数字信号处理 第1章 离散时间信号与系统.ppt

1、数字信号处理,1,第1章 离散时间信号与系统,教学提示：数字信号处理系统的时域分析可以分作两步来进行。第一步是时域离散信号和时域离散的线性时不变系统理论，即本章的内容，它研究的对象是幅度没有误差而仅在时间上量化了的信号及对应的系统。第二步再考虑幅度上量化以及量化误差的影响，这部分内容将在后面章节讨论。 教学要求：本章是全书的基础，要求学生掌握离散信号的时域表示及离散线性时不变系统的描述，重点掌握线性时不变系统输入与输出的关系及模拟信号的数字处理方法。,返回目录,数字信号处理,2,1.1 引 言,在绪论中已经定义了各种信号，本章讨论的对象是离散时间信号，即时间上取离散值，幅度上取连续值的信号。这

2、类信号的获得可以是直接观测的一组数据，也可以是将连续信号采样，使其离散化。对这类信号进行处理的系统则为离散时间系统。离散时间系统的分析方法与连续时间系统有并行的相似性。对连续时间系统用微分方程描述，而对离散时间系统用差分方程描述；在连续时间系统中，通过卷积运算可以获得线性时不变系统的输出，同样地，在离散系统中，用卷积和将线性时不变系统的输入、输出联系起来；另外，在连续系统中广泛使用的频率变换傅里叶变换也同样普遍应用于离散系统，连续系统中使用的复频率变换拉普拉斯变换，在离散系统中与之相对的是Z变换，等等。 本章作为全书的基础，主要讲述离散时间信号和时域离散的线性时不变系统的表示方法，离散时间信号

3、和时域离散的线性时不变系统的特性和模拟信号的离散化处理。,数字信号处理,3,1.2 离散时间信号,离散时间信号(discrete-time signal)是指在时间上取离散值，幅度取连续值的一类信号，可以用序列(sequence)来表示。序列是指按一定次序排列的数值的集合，表示为 或 式中，为整数，表示序列，对于具体信号，也代表第个序列值。特别应当注意的是，仅当为整数时才有定义，对于非整数，没有定义，不能错误地认为为零。 将连续信号以为间隔采样，得到的信号的采样值构成一个数字序列，该数字序列就是一个离散时间信号，该离散信号各点的序列值在数值上等于对应各点的采样值，即,数字信号处理,4,在数值上

4、有 ， (n为正数)。 离散信号也可以是通过观测得到的一组离散数据，可用集合符号表示，例如： 式中，箭号表示离散时间信号的原点位置。离散时间信号除了用集合符号表示，还可以用公式和图形表示。 1.2.1 常用典型序列 1.单位采样序列(unit sample sequence或 unit impulse sequence) (1-1) 单位采样序列(也称单位脉冲序列)的特点是仅在n =0时序列值为1，取其他值，序列值为0。的地位与连续信号中的单位冲激函数 相当。不同的是 时 ,而不是无穷大。单位采样序列 和单位冲激函数 如图1.1所示。,图1.1 单位采样序列和单位冲激函数,数字信号处理,5,2

5、. 单位阶跃序列(unit step sequence) (1-2) 单位阶跃序列如图1.2所示。与连续信号中的单位阶跃函数类似。 3. 矩形序列(rectangular sequence) (1-3) 式中，称为矩形序列的长度。符号的下标表示矩形序列的长度，如表示长度矩形序列，如图1.3所示。,图1.2 单位阶跃序列,数字信号处理,6,单位采样序列、单位阶跃序列和矩形序列之间的关系如下： (1-4) (1-5) (1-6) 式(1-6)中，是的移位序列。一般地，若序列与序列之间满足的关系，则称为的移位(或延时)序列。 4. 实指数序列(real exponential sequence),数

6、字信号处理,7,如果 ， 的幅度随的增大而减小，此时为收敛序列，如，的幅度随的增大而增大，此时为发散序列。其波形如图1.4所示。,图1.4 实指数序列,5. 正弦序列(sinusoidal equence) (1-7) 式中，称为正弦序列的数字域频率，单位为弧度(rad)，它表示序列变化的速率，或表示相邻两个序列值之间相差的弧度数。=/4时的波形如图1.5所示。如果正弦序列是由连续信号采样得到的，那么,数字信号处理,8,(1-8),图1.5 正弦序列,因为在数值上序列值等于采样值，比较式(1-7)和式(1-8)，可以得到数字域频率与模拟角频率的关系为 (1-9) 式(1-9)具有普遍意义，它表

7、明由连续信号采样得到的序列，模拟角频率与数字域频率成线性关系。再由采样频率与采样间隔T互为倒数，式(1-9)也可以写成下列形式： (1-10) 式(1-10)表示数字域频率可以看作模拟角频率对采样频率的归一化频率。,数字信号处理,9,式(1-10)表示数字域频率可以看作模拟角频率对采样频率的归一化频率。 6. 复指数序列(complex exponential sequence) 式中， 为数字域频率。 如果对所有的n，关系式 均成立，且N为满足关系式的最小正整数，则定义x(n)为周期序列(periodic sequence)，其周期为N。 设， 那么 如果， 则要求 或 式中，和均取整数，而

8、且的取值要保证是最小的正整数。 对于具体的正弦序列(包括余弦序列以及复指数序列)有以下3种情况: (1) 当为 整数时， ， 该序列是以为周期的周期序列。例如图1.5所示序列， ， ， 该正弦信号的周期为8。,数字信号处理,10,(2) 当 不是整数,是一个有理数时， 设,式中，P、Q是整数，并且 为最简分数；取 ，则该序列的周期 。例如， ， ， 取，该正弦信号的周期为16。 (3) 当是一个无理数时，任何整数都不能使为正整数，则该序列不是周期序列。例如，该正弦信号不是周期序列。 最后讨论任意序列的表示。对于任意序列可以用单位采样序列的移位加权和表示，即 (1-11) 式中 例如，的波形如图

9、1.6所示，用式(1-11)可表示为,数字信号处理,11,图1.6 任意信号 任意序列的这种表示方法在信号与系统的分析中非常有用，在1.4节将使用式(1-11)来研究系统。 1.2.2 序列的运算 序列的运算包括加法，乘法，移位，反折和尺度变换。 1. 加法和乘法 两个序列的加法和乘法是指两个序列中同序号的序列值对应相加和相乘，如图1.7所示。,数字信号处理,12,图1.7 序列的加法和乘法 2. 移位，反折和尺度变换 设原序列为，序列的移位是指序列沿时间轴向左或向右平移个单位，得到。向左平移形成的序列称为原序列的超前序列，向右平移形成的序列称为原序列的延时序列。序列的反折是指序列以纵坐标为对

10、称轴左右交换，得到。序列的尺度变换是指序列每隔点取一点形成一个新序列。以上3种运算如图1.8所示。,数字信号处理,13,图1.8 移位，反折和尺度变换示意图,数字信号处理,14,1.3 离散时间系统,设系统的输入为序列，经过运算或变换得到一个输出序列；所谓离散时间系统(discrete-time system)就是指的这个运算或变换，用表示。这样输入和输出之间用式(1-12)表示。 (1-12) 并可用图1.9所示的框图描述。 图1.9 时域离散系统框图 离散时间系统中，最简单常用的是线性时不变系统，许多物理过程可以用线性时不变系统来近似。,数字信号处理,15,1.3.1 线性系统 满足叠加性

11、和齐次性的系统称为线性系统(linear system)。用数学语言描述如下。 若序列 和 分别是输入序列 和 的输出响应，即 如果系统是线性系统，那么一定下列关系式(1-13)、式(1-14)成立。 (1-13) (1-14) 式中，a是任意常数。满足式(1-13)称系统具有可加性(superposition property)；满足式(1-14)称系统具有比例性或齐次性(homogeneity)。将两式结合起来表示为 (1-15) 式中，和均为任意常数。 1.3.2 时不变系统 如果系统的输出响应随输入的移位而移位，即若，则 (1-16),数字信号处理,16,式中，为任意整数。那么称这样的

12、系统为时不变系统(time-invariant system)。 【例1.1】 某系统 ，若输入 ，则输出 (和为任意常数)。判断该系统是否为线性时不变系统。 解 (1) 判断线性性： 设序列 和 分别是输入序列 和 的输出响应，则有 将 和 相加得到新序列x(n)，设 y(n)为输入x(n)序列的输出响应，即 显然， ，因此该系统不是线性系统。 (2) 判断时不变性： 将输出信号平移个单位，得 将序列的移位序列作为输入信号，得到输出信号为,数字信号处理,17,可见， 因此该系统是时不变系统。 由以上分析得此系统为非线性时不变系统。 1.3.3 系统的因果性和稳定性 系统的因果性(causal

13、ity)是指如果系统时刻的输出只取决于时刻及时刻以前的输入序列，而和时刻以后的输入无关，这样的系统称为因果系统(causal system)。因果系统是物理可实现系统。如果系统时刻的输出还与时刻以后的输入序列有关，则这样的系统称为非因果系统。 系统的稳定性(stability)是指系统对于每一个有界的输入，都产生一个有界的输出。这样的系统称为稳定系统(stable system)。 【例1.2】 某系统 ，若输入x(n)，输出 ，判断该系统的因果性和稳定性。 解 由于 ，所以时刻的输出不仅与时刻及时刻以前(n-1时刻)的输入有关，还与时刻以后(n+2时刻)的输入有关，故，该系统为非因果系统。

14、如果输入x(n)有界，即， 则 即输出有界，故系统为稳定系统,数字信号处理,18,1.4 离散时间系统的描述方法,描述一个离散时间系统，可以从不同的角度来进行；可以直接描述系统的特性，也可以不考虑系统的具体结构，只研究系统输入和输出之间的关系。对线性时不变系统前一种方法是用单位冲激响应来表征系统；后一种方法是用差分方程(difference equation)来描述系统输入和输出之间的关系。 1.4.1 用单位冲激响应与卷积和表示线性时不变系统 设系统的初始状态为零，若输入信号 ，这种条件下系统的输出称为系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。即，单位冲激响h(n)应是系统对于 的零状态响应，用公

15、式表示为 (1-17) 系统 的输入用表示，并按式(1-11)表示成 这样系统的 输出为,数字信号处理,19,若系统 为线性系统，线性系统满足叠加原理性，得 若系统 同时为时不变系统，即，最后得到 (1-18) 式中，“*”代表卷积运算。式(1-18)称为卷积和(convolution sum)公式；此类卷积运算中的主要运算是反折、移位、相乘和相加，故此类卷积又称为线性卷积。 式(1-18)表明线性时不变系统的输出等于输入序列与该系统的单位冲激响应的卷积，因此只要知道线性时不变系统的单位冲激响应，按照式(1-18)，对于任意输入都可以求出该系统的输出。由此可以认为任何线性时不变系统都可由单位冲

16、激响应来h(n)表征。 如果序列x(n)和h(n)的长度分别是N和M，卷积结果的长度为M+N-1。 【例1.3】 设 ， , x(n)和h(n)如图1.10所示。求和的卷积y(n)。,数字信号处理,20,图1.10 例1.3图 解 方法一：用图解法求卷积和。 (1)将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示(图1.11中(a)、(b)图)。 图1.11 图解法求卷积过程,数字信号处理,21,(2) 将h(m)进行反折，形成h(-m)(图1.11中(c)图)； h(-m)将移位，得到h(n-m) (图1.11中(d)、(e)、(f)图)。 (3) 将x(m)和h(n-m)相同m的序列值相乘，再

17、相加，得到y(n)(图1.11中(g)图)。 再讨论解析法求线性卷积。 用式(1-18) 求解上式首先要根据x(m)和h(n-m)的非零值区间确定求和的上下限， x(m)的非零值区间为 ， h(n-m)的非零值区间为 ，或 ,由两个非零值区间可得n的取值区间为 ，它们的乘积 的非零值区间应满足： 和 因此 当 、 时，； 当 时， ； 当 时， 。 与图解法结果一致。,数字信号处理,22,y(n)用公式表示为 方法二：当序列x(n)和h(n)的长度分别为有限长M和N时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。 如图1.10所示： ， 线性卷积服从交换律、结合律和分配律，用公式分别表示如下： (1-

18、19) (1-20) (1-21),数字信号处理,23,设 和 分别是两个线性时不变系统的单位冲激响应，x(n)表示输入，根据式(1-20)和式(1-21)可以画出两组等效的线性时不变系统，如图1.12和图1.13所示。 图1.12 级联组合及等效系统 图1.13 并联组合及等效系统 图1.12表明两个线性时不变系统级联组合及其等效系统的单位冲激响应等于两系统分别的单位冲激响应的卷积。 图1.13表明两个线性时不变系统并联组合及其等效系统的单位冲激响应等于两系统分别的单位冲激响应之和。,数字信号处理,24,前面讨论过的系统的因果性和稳定性，对线性时不变系统而言，其具有因果性的充分必要条件是其单

19、位冲激响应满足式(1-22)： (1-22) 另外，满足式(1-22)的序列称为因果序列。而线性时不变系统具有稳定性的充分必要条件是其单位冲激响应满足式(1-23)： (1-23) 【例1.4】 设线性时不变系统的单位冲激响应， 式中，a是实常数，试分析系统的因果稳定性。 解 由于 时， ，所以系统是因果系统。 只有当 时， 收敛。因此该系统稳定的条件是 ，否则，不稳定。 1.4.2 用线性常系数差分方程表示线性时不变系统 一个N阶线性常系数差分方程用式(1-24)表示： (1-24),数字信号处理,25,式中， 、 均为常数， 、 都是一次幂，也不存在彼此相乘的项，所以式(1-24)称为线性

20、常系数差分方程。差分方程的阶数是用 项中i的最大值与最小值之差确定的。若x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出序列，则方程式(1-24)的两边分别为输出序列y(n)和输入序列x(n)的移位的线性组合，方程式(1-24)描述的就是系统输入和输出之间的关系，系数 、 表示系统的特性或结构。 1.4.3 线性常系数差分方程的求解 将方程式(1-24)改写成 (1-25) 由式(1-25)可以看出，如果计算n时刻的输出，需要知道系统n时刻以及n时刻以前的输入序列值，还要知道n时刻以前的输出信号值。而n时刻以前的输出信号值就是求解差分方程必须的初始条件，初始条件不同，差分方程的解也不同。,数字信号处理,26,本节仅介绍递推解法，这种解法简单，适合用计算机获得数值解，但不易得到闭合解。 【例1.5】 设系统用差分方程 描述，输入序列 ，若初始条件为(1) ；(2) ；(3) 。求输出序列 。 解 (1) 因为初始条件为 ，所以 。 由 得到 (2) 因为初始条件为 ，所以 。 由 得到,数字信号处理,27,(3) 初始条件为 ，由 得到,由