第3-章交流电路要点.ppt

1、第 3 章 正弦交流电路,3.1 正弦交流电压和电流 3.2 相量 3.3 基尔霍夫定律的相量形式 3.4 电阻、电感和电容元件的正弦电流 3.5 阻抗与导纳、相量模型 3.6 复杂正弦电路的分析计算 3.7 正弦交流电路的功率和功率因数 3.8 谐振电路,在正弦电源作用下，交流电路的基本概念、基本规律和基本分析方法。 分析和计算正弦交流电路的电压、电流、功率和能量。 谐振现象、耦合电感、三相交流电路的概念。 Alternating Current，交流电AC； Direct Current，直流电DC。,f(t)=f(t+nT) n=0,1, 2, ,周期信号:,正弦信号是周期信号中的一种。

2、,为什么要研究正弦信号 ?,主要考虑以下几点：,1. 正弦量是最简单的周期信号之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；,2. 正弦信号应用广泛（如市电，载波等）；,3. 非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦 函数。,直流电：电流和电压大小和方向不随时间变化。 交流电：大小和方向都作周期性变化的波形。,3.1 正弦交流电压和电流,正弦交流电可用sin或cos函数表示,3.1.1 正弦交流电的三要素,(1) 振幅 (amplitude) ：反映正弦量变化幅度的大小。又称幅值、峰值。,(2) 角频率(angular frequency)w ：正弦量在单位时间内变化的弧度数

3、，反映正弦量变化快慢。即相角随时间变化的速度。,正弦量的三要素：,相关量：,频率f (frequency) ：每秒重复变化的次数。,周期T (period) ：重复变化一次所需的时间。,f =1/T,单位： w ：rad/s ，弧度秒 f ：Hz，赫(兹) T ：s，秒,市电：f=50Hz, T=1/50=0.02(s), w=2/T= 2f=314rad/s,(3) 初相位(initial phase angle) ：反映了正弦量的计时起点。,(w t+ )相位角 初相位角，简称初相位。,一般规定： | | 即： - 初相位是由f(t)=Fmsin(w t+)确定，若原用cos表示，求初相位

4、时应先化为sin形式再求。,令t=0 f(0)=Umcos =2narccosf(0)/Fm ， 可能为多值。,3.1.2 正弦交流电的相位差和有效值,相位差：两个正弦量之间的相位之差。 两个正弦量为同频率时，相位差为：,规定： | | (180),相位差不同时（u1比u2）,超前,滞后,同相,反相,正交,有效值：周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来衡量。,有效值(effective value)定义,定义： 若周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内产生的热 量，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内产生的热量，则称 电流I 为周期性电流 i 的

5、有效值。,当周期电流流过电阻时，在一个周期内所消耗的电能（电阻发热）为： 同样的电流流过电阻在同样的时间T内消耗的电能为： 两个电阻消耗电能相同时，规定直流电流I为周期电流i的有效值 有效值也称方均根值（root-mean-square，记为rms）。,设正弦交流电流为 有效值为 同理,以复数为基础，把正弦函数变换为复数形式，称为相量法。 向量、矢量vector：既有大小又有方向的一类量，如速度、力、力矩、位移、速度、加速度等。在数学上用一条用方向的线段，即有向线段来表示向量。 向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。,3.2 相量,1、复数 一个数包含有实数和虚数两个部分，称复数。 2、复数

6、的直角坐标形式和加减运算 3、复数的极坐标形式和乘除运算,3.2.1 复数和复数的四则运算,复数A基本概念： A=a1+ja2 一个复数A可以在复平面上表示为从原点到A的向量，此时a1可看作与实轴同方向的向量，a2可看作与虚轴同方向的向量。由平行四边形法则，则a1+ja2即表示从原点到A的向量，其模为|A|，辐角为。所以复数A又可表示为：,补充： 复数复习,复数A表示为,复数表示法 坐标表示法： A=a1+ja2 ； 矢量表示法：将a,b视为矢量OP在x轴和y轴上的投影，则用矢量OP可表示复数A； 三角表示法： 指数表示法：,复数运算 代数式运算： 三角式运算： 指数式运算：,复数加法的图解法

7、,例1.,5 47 + 10-25 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 -2.61,例2.,旋转因子：,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp= 1 故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,由欧拉公式 设正弦电压 其中 为一个与时间无关的复数，是复数的极坐标形式，其中U为模，为辐角，分别表示正弦电压的有效值和初相角。则在频率已知时，U是一个可表示正弦时间函数的复数，称为

8、相量。,3.2.2 正弦量的相量表示,对应一个正弦量的向量称为相量(phasor，相位复(数)矢量)，用大写字母上加一点表示。 相量上加一点是为了和普通的复数相区别(强调它与正弦量的联系) ，因为它表示的不是一般意义的向量，而是对应了一个正弦量。,正弦量与相量之间的关系：,复数在复平面上的加减运算,相量图：把相量在复平面上的图示称为相量图,注：频率不同的相量不能画在同一个相量图上。,正弦量求和： 1）任意个频率相同的正弦量及任意个这类正弦量的任意阶导数的代数和，仍为一同频率的正弦量； 2）如果若干个同频率的正弦量的代数和为零，则各正弦量所对应的相量的代数和也为零。,相量运算,(1) 同频率正弦

9、量相加减,故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。,这实际上是一种 变换思想,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,正弦量的微分，积分运算,证明：,小结, 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。, 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,KCL： KVL：,3.3 基尔霍夫定律的相量形式,简证KCL的相量形式: （略）,由KCL有： i1(t)+ i2(t) + i3(t)=0,同理可证KVL的相量形式,故： i1(t)+ i2(t) + i3(t),例3-

10、3 已知图中节点电流工作频率为50Hz，i1的有效值为50mA，初相角为-30度，i2的有效值为100mA，初相角为150度，求i3的瞬时表达式，并画出相量图。 解：,讨论三个元件在正弦电流的作用下的概念。,3.4 电阻、电感和电容元件的正弦电流,1、电流与电压的关系,3.4.1 电阻,2、在电阻中消耗的功率 1）瞬时功率 2）平均功率或有功功率：瞬时功率p(t)在一个周期内的平均值P,3、电阻的电能量 电阻在一段时间t内所消耗的电能量 W=Pt 单位为焦耳（J），或千瓦小时（kWh，度）,1、电流与电压的关系 设流过L的正弦电流,3.4.2 电感,则电流和电压的相量形式（电感元件相量形式的伏

11、安关系） 其中乘数j为旋转因子，表示一个90o角，表明电感电压在相位上超前电流90度。,结论 1）在电感中通过正弦电流时，其端电压为同频正弦电压，但电压的相位超前于电流90度； 2）电压、电流的有效值关系不仅与L有关，还与角频率有关，频率高则U越大，频率低U越小，当0时，U为零，电感短路。,2、电感的功率和磁场能量 1）瞬时功率 设电流和电压为 则瞬时功率,2）平均功率或有功功率：瞬时功率p(t)在一个周期内的平均值P 则电感是不消耗功率的，但瞬时功率有正有负，p(t)0时，电感释放能量，储能减小。,3）储存的能量 电感储存的磁场瞬时能量为 则电感是储能元件。 电感储存的磁场能量的平均值为,4

12、）无功功率 电感能够吸收能量又能释放能量，表明电感不断在与外电路（电源）进行能量交换，为了衡量能量交换的规模，定义无功功率为电感瞬时功率的最大值。 单位为乏（var）。,例3-6 某电感L40mH，电源电压 求在关联参考方向下的i(t)，QL和WL以及当电源频率提高一倍时它们是多大？ 解：电源频率为,无功功率为 平均储能 电源频率增加一倍时，,1、电流与电压的关系 设加在C上的正弦电压,3.4.3 电容,则电流和电压的相量形式（电容元件相量形式的伏安关系） 其中乘数j为旋转因子，表示一个90o角，表明电容电流在相位上超前电压90度。,结论 1）在电容中加正弦电压时，其流过的电流为同频正弦电流，

13、但电流的相位超前于电压90度； 2）电压、电流的有效值关系不仅与C有关，还与角频率有关，频率高则I越大，频率低I越小，当0时，I为零，电容开路。,2、电容的功率和电场能量 1）瞬时功率 设电流和电压为 则瞬时功率,2）平均功率或有功功率：瞬时功率p(t)在一个周期内的平均值P 则电容也是不消耗功率的。,3）储存的能量 电容储存的电场瞬时能量为 则电容是储能元件。 电容储存的电场能量的平均值为,4）无功功率 无功功率为电容瞬时功率的最大值。 电容是储存电能的元件，电感是储存磁能的元件，则规定QL为正，QC为负。 单位为乏（var）。,阻抗与导纳的概念 用相量法分析无源二端电路的等效阻抗,3.5

14、阻抗与导纳、相量模型,三种元件R、L、C相量形式的伏安关系，在关联参考方向下为：,3.5.1 阻抗与导纳,阻抗impedance：正弦交流电路中元件的电压相量与电流相量之比（交流电阻） 全电阻在交流电路中电流所遇到的所有阻抗，单位欧姆，由电阻和电抗（resistance and reactance）两部分组成，在复合的标记中通常表示为： Z= R+jX，其中 R是电阻抗， X是电抗。 三种元件的阻抗为 XL为感抗（电感的电抗） XC为容抗（电容的电抗）,（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。,导纳admittance：阻抗的倒数，实部为电导(conductance) ，虚部为电纳，单位西门子。

15、 电阻、电感和电容的导纳为 BC为容纳（电容的电纳） BL为感纳（电感的电纳）,相量模型：在正弦交流电路分析中用I，U替代i(t)，u(t)，用ZR，ZL，ZC或YR，YL，YC替代R，L，C，这时的电路模型称为相量模型。,3.5.2 用相量法分析无源二端电路的等效阻抗,相量法公式,例3-8 RLC电路，外施正弦电压的角频率为1000rad/s，求该电路的等效阻抗Z，若频率为500rad/s，求该等效阻抗Z。,例3-10 求ab端的阻抗及端电压与端电流的有效值比和相位差，已知1000rad/s。 解：利用阻抗串并联公式得 端电压与端电流的有效值之比为51，相位差为11.31度。,一般无源二端电

16、路的等效阻抗为 阻抗模反映二端电路端电压、电流有效值比值。 阻抗角是端电压、电流的初相角之差。,二端电路的电性质是与施加的频率有关的,先将电路转换为相量模型，再由相量形式的KCL，KVL及元件的相量形式伏安关系，仿照直流电阻电路的分析方法进行计算，如网孔分析法，节点分析法，叠加定理，等效电源定理等。 解出待求量的相量形式，再反变换为以t为变量的正弦电压或正弦电流。,3.6 复杂正弦电路的分析计算,例3-14 应用戴维南定理求支路电流I。,正弦交流电路的重要用途是传输能量。 选定二端电路的电压、电流为关联参考方向，设电压超前电流角。,3.7 正弦交流电路的功率和功率因数,二端电路瞬时功率(ins

17、tantaneous power),3.7.1 二端电路平均功率和功率因数,一个周期内p0的时间长，即电路吸收功率多于释放功率，即存在耗能元件的作用。,p有时为正, 有时为负 p0, 电路吸收功率 p0，电路发出功率,平均功率(average power) 其中端电压与端电流之间的相位差为 cos称为功率因数。功率因数是衡量交流设备作功情况的一个重要数，越小，功率因数越大。 当0时，为纯电阻电路，cos1，在大多工业设备中是电感性负载，如电动机，使相位差=90，则功率因数很低。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，即为有功功率，代表电路实际消耗的平均功率，它不仅与电压和电流有效值有关，而且与cos

18、有关，这是交流和直流的很大区别，主要由于存在储能元件产生了阻抗角。,当负载所需功率P一定及供电电压U一定时，负载的功率因数越低，电源供给负载的电流越大，则使输电线上的损耗增加，线路电压降增大。 功率因数调整电费办法（要求大于0.85或0.9），用电户负载的功率因数实际上达不到要求，则可采用在负载上并联电容的方法。 串联后使负载工作电压变化，则不能串联。,例3-15 有一台20kW交流电动机接在50Hz，380V电源上，交流电动机的等效电路可看作由R与L串联构成，在正常工作时功率因数为0.5，试计算（1）线路电流 ；（2）当并联一电容C580F时，求负载功率、线路电流 和整个电路的功率因数。 解

19、：,并联电容后由于电容的平均功率为零，且 不变，则总功率不变，P=20kW,在对二端电路计算平均功率时，也可根据能量守恒定律，因电容、电感不消耗功率，则电路平均功率就等于电路中所有电阻上所消耗的功率之和，可表示为：,为反映电感或电容元件与电源之间的能量交换规模，定义无功功率为电感或电容的瞬时功率的最大值。 单位：var (乏)，或称无功伏安。,3.7.2 二端电路的无功功率(reactive power),二端电路瞬时功率,UIcos(1-cos2t)为不可逆分量，相当于电阻元件消耗的功率。,UIsin sin2 t为可逆分量，周期性交变，相当于电抗吸收的瞬时功率，与外电路周期性交换。,电抗元

20、件吸收无功，在平均意义上不做功。Q=UIsin , Q 的大小反映网络与外电路间交换能量的最大速率。,无功功率的物理意义:,交流电在通过纯电阻的时候，电能都转成了热能，而在通过纯容性或者纯感性负载的时候，并不做功。也就是说没有消耗电能，即为无功功率。 当然实际负载不可能为纯容性负载或者纯感性负载，一般都是混合性负载，这样电流在通过它们的时候，就有部分电能不做功，就是无功功率.,所谓无功功率就是不消耗电能的用电设备所消耗的功率。 如将电容器接入交流电路中，电路对电容器充放电，则有电流，充电时电容储存电能，放电时电容把电能还给电源，则电容本身不消耗电能，但却有功率（功率等于电压乘以电流），即为无功

21、功率。 电容虽然不消耗电能，但因有电流，则电力线路上会消耗电能（电线都有电阻），对供电的电源变压器则是一种负担，因变压器的容量（能提供的功率）是有限的，无功功率会占用变压器的容量，使正常供电受到限制。,同样，把一只电感器接入交流电路，也会产生无功功率。不过电容器使电流相位超前，而电感器使电流相位滞后，它们的作用正好相反，可以相互抵消。 一般用电设备是电感性的，如电动机，产生感性无功功率，不但使电力线白白消耗电能，增加电力线路负担，更白白占用电源变压器容量，是有害的。 若在电动机上并联电容，使感性负载与容性负载的作用抵消，对电力线路和变压器来说就没有无功功率的影响了。 无功补偿装置就是配套的电容

22、器（由许多只电容器并联而成），由自动控制设备自动接入电路。,辞海中无功功率的解释：具有电感和电容的交流电路中，电感的磁场或电容的电场在一个周期内的一部分时间内从电源吸收能量，另一部分时间内将能量返回电源。在整个周期内平均功率为零，也就是没有能量消耗。但能量是在电源和电感或电容之间来回交换的。能量交换率的最大值叫做无功功率。,R、L、C元件的有功功率和无功功率,PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R QR =UIsin=UIsin0 =0,对电阻，u, i 同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。,纯电阻：,纯电感：,电感不消耗有功，且QL0。,PC=UIco

23、s =Uicos(-90)=0 QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI,电容不消耗有功且QC0。,* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用,PL=UIcos =UIcos90 =0 QL =UIsin =UIsin90 =UI,纯电容：,视在功率S (apparent power),视在功率并不代表电路实际的吸收功率，它反映电气设备的容量。单位：VA（伏安）不用W，以示区别）,复功率,有功，无功，视在功率的关系：,功率三角形,例3-16 电路中端电压有效值为220V，求各负载及全电路的P，Q，S和功率因数。 解：全电路的等效阻抗为,一个含有LC元件的无源谐振电路，接入正弦交流

24、电源时，电路可能出现谐振（resonance）。 谐振可作为信号源振荡器，电视和收音机的选频电路。,3.8 谐振电路,谐振：接入正弦交流电源时，若端电压与输入电流同相位，电路呈现电阻性。或说是端口输入阻抗的虚部为零。,3.8.1 串联谐振,当满足一定条件(对RLC串联电路，使L=1/C)，电路呈纯电阻性，端电压、电流同相，电路的这种状态称为谐振。,谐振：,一、 谐振(resonance)的定义,串联谐振：,二、使RLC串联电路发生谐振的条件,1. L、C 不变，改变 w 。,2. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。,谐振角频率 (resonant angular frequen

25、cy),谐振频率 (resonant frequency),通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使电路达到谐振(调谐)。,三、RLC串联电路谐振时的特点,根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。,2. 输入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。,3. 电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。,4. 电阻上的电压等于电源电压，LC上串联总电压为零，即,串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，因此串联谐振又称电压谐振。,谐振时的相量图,5. 功率,P=RI02=U2/R，电阻功率最大。,即L与C交换能量，与电源间无能量交换。,四、特性阻抗

26、和品质因数,1. 特性阻抗 (characteristic impedance),单位：,与电源频率无关，仅由L、C参数决定。,2. 品质因数(quality factor)Q,它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。,无量纲,(a) 电压,品质因数的意义：,即 UL0 = UC0=QU,谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0)为电源电压的Q倍。,当 Q 很高，L 和 C 上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面要加以避免。,例：,某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20,但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备，应尽量避免。,如信号电压10mV , 电感上电压650mV ，这是所要的。,(b) 能量,设,电场能量,磁场能量,电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。,总储能是常量，不随时间变化.,由Q 的定义：,Q 值越大，维持一定量的电磁振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的“