2.1.2向量的加法

1、2.1.2向量的加法,第二章2.1向量的线性运算,学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一向量加法的三角形法则与平行四边形法则,分析下列实例： (1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)， 这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.,(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F13 000 N，F

2、2 2 000 N，牵引绳之间的夹角为60(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果.,思考1,从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？,答案,答案后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是 表示的力的合力.体现了向量的加法运算.,思考2,上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？,答案,答案 三角形法则和平行四边形法则.,(1)向量加法的定义 求 的运算，叫做向量的加法.,梳理,两个向量和,(2)三角形法则,对于零向量与任一向量a的和，有a0 .,ab,0,a,a,(3)平行四边形法则 如图所示，已

3、知两个不共线向量a，b，作 a， b，则A、B、D三点不共线，以 ， 为邻边作 ABCD，则对角线上的向量 ab，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.,AB,AD,平行四边形,思考,知识点二向量求和的多边形法则,如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D，那么动点的和位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？,答案,答案和位移向量是 ，由此可得向量求和的多边形法则.,梳理,已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则.,思考1,知识点三向量加法的运算

4、律,实数加法有哪些运算律？,答案,答案交换律和结合律.,思考2,根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.,答案,abba.,思考3,根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.,答案,(ab)ca(bc).,梳理,ab,bc,向量加法的运算律,ba,题型探究,解答,类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则,例1如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.,(1) (2),反思与感悟,向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和

5、，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的. (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.,答案,跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.,0,例2化简：,类型二向量加法运算律的应用,解答,解答,反思与感悟,(1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加.,答案,解析,类型三向量加法的实际应用,解答,例3在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.,解作出

6、图形，如图所示. 船速v船与岸的方向成角，由图可知v水v船v实际， 结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形. 在RtACD中，,60，从而船与水流方向成120的角. 船是沿与水流的方向成120的角的方向行进.,解答,引申探究 1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？,解由例3知v船20 m/min，,解答,2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.,设船实际航向与岸方向的夹角为，,即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.,反思与感悟,向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键.,解答

7、,跟踪训练3如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计),易得ECG18015030， FCG18012060，,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,考向,题点,考向向量加法法则,题点结合图形求向量的和,2.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,故选D.,答案,2,3,4,5,1,解析,答案,解析,A.矩形B.正方形 C.平行四边形D.菱形,四边形ABCD为平行四边形.,2,3,4,5,1,5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为_km/h.,答案,解析,2,3,4,5,1,20,河水的流速为|v2|10 km/h，小船的实际航行速度为v0，,所以|v0|20 km/h， 即小船实际航行速度的大小为20 km/h.,规律与方法,1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向