概率论与数理统计课件(中国矿业大学)第一章.ppt

1、概率论与数理统计,概率论的起源,概率论的起源之一是博奕问题。1516世纪意大利数学家帕乔利( Pacioli )、塔尔塔利亚(Tartaglia)和卡尔达诺的著述中曾讨论过 “如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷（AGCde Mere）向帕斯卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。,荷兰数学家惠更斯（CHuygens， 16291695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究，对这类问题产生兴趣并著论赌博中的计算 (1657） 探讨概率问题的原理。,这些数学家

2、主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念 （如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论作为一门科学的诞生。,内容与学时,第一章 第五章,第六章 第九章,参考学习书目：,概率论与数理统计，同济大学,概率论与数理统计学习辅导与习题解答,概率论,数理统计,如何学习概率统计?,1.认识其重要性, 培养浓厚的学习兴趣,2. 学数学最好的方式是做数学,读、听、作,在科学上没有平坦的大道 , 只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登 的人,才有希望到达光辉的顶点 .,马克思,3. 学习要求:,预习,听课(记笔记),复习、巩固,自然界和社会中有两类现象：,确定性现象：在一定条件下必然发

3、生的现象,例 抛一石子必然落下；,（结果可以事先预言的）,随机现象：,在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量的重复观察中又具有某种统计规律性的现象。,（结果不可事先预言）,例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；,绪 言,同性电荷互斥,第一章,第1节,随机事件及其运算,一、随机试验,二、样本空间与随机事件,三、事件间的关系及其运算（重点）,一、随机试验,对随机现象进行观察的试验,1、可以在相同的条件下重复进行；,2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能 预先知道全部可能结果；,3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。,E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。,例：,E2 : 将一枚

4、硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。,E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。,E3 :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。,E(experimentation),，具有以下特点：,二、样本空间与随机事件,定义1,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E,的样本空间,记为S ,样本空间的元素,即E的每个结果，,称为样本点,记为e。,例如上页引例中：,= H,T ,=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,可列无穷个,=0,1,2,3,= t | t0,连续、 不可列,. 样本空间,S1,S2,S3,S4,例：,将一枚硬币连抛三次,1) 观察正反面出现的情况,2) 观

5、察正面出现的次数,. 随机事件,定义2,样本空间中的子集称为随机事件，简称事件，,一般记为 A, B, C等。,A 点数之和为7 ,例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，,注意：,S=11,12,13, ,61, ,66,A=16,25,34,43,52,61,特殊随机事件：,3. 基本事件：,一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果）,1. 必然事件：,每次试验中必然发生的事件,记为S。,2. 不可能事件：,每次试验一定不发生的事件,记,事件A发生,A中的某一个样本点在试验中出现, 包含、相等关系,A发生必然导致B发生,1.事件的关系,三、事件间的关系及其运算（重点）,事件B包

6、含事件A,A与B相等，,记为 A=B。,事件的和,A和B的和事件,表示A与B中至少有一个发生，即：,A与B中至少有一个发生时，,发生。,事件的积,表示事件A和B同时发生， 即：,A与B的积事件,当且仅当A与B同时发生时，,通常简记为AB。,发生。,事件的差,A- B 表示事件A发生但事件B不发生,但,互斥事件(互不相容),，则称A,B为互不相容事件,即：A、B不能同时发生。,对立事件(逆事件),A与B的差事件,且,，则称事件A与B互为逆事件,或互为对立事件。,A的对立事件记为,=S -A。,2 .事件的运算法则,交换律,；,结合律,分配律,德摩根律：,；,推广：,;,，,注：事件的一些关系式,

7、例1.,设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件,(1) A 发生, B 与C 不发生,(2) A 与B 发生, C 不发生,(3) A, B 与C 都发生,(4) A, B 与C 至少有一个发生,(5) A, B 与C 全不发生,(6) A, B 与C 至少有两个发生,(A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销,(C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销,解 设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”,则,，故选(D),例3 关系( )成立，则事件A与B为对立事件。,(c)显然成立，,(d)也成立。,解释(d)：,例4.,在掷子的试验中, 样本空间,事件A 出现偶数点 ,事件B

8、出现奇数点,事件C 出现点数大于4 ,事件D 点数大于5,求:,解:, A=2,4,6 , B=1,3,5 , C=5,6 D=6,A与B为对立事件,二、概率的统计定义,一 、频率,第2节 频率与概 率,三、概率的公理化定义,重点掌握利用关系式计算概率,一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大,量重复试验中随机事件的出现呈现出一定的数量规律，,频率这一概念近似反映了这个数量规律。,1.定义 1 设 E, S, A为E中某一事件，在相同条件下,进行n次独立重复试验，事件A发生的次数记为,称为A的频率。(frequency),2. 性质：,一、频率,则比值,结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动

9、性很大；随着,n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。,这种现象称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，,频率稳定值,注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动 范围越小。,即概率的统计定义。,二、概率（概率的公理化定义）,1.定义 设 E, S ,对于E的每一事件A，赋予一个实数，,记为P(A),称为事件A的概率,如果P( )满足以下三个公理：, 非负性：, 规范性：, 可列可加性：,2. 性质：,故由可列可加性,有限可加性,，则,证明 取,所以,证明,且 A 和 BA互不相容,得式成立；,证明,推广：,(加法公式),提示：可用归纳法证明,例1. 已知,证明:,例2、,解：,

10、例3 某人外出旅游两天，据天气预报知：,第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，,两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：,(2) 第一天不下雨，第二天下雨,(4) 两天都不下雨；,(1) 第一天下雨，第二天不下雨,(3) 至少有一天下雨,解：设A第一天下雨，B第二天下雨,则,(5) 至少有一天不下雨,(1),(2),(3),(4),(5),例4 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，,C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，,同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同,时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试,求下列事件的概

11、率：,(1) 只订购A的,(2) 只订购A，B的,(3) 只订购一种报纸的,(4) 只订购两种报纸的,(5) 至少订购一种报纸的,(6) 不订购任何报纸的,解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”,(1),(2),(3),两两互不相容的,(4),两两互不相容,(5),(6),例5 已知,求 A,B,C 中至少有一个发生,解,的概率。,例6 证明,证,例7,，求,解,第一章,第3节,等可能概型（古典概型）,一、等可能概型的定义,二、计算公式,三、计算方法,1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，,有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；,等可能性 每个基本事件的发生的可

12、能性相同。,例：E1抛硬币,观察哪面朝上,2.计算公式：,等可能概型也称为古典概型。,E2投一颗骰子，观察出现的点数, 若事件A包含k个基本事件，即,则有,例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求,解 法一：出现点数之和的可能数值, 不是等可能的,法二：,36个,例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。,解 令A点数之和为奇数,法一，,36个,18个,法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶),A=(奇,偶)，(偶,奇), 说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。,3.方法：,构造A和S的样本点(当样本空间S的元素,较少时，先一一列出S和A中的元素，直,用排列组

13、合方法求A和S的样本点个数,预备知识,. 加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有,种方法。,.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有,，则完成该项工作一共有：,种方法。,种方法（i=1,2,m),.排列：,从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，,进行排列，共有,种方法。,次排成一列，称为可重复排列，一共有,. 组合,从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，,组合数为,或,例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次, 无放回，考虑顺序,12,13,21,23,31,32,无放回，不考虑顺序,12,13,23, 有放回，考虑顺序,11,12,13,21,22,23,31,3

14、2,33,例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其,(1) “取到的两只球都是白球”,(2) “取到的两只球颜色相同”,(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”,解 a.,(1),(2),求下列事件的概率：,若直接考虑：,(1),(2),(3),b.无放回,(考虑先后顺序),思考：如果不考虑顺序呢？,例4.,某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现,在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率,解,(方法一),设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”,= “ 3 名优秀教师中恰有 名女教师”,则,方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”,注：

15、在使用排列组合时，分子分母要保持一致。,例6 (分房问题) 将r个球随机地放入n(nr)个盒子中，,设各个球放入每个盒子是等可能的，,解,求：每个盒子至多有一个球的概率。,将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件,例5 袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只,摸出来，求第k个人摸出的是黑球的概率。,解 将k个人取球的每一种取法看成一个样本点,例7(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一,(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？,(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人

16、生日相同”,当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率,接近于1，即 B几乎 总是会出现。,(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”,当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率,接近于1，即 B几乎 总是会出现。,第4节 条件概率,一 条件概率,二 乘法公式,全概率公式 贝叶斯公式,第一章,(1) 抽中的是k的概率;,(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。,解：,A 抽中的是红桃, B 抽中的是k,(1),(2),上述式子具有普遍性吗?,一 条件概率,1、定

17、义：,设 A，B为两事件，且,则称,为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,则,2.,性质：条件概率满足概率的6条性质。,(1) 在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）,(2) 定义法,例1、 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% ,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品,的概率。,解,则由已知得,如引例,2、 条件概率的求法,例2 盒子里有4只产品，其中3只一等品，一只二等品，,试验 E：依次取两只，做无放回抽样.事件 A: 第一次取,得一等品；,事件 B: 第二次取得一等品，求,解,由条件概率的公式,定理 设,，则有,推广,其中,二、乘法公式,推广到n个事件，如

18、果,则有,设袋中装有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只，,观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取的同色的球，,第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。,若在袋中连续取球四次，求：,例3.,i=1，2，3，4,注：a =0时,就是有放回抽样； a = -1时,就是无放回抽样。,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票,问各人获得此票的机会是否均等？,例4、,同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票,思考：如果是两张电影票呢？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示最后一个数为奇数时，不超过三次接通所需电话.,三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式,定义,(1

19、),(2),则称,注:对每次试验，,例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为,而,不是划分。,1、全概率公式,则有,证:,如图所示。,解,有三个箱子，分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东西,球，求取得红球的概率.,则,某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一,例6、,=,例7、,假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙,再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？,解 设 A 从乙中取到白球， B 从甲中取到白球,袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，,=,去构造这一组 Bi 往往可以简化计算.,全概率公式的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下计,算P(A)不

20、易, 但 A 总是伴随着某个Bi 出现，,所以适当地,运用全概率 公式计算P(A),2、 贝叶斯公式,定理,设随机试验E的样本空间为S , A为E的任意,一个事件,为S的一个划分, 且,则,，称此式为贝叶斯公式。,例8.,设某工厂甲, 乙, 丙 3 个车间生产同一种产品, 产量,依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品率为,0.96, 0.98, 0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？,解,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，,设 A 表示“任取一件产品为次品”,由题意得,由贝叶斯公式,所以该产品是甲车间生产的可能性最大。,用全概率公式

21、求,得,例9、,A某种临床试验呈阳性,B被诊断者患有癌症,根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性,的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95， 已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，,如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？,解,由题，已知,注：,样本空间划分的寻找,1、直接找题目中概率相加等于1的事件;,2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。,已知 “结果” 求 “原因”,寻找导致 A 发生的每个原因的概率., 贝叶斯公式是在观察到事件 A 已发生的条件下，,注：, 全概率公式是在已知导致事件A 的每个原因发,生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。,

22、已知 “原因” 求 “结果”,例10 在电报系统中，不断发出“0”和“1” ，发“0”和“1”,的概率为0.6和0.4，发“0”分别以0.7, 0.1和 0.2接受为“0”,“1”和模糊信息“X ”，发“1”分别以 0.85, 0.05和 0.1接收,“1”,“0”和模糊信息“X ”，试求：,收到信息为模糊信息的概率。,收到模糊信息应该译成什么信息的最好。,分析发信息 收信息,“0”,“0” 0.7,“1” 0.1,“X ” 0.2,0.6,“1”,“1” 0.85,“0” 0.05,“X ” 0.1,0.4,解设Ai 表示“发出的信息为“i” ，i=0,1,Bi 表示“收到的信息为“i” ，

23、i=0,1,X,，所以应为“0”信息好。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果无次品，便买下了这一箱.否则退回，问 顾客买下该箱的概率； 在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。,B0 ,B1 ,B2 分别表示“箱中恰好有0，1，2只次品, 由全概率公式:,解,例11,设 A 表示“顾客买下所察看的一箱”, 由Bayes公式:,备用：,解:,分别表示他乘火车, 汽车, 轮船, 飞机,设 A = “他来迟了”,由题意, 则,某人从外地来参加会议, 他乘火车, 汽

24、车, 轮船,不会迟到; 而乘火车,汽车或轮船来迟的概率为,2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？,下求,下求,1) 由全概率公式,2) 由贝叶斯公式,乘火车的可 能性最大,第5节 事件的相互独立性,引例：,E 掷两枚硬币，观察正反面的情况,A 甲币出现H ， B 乙币出现H,由此看出,一 、两个事件相互独立,定义1,设A、B是两个事件，如果有如下等式成立,则称事件A、B相互独立。,定理,设 A、B是两个事件, 若,，则A、B 相互独立的充分必要条件,为, 若A、B 相互独立,证,相互独立,则有,反之，由乘法公式,证：,其余同理可证。, 若A、B 相互独立,思考:,如图所示的事件独立吗?,则A 与B 不相互独立.,则A, B不互斥.,故 A , B不独立,而,即,若A, B互斥, 且,反之,若A 与B 相互独立,且,互斥(互不相容),独立,例1、,甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命,中率分别为0.6，0.5，求飞机被命中的概率。,解：,A 甲击中飞机，B