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文档简介

1、3 二元函数的连续性,一、 二元函数的连续性,二 、有界闭区域上二元连续函数的性质,定义2,一 二元函数的连续性概念,设 z = f (x) = f (x, y), 在区域d上有定义.,则称 f (x) 在 x0 连续, x0 称为 f (x) 的连续点.,否则称 f (x) 在 x0 间断, x0 称为 f (x) 的间断点.,x = (x, y) d, x0 = (x0, y0) d,1.二元函数连续的概念,若 f (x) 在 d 上每一点都连续, 则称 f (x) 在 d 上连续, 记为 f (x) c (d).,易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在),每一点都

2、间断.,注,1. 二元函数 f (x)在 x0 连续必须满足三个条件. 在 x0 有定义, 在 x0 的极限存在, 两者相等,2. 多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,定义可推广到三元以上函数中去.,多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,2. 连续函数性质：,（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为）都是连续函数；,例1

3、 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例2,解,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例4 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.,所谓多元初等函数是指以 x, y, z, 为自变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z), 以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.,如 f (x) = exy sin(x2+y),= e0 sin0 = 0.,4. 二元连续函数的几何意义:,定义在区域 d 上的二元连续函数z = f (x) = f

4、(x, y)表示了在d上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 d 是一区域 是必要的. 若d不是区域, z = f (x)可能不是通常意义下的连续曲面.,例. 设 d = (x, y) | x, y 均为有理数 r2. z =f (x, y)是定义在 d 上的, 在 d 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即,f (x, y) =,1, 当(x, y) d时,无定义, 当(x, y) d时.,如图,可知, (x0, y0) d,但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.,二 有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,思考:,若 在某一区域 内对变量 为连续，对变量 满足李普希兹条件，即对任何 有 其中 为常数，则此函数在 内连续。,证明,因为 对变量 连续，所以,使得当

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