数值分析第一章

1、第一章 数值分析与科学计算引论,1.1 数值分析对象、作用与特点,许多科学问题的解决都离不开科学计算。本 门课程将着重绍进行科学计算所必须掌握的一些 最基本、最常用的算法,并分析其误差。,数值分析包括：函数的数值逼近；数值积分与数值微分；非线性方程的数值解法；数值线性 代数；微分方程的数值解法。,1.2 数值计算的误差,1. 来源与分类 /* source & classification */,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 /* modeling error */,通过测量得到模型中参数的值 观测误差 /* measurement error */,求近似解 方法误差 (截断误差 /

2、* truncation error */ ),机器字长有限 舍入误差 /* roundoff error */,数值分析讨论后两个误差。,2. 误差与有效数字,1.2 数值计算的误差, 绝对误差 /* absolute error */,其中x 为精确值，x* 为x 的近似值。, 相对误差 /* relative error */,x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为,有效数字 /* significant digits */,用科学计数法，记 （其中 ）。若 （即 的截取按四舍五入规则），则称 为有n 位有效数字，精确到 。,1.2 数值计算的误差,有

3、效数字与相对误差的关系, 有效数字 相对误差限,已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为,1.2 数值计算的误差, 相对误差限 有效数字,1.2 数值计算的误差,例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？,解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为,要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足,已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。,1.2 数值计算的误差,分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* x,= f ( )(x* x),x* 与 x 非常接近时，可

4、认为 f ( ) f (x*) ，则有： |e*(y)| | f (x*)|e*(x)|,即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f (x*)|倍。故称| f (x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.,问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？,1.2 数值计算的误差,例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 0.1% ?,解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则, n 4,估计 x 和

5、y 的相对误差上限满足近似关系,1.2 数值计算的误差,算法的数值稳定性,用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.,1.3 避免误差危害的若干原则,病态问题与条件数,对一个数值问题本身, 如果输入数据有微小扰动（即误 差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是病 态问题.,例如计算函数值 时，,函数值 的相对误差为,1.3 避免误差危害的若干原则,（3.3）,称为计算函数值问题的条件数.,相对误差比值,自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，,将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.,1.3 避免误差危

6、害的若干原则,例如， ，,它表示相对误差可能放大 倍.,如 ，,有 ，,自变量相对误差为 ，,函数值相对误差为 ，,一般情况下,条件数 就认为是病态， 越大 病态越严重.,则有,若取,这时问题可以认为是病态的.,1.3 避免误差危害的若干原则,1. 避免相近二数相减,2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出,3. 避免大数吃小数,4. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累,5. 选用稳定的算法,1.3 避免误差危害的若干原则,算法设计的好坏不但影响计算结果的精度，还可以大量节省计算时间.,1.4 数值计算中算法设计的技术,一个计算问题如果能减少运算次数，不但可以及减少计算量还可以减少误差，这是算法设计中一个重要原则.,多项式求值的秦九韶算法,可表示为,（4.1）,1.4 数值计算中算法设计的技术,1.4 数值计算中算法设计的技术,此处,例11 设 ，用秦九韶算法求 和 的值.,则,（4.1）,解 用（4.1）和（