接，如果正四面体的棱长为a，则该球的体积为分析：将正四面体补正为正方形的内接正四面体，此时正方形的棱长为，因此球的半径为V=.答案：3.(2020天津高考，理12 )如果一个长方体的各顶点都在同一个球的球面

8、上，且一个顶点上的三个棱的长度分别为1、2、3，则该球的表面积为分析：如果长方体的对折角线为，球的半径为，则球的表面积为4()2=14。回答： 14例2图5是装入底面直径为20 cm的水的一部分的圆柱形的葛拉斯，水中装入底面直径为6 cm、高度为20 cm的圆锥形的金属铅锤，从水中取出金属铅锤后，杯子里的水下降多少厘米？图5活动：学生思考杯子里水下降的原因，通过交流和讨论来引导解题的思维方法。 由于葛拉斯为圆柱形，取出金属铅锤后，水面下降的部分实际上是小的圆柱，该圆柱的底面与葛拉斯底面相同直径20 cm的圆，其体积正好等于圆锥形的金属铅锤的体积，该小圆柱的高度为水面下降的高度。解：因为圆锥形的

9、金属铅锤的体积为20=60(cm3 )，设水面下降的高度为x，小圆柱的体积为=100x(cm3 )。有60=100x，解这个方程的话，x=0.6(cm )。a :杯子里的水下降了0.6厘米本问题主要研究几何的体积问题和应用体积解决实际问题的能力.明确几何的形状和相应的体积公式是解决这类问题的关键.解决实际应用题的关键是建立数学模型.本问题的数学模型等于下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积变体训练1 .中空钢球，外径12 cm，壁厚0.2 cm，能在水中浮动吗？ (钢的密度为7.9 g/cm3 )那么相同尺寸的中空金属铅呢(金属铅的密度为11.4 g/cm3 )分析：本主题的要点是如何判断球

10、的浮动和沉降，应自然地校正中空钢球的体积，但中空钢球的体积相当于内外球的体积差，容易从球的体积公式中得到中空钢球的体积，可以校正中空钢球的质量，并将其与水的质量进行比较得出结论解：中空钢球的体积为v钢=20.88887.45(cm3)，钢的质量是m钢=87.457.9=690.86(g )。水的体积为v水=63=904.32(cm3)，水的质量为m水=904.321=904.32(g)m钢。钢球可以浮起，但铅球的质量为m金属铅=87.4511.4=996.93(g)m水。同大小的金属铅沉没。a :钢球可以漂浮，同样大小的金属铅可以下沉2.(2020全国高中数学联赛试题第一考，10 )底面半径为

11、1 cm的圆柱形容器中装入4个半径为cm的实心铁元素球，4个球相接2个，其中底2个球相接容器底面分析：设4个实心铁元素球的球心为O1、O2、O3、O4，其中O1、O2为下层两球的球心，a、b、c、d分别为向4个球心的底面的投影，ABCD为一边长为cm的正方形，因此注水较高。回答： ()智力训练1 .如果三个球的半径之比为123，则最大球的表面积为该两个球的表面积之和()A.1倍B.2倍c .倍d .倍分析：由于球的表面积等于其大圆面积的4倍，可以将最小的一方半径设为r，另外一方的两个设为2r、3r，因此各球的表面积分别为4r2、16r2、36r2、(倍)。回答： c2.(2020安徽高考，理9

12、 )表面积在正八面体各顶点位于同一球面上时，该球的体积为()甲乙丙丁。分析：因为这个正八面体是各面的边的长度是a的正三角形，所以从8可以看出，如果a=1，这个球的直径是回答： a3.(2020北京牌西城采样，句子11 )如果从与球心的距离为4的平面切割球得到的截面圆面积为9，则球的表面积为解析：画球的轴截面时，球心与截面圆心的连线、截面半径、球的半径构成了垂直角三角形，从题名来看，截面圆的半径为3，球的半径=5，因此球的表面积为452=100。回答： 1004 .某街心花园有多个钢球(钢的密度为7.9 g/cm3 )，各个钢球的重量为145 kg，外径为50 cm，根据上述数据，来判断钢球是实

13、心的还是空心的。 如果是中空的，请修正其内径(取3.14，结果为1 cm正确解：由于外径50 cm的钢球的质量为7.9516 792(g )，街心花园钢球的质量为145 000 g，145 000516 792钢球是空心的如果球的内径为2x cm，则球的质量为7.9=145 000，解开x311 240.98、x22.4、2x45(cm )。a :钢球是中空的，其内径约为45 cm5.(2020海南高考，文11 )众所周知，三棱锥SABC的各个顶点位于半径为r的球面上，球心o位于AB上，SO底面ABC、AC=，球的体积与三棱锥体积之比为()A. B.2 C.3 D.4分析：题意为SO=r是三棱

14、锥的高度，ABC是等腰垂直角三角形，其面积为2rr=r2，三棱锥的体积为，球的体积为，球的体积与三棱锥的体积之比为4。回答： d面积和体积往往与空间距离有关，但由于新课标不要求空间距离，在高考问题上难度低，在易考问题上，2020年的新课标高考问题体现了这一点扩大升级问题：如图6所示，在四面体片ABCD中，截面AEF通过四面体片的内切球(四个面都相邻的球)的球心o，并且分别与BC、DC切断成e、f，截面将四面体片分为体积相等的两个，得到四角锥ABEFD和三棱锥AEFC图6A.S1S2 C.S1=S2 D.S1、S2的大小关系并不确定探索：如图7所示，如果连接OA、OB、OC、OD，则va-bef

15、d=VO-Abd VO-befd VO-ADF、va-efc图7回答： c课程总结在本课中，我们学习了以下内容1 .球的表面积和体积2、在校正组合体积时，通常将其转换成常见几何体积，如校正柱、锥、台、球等3 .空间几何的表面积和体积的规则总结：(1)表面积是各面的面积之和，为了求出多面体的表面积，只要将它们沿着多个棱剪切并展开为平面图形，利用平面图形求出多面体的表面积即可(2)在体积公式中几何高度出现的是柱体高度：从柱体一个底面的任意点向另一个底面垂直。 这一点和垂下脚丫子之间的距离称为柱体的高度锥体的高度：从锥体的顶点向底面垂下垂线，这一点和脚丫子之间的距离称为锥体的高度台体的高度：从台体的一个底面的任意点向另一个底面引垂线，该点与垂下脚丫子之间的距离称为台体的高度注意球没有高的结构特征(3)利用侧面展开图或