方差分析与回归分析.ppt

1、概率统计教研室，2012，第8章：方差分析和回归分析，方差分析的概念和基本思想，单向方差分析，双向方差分析，回归分析的基本概念，一元线性回归模型的建立和检验，预测，控制和残差分析，可线性化的一元非线性回归，概率统计教研室，2012，方差分析的概念和基本思想，问题介绍， 实施例8.1为了比较四种单层波纹海运集装箱的抗压强度，从每种类型中随机选择六个集装箱进行最大抗压试验，获得的试验数据如表8.1所示。 假设容器的抗压强度服从正态分布。不同类型海运集装箱的抗压强度有什么显著差异吗？如果有差异，哪一个有最高的抗压强度？2012年8月2日，针对某一疾病有五个治疗方案，其中前四个为常规方案，第五个为新方

2、案。为了比较其疗效，将30例患者随机分为5组，每组6例。同一组的患者采用相同的治疗方案进行治疗。表8.2记录了患者从治疗开始恢复所需的天数。假设患者从治疗开始恢复所需的天数服从正态分布，询问不同的治疗方案。如果有差异，哪个治疗计划需要最少的天数？概率统计部，2012年8月3日。一位老师想检查三种不同教学方法的效果。为此，他随机选择了15名水平相同的学生。他们被分成3组，每组有5名学生，每组用一种方法教学。一段时间后，老师给15名学生进行了统一考试，统一考试的结果如下表所示。假设学生的考试成绩服从正态分布。不同教学方法的效果有显著差异吗？如果有差异，哪种教学方法效果最好？概率统计系，2012年，

3、等等。无论其具体的实际背景如何，它们都可以归纳和抽象为同类型的数理统计问题：相关参数的估计和基于实验数据的三个或三个以上正态总体平均值的比较，如下图所示。从数理统计的角度来看，其实质是判断这些检验数据是否来自同一人群；从实际应用的角度来看，是判断三组或三组以上测试数据的背景条件是否相同。英国统计学家费希尔通过1919年至1925年在罗斯阿姆斯特实验站的一系列研究结果给出了一个很好的答案，并提出了所谓的方差分析。1.实验指标(实验指标)用来反映测试结果的测试对象的特征称为实验指标。这里提到的所有测试指标都是定量的。2.因子及其水平是指作为因子影响测试指标变化的原因，不同水平的因子称为水平。3.治

4、疗在一个实验中，不同水平的被调查因素的组合被称为治疗，即进行实验的条件。概率统计教研室2012，例8.4下表为以棉花品种、播期、密度为因素的棉花栽培试验处理设计。本试验的目的是了解不同类型棉花在不同播期和密度下的生产力。概率统计教研室2012，4。随机误差随机误差是指接受某种处理的实验单位的实验指标的观测值与其理论值之间的差值。在实践中，通过不同的实验接受相同的处理，方差分析的基本思想是将检验指标值的方差分解为条件变异和随机误差，然后将每个因素形成的条件变异与随机误差进行比较，评价某个因素引起的变异是否具有统计显著性。概率统计系，2012，单变量方差分析，单变量重复方差分析在固定效应模型下，方

5、差分析要解决的问题转化为以下假设检验问题。参数估计，概率统计教学与研究部分，2012，4。偏差平方和及自由度分解，总偏差平方和，偏差平方和，总偏差平方和，总偏差平方和，总自由度，总自由度，总自由度，总自由度，概率统计教研室2012，概率统计教研室2002方差分析的结论是H0被接受，这意味着现有的测试数据不能证明控制因子对测试指标有影响。在2012年，案例8.5试图分析示例8.1的测试数据的方差。解决方案：建立统计假设，概率统计教研室2012年例8.5的方差分析表，概率统计教研室2012年单变量不等重复方差分析，2。离差平方和与自由度分解计算，概率统计教研室，2012，2。方差分析的结论是H0被

6、接受，这意味着现有的实验数据不能证明控制因子A对实验指标有影响。概率统计部2012，双因素方差分析，双因素方差分析的背景和交互作用概念，在实际问题的研究中有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。并且要选择两个因素的合适的最优组合来达到优化测试指标的目的，这时就遇到了双因素方差分析的问题。有人在研究氮肥和磷肥对油菜产量的影响时，获得了以下实验数据。显然，512-470-2-10=30既不是纯氮肥引起的产量变化，也不是纯磷肥引起的产量变化，后者是互作引起的。交互作用是指两个或多个因素在不同水平上引起测试指标变化的能力。概率统计部，2012，双因素方差分析的类型和统计模型，概率统计部，双因素方差分析模

7、型，2012，1。不考虑交互作用的双因素方差分析的数据结构不考虑交互作用的双因素方差分析的实验数据具有以下结构模式。本文只讨论固定效应模型下的数据分析。不考虑交互作用的双因素方差分析，概率统计教研室，2012，2。不考虑交互作用的统计模型，概率统计教研室，2012。在固定效应模型下，方差分析要解决的问题转化为以下假设检验问题：3 .参数估计，概率统计教研室，2012，4。离差平方和与自由度分解，总离差平方和，A离差平方和，E离差平方和，总自由度，A自由度，E自由度，B离差平方和，B自由度，概率统计部，2012，2012，5。方差分析的假设检验原则，概率统计部，2012，不考虑交互作用的双因素方

8、差分析表，6。离差平方和的数学期望，类似于单因素离差平方和的数学期望的证明，有如下结论：2012年8月10日，在概率统计教研室进行了一次小麦品种试验，共试验了88个品种，其中A1、A2、A88为对照，A6为对照，分三个区域种植，每个区域的计算产量面积为22.2平方米。实验数据如下表所示(单位：千克)。试分析品种和地区对小麦产量是否有显著影响。概率统计教研室2012，解决方案：建立统计假设，即H01:品种间产量差异不显著；H11:品种间产量差异显著。H02:区域间产量差异不显著。H12:的产量因地区而异。计算出的方差分析表如下：表明供试品种间的差异已达到非常显著的水平。由于品种比较试验的目的是与

9、对照品种进行比较，因此可以采用最小二乘法进行多重比较。分析表明，A5与对照有显著差异，A2与对照有显著差异，A5的99%增产区间为2.672.08。A2的95%增产区间为1.541.50。回归分析、相关和回归的基本概念1。相关性，系统中变量之间的关系，因果关系，相关关系，回归分析，相关分析，例如，血压Y和年龄X之间的关系，一般来说，年龄越大，血压越高，但是两个同年龄的人的血压不一定相等。另一个例子是，作物的每亩产量y和施肥量x之间有一定的关系，但当施肥量相同时，每亩产量不一定相同。这样的例子在实践中很少提及。相关性是两个随机变量之间的平行关系，它们要么是因果关系，要么有共同的原因。回归关系，在

10、相关关系中，如果你关心变量X对变量Y的决定或控制，并把X看作一个普通变量，那么就说变量X和Y遵循回归关系。3。回归模型和回归方程，如果普通变量X与随机变量Y存在回归关系，则Y不仅受变量X的影响，而且还受松散控制和未知因素的影响。因此，X和Y必须满足关系。对于回归模型，很明显，回归方程反映了因变量Y的水平和平均变化与自变量X的变化。回归模型分类，5。回归分析，研究一个随机变量(因变量)和一个或几个可控变量(自变量或预测因子)之间的回归关系，找出回归关系的模型，建立经验回归方程进行预测、优化和预测。这种统计方法称为回归分析。回归分析主要涉及以下三个基本问题：(1)提供一种用回归关系建立变量之间数学

11、关系的通用方法(称为经验公式)；(2)判断所建立的经验公式是否有效，判断哪些变量有显著影响，哪些没有，优化经验公式；(3)利用得到的经验公式进行预测、控制和优化。根据所选模型的性质，回归分析可分为线性回归和非线性回归；根据涉及的自变量数量，可分为单变量回归和多变量回归，单变量线性回归模型的建立和检验，单变量线性回归模型，单变量线性回归方程的参数估计及其性质，1。最小二乘法。最小二乘法估计量的统计性质，因此，正态分布的性质是：而且，因为，例8.12为了了解中国某地区成年妇女的身高x和腿长y之间的关系，在该地区随机选择了16名成年妇女，身高和腿长的测量数据如下表3360所示。解决方案：从散点图中不

12、难看出，腿长y和身高x之间的回归关系遵循线性模型，并且选择了线性回归方程。因此，本地区成年女性腿长Y与身高X的经验回归方程为：例8.13为了研究大豆脂肪含量与蛋白质含量之间的关系，测定了10个大豆品种籽粒中的脂肪含量和蛋白质含量，获得了以下数据。基于这组观测数据建立了蛋白质含量与脂肪含量的回归方程。线性回归方程的相关检验，1。分散和分解。回归显著性检验、f检验、相关系数检验、t检验、(a)、(f)严格线性关系；正相关；负相关；(d)、(e)线性独立。实施例8.14试图测试实施例8.13中建立的大豆蛋白质含量与脂肪含量的经验回归方程的显著性。解决方法：从例8.13可知，计算样本的相关系数，并查询

13、相关系数测试的临界值表。因此，回归方程在测试水平下具有显著的回归关系，即可以认为蛋白质含量和脂肪含量之间存在线性相关解决方案：从样本数据计算，对照，实施例8.16一所大学实验室对混凝土部件的强度和水泥用量之间的关系进行了测试，并研究了每立方米混凝土(单位：kg)的水泥用量对28天后混凝土部件的抗压强度(kgf/cm2)的影响。测试数据如下表所示。经验表明，混凝土强度与每立方米混凝土的水泥用量之间存在线性回归关系。有了这些试验数据，就可以确定如何控制每立方米混凝土的水泥用量范围，从而可以选择概率为0.95的混凝土强度。残差分析简介：(1)样本数据的方差是不均匀的，并且随着时间坐标的增加而增加；解释模型中应包括线性时间项；解释该模型应包括非线性时