内积_正交化.ppt

1、,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第四章 n维向量,第3节 子空间的基和维数,一个子空间的生成元不必线性无关. 生成元的极大无关组是生成元所生成 的子空间的一组基. ( 定理4.7 ),一个子空间可由它的一组基生成.,基是一组线性无关的生成元.,极大无关组可以线性表示整个向量组。,而基可以线性表示整个子空间。,第四章 n维向量,4.3基和维数,回 顾,x1 x2 xn,n维向量,在基 e1 , e2 , , en下的坐标为,x1 x2 xn,或 x1, x2 , , xn,向量在基下的坐标,基变换与坐标变换,设1, 2, , s和1, 2, , s是V 的

2、两组基,则存在ss矩阵C使,定义,第四章 n维向量,4.3基和维数,1= c111+ c212 + + cs1s , 2 =c121+ c222 + + cs2s , s = c1s1+ c2s2 + + csss ,C与基是行向量组还是列向量组无关,设1, 2, , s和1, 2, , s是V 的 两组基, ss矩阵C是从1, 2, , s 到1, 2, , s 的过渡矩阵.,若两组基是列相向量组，则有 (1, 2, , s) = (1, 2, , s)C.,可以证明过渡矩阵一定是可逆的. (思考),注：,第四章 n维向量,4.3基和维数,若两组基是行相向量组，则有 1 2 s,= CT .

3、,1 2 s,定理4.8 在 2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2和1,2 是R2的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为x, y, 则 = (1,2)x , = (1,2)y.,(1,2)x = (1,2)y,x = (1,2)-1 (1,2)y,为何可求逆？,第四章 n维向量,4.3基和维数,定理4.8 在 2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2和1,2 是R2的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为x, y, 则 = (1,2)x , = (1,2)y.,(1,2)x = (1,2)y,x = (1,2)-1 (1,2)y,第四章 n维向量,4.3基和维数,从1,2到1

4、,2的过渡矩阵,定理4.8 在 2维和3维情形下的叙述：,(1)设列向量1,2,3和1,2,3是R3的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为x, y, 则 = (1,2,3)x , = (1,2,3)y.,(1,2,3)x = (1,2,3)y,x = (1,2,3)-1 (1,2,3)y,第四章 n维向量,4.3基和维数,从1,2 ,3到1,2,3的过渡矩阵,如果已知一个子空间的维数是n, 那么该子空间中任意n个线性无关的向量必定是一组基. (对比141页例 4.9. 据定理4.2，4.3),如果已知一个子空间的维数是n, 那么该子空间中任意向量组的秩 n. (据定理4.5),如果一个向量组

5、中含有它所在子空间的一组基, 那么这组基必是向量组的一个极大无关组. (据定义),关于子空间基的几个问题,第四章 n维向量,4.3基和维数,第四章 n维向量,第4节 向量的内积,4.4 向量的内积,回 顾,定义几何空间R3中向量的内积,向量的长度与夹角余弦的乘积,问：n维空间中向量的长度是什么？ 向量之间的夹角又是什么？,向量的坐标,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,一. Rn中向量的内积, 长度和夹角,1. 设 =(a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn),记为, 即,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,若 =(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, ,

6、bn)T ,2. 内积的基本性质,对称性: = ;,(2) 线性性: = k1+k2;,(3) 0; 且 = 0 = 0 .,考察y = x2 + 2x + .,n = (xai + bi)2 0 i=1, = (2)2 4 0, 2 .,有没有其它的方法？,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,3. 对于n维实向量, 称,为 的长度,或模, 记为|, 即,4. 长度的基本性质,(3) 三角不等式:,(1) 正定性: | 0; 且| = 0 = ;,(2) 齐次性: |k| = |k| (kR);,| +| | + |.,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,Cauchy-Schwartz不等

7、式的重新表述 | | |.,5. 长度为1的向量称为单位向量.,对于非零向量, |1是一个单位向量. 单位化/标准化.,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,7. 勾股定理 ,6. 设, Rn, 若 0, 0, 则定义, 的,若 = 0, 即 = /2, 则称与正交 , 记为 .,夹角为,| +|2 = |2 + |2 (, ).,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,例 1. 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k,使 +k与正交.,二. 正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1. 概念,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,发现的结论 设1,

8、 2, , s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+kss, 则ki = , i = 1, 2, , s.,2. 结论,定理4.10. 1, 2, , s正交线性无关.,定理4.11 每个非零的向量空间V 都有标准 正交基 .,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,想想“标准”在这里的作用,1 = 1, ,Schmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1, 2, , s单位化得:,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,另外，从上述构造可总结： 设1, 2, , s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, , s使得 1, 2, , t与1, 2, , t等价 (1 t s).,

9、第四章 n维向量,4.4 向量的内积,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,三. 正交矩阵(orthogonal matrix),定义 满足QTQ = E 或QQT = E (即Q1 = QT) 的实方阵Q称为正交矩阵, 简称为正交阵,定理4.12. 设Q为n阶实方阵, 则下列条件等价:,性质. (1) Q为正交阵|Q| = 1;,(2) Q的行(列)向量组构成Rn的一组 标准正交基;,(1) Q是正交阵;,(3) QT是正交阵; (4) Q1是正交阵.,(2) A, B为正交阵 AB为正交阵.,例 2 设,是n 维列向量, Q为nn 的正交矩阵,则 | Q | = | |, = .,Q, Q的长度和夹角与 ,的长度和夹角相等,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,cos2 +sin2,sin2 +cos2,0,0,= E.,O,x,对应的正交变换,y,第四章