数值分析 第5章 解线性方程组的直接方法

1、5 .1引言和先验知识5 .2高斯消元法5 .3高斯主元素体消元法5 .4矩阵三角分解法5 .5矢量和矩阵向量的模5 .6误差分析，求解ch5线性方程的直接方法在自然科学和工程科学技术上有很多问题的解决或线性代数方程， 例如用归结为解三次样条函数问题的最小二乘法求出实验数据的曲线近似问题、解非线性方程问题、用有限差分法或有限单元法解常微分方程、偏微分方程的边缘值问题等，成为解线性代数方程式的原因。 这些个方程的系数矩阵大致可分为两类，一类是低阶稠密矩阵，一类是大型稀疏矩阵。 关于线性方程群的数值解法，一般有1 .直接法2 .迭代法、5.1引言和预备知识、5.1.1引言、本章中为n元线性方程群、

2、(5.1 )的直接解法2种。 方程组(5.1)的矩阵形式是ax=b，其中，如果矩阵a不奇异，即，det(a)0，则方程组(2.1)具有唯一的解。 直接解法是指，不考虑修正运算中的舍入误差，就能够经由有限次算术运算求出线性方程组的精确解的方法。 但是，在实际的修正运算中，由于存在舍入误差，所以即使用直接解法也只能求出方程式组的近似解。 cramer规则是不实用的直接法，本章将介绍几种实用的直接法。5.1.2预备知识、m行n列矩阵.n维列向量.矩阵的基本运算： (1)矩阵的相加、(7)矩阵的行列式性质：(a)det(ab)=deet 5.1.3矩阵特征值和频谱半径、定义1是如果存在一个数(实数或复

3、数)和非零向量a的特征值、x是与a对应的特征向量、a的整体特征值是a的频谱，设a的式(1.3 )被称为特征方程式，(1.3 )是复数结构域中有n个，因此从行列式(1.3 )的展开可知，由于是、的n个特征值，因此在该特征中如果a不是特异，则将a-1的特征值设为-1、特征向量设为x .(3)类似矩阵b=s-1as具有相同特征多项式的定理4 (jordan标准型) a设为n次矩阵，则存在非奇异矩阵p，其中，如果(1)a的标准型中块ji全部是一次的话其标准型为对角阵的解第1步骤.方程式(2.2 )乘以-2并与方程式(2.4 )相加，消去未知数x1，得到(2.2 )、(2.3 )、(2.4 )、第2步骤

4、.方程式(2.4 )的上述过程相当于、消去，其中，step k :是注意1 :只要a不特异，即存在a1，通过逐次消元和进行交换，可以将方程组变换为三角形方程组，求得唯一解。是否一起进行步骤，其中令n 1，n 1，注意23360为ax=b，其中a是非奇异矩阵，如果a是非奇异矩阵，那么a的第一列不一定等于零元素。 在世代修正计算中，如果(2)a为非奇异矩阵，则能够通过高斯消元法(以及交换2行的初等变换)将方程式群ax=b约化为方程式群(2.10 )。 2) k )的充分条件是矩阵a的所有顺序主子式/* determinantofleadingprincipalsubmatrices */di0(i

5、=1，2，k )。即，(2.12 5.2.2三角分解法/* matrix factorization */。 以下证明唯一性。 如果不唯一，a=l1u1=l2u2，挤出，上三角形，下三角形权重1，注意： 实际上可以考虑a*的lu分解，即a的crout分解。 关于例3、例2，系数矩阵返回到高斯消元法、主页，5.3.1列的主元消元法：只要是按顺序消除元的过程就可以进行修正运算，但如果用小则舍入误差变大、解的误差变大的高斯消元法(gauss control )取得4位的有效数字修正运算，则可以得到解，误差比较大如果交换两个方程式，则在gauss消元法下取4位的有效数字校正运算可得到解，本例表示可通过

6、行交换避免舍入误差的增加。 这是列主元消元法的基本思想的下一个的第i-1行和第1行被更换且由消息、公式校正，假定上面所述的过程已经前进了(k-1 )个步骤，在第k个步骤中，如果第k列选择主元，即，如果是，插入ik行和第k行在此，l是单位下三角矩阵，其要素|lij|=1，u是上三角矩阵。 使用上三角矩阵，即3360、解3360、例5列主元消元法，解x=b，其中，消去、消去、消去结束用回代式求出解，该例的精确解是，若结果精度高则可知不选择列主元aul的被称为全主元消元法的修正量大，不能应用列主元现在在很多数学软件库中有列主元消元法，可直接调用，注释：为了减少修正运算的舍入误差，使用消元法通常是选择主元，即max|ai1|=ai1 .然后对i1行与第五行进行交换，进而进行消去，以后各步骤的消去方法先选择主元，然后选择消去元，用5.3.2高斯若当消元法，消去对折角线上下元素.假设已完成k-.5.3.1直接三角分解法.将高斯消元法改写为紧凑的形式，可以从a的要素直接得到补正l，u的要素的递推公式，不需要中间步骤，即所谓的直接三角分解法(2)求2) ux=y，x . 4矩阵的