数学选修1--2课件2.2.2.ppt

1、2.2.2 反 证 法,1.了解反证法，体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维能力. 2.会用反证法证明数学问题.,1.本课时重点是反证法的思维过程以及利用反证法证明数学问题. 2.本课时难点是如何反设以及结论的处理.,反证法 1.反证法 假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经 过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证 明了_，这种证明方法叫做反证法.,不成立,假设错误,原命题成立,2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 _矛 盾等.,已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实,1.反证法的实质是什么？ 提示：反证法的实质就是

2、否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的. 2.反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？ 提示：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严格的演绎推理.,3.用反证法证明命题“a,bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是_. 【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a,b至少有一个能被5整除的否定是a,b都不能被5整除. 答案：a,b都不能被5整除,1.反证法概念的理解 (1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性. (2)反证法属于逻辑方法范畴，

3、它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.,2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.,用反证法证明否定性命题 【技法点拨】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法,2.反证法证明问题的一般步骤,【典例训练】 1.(

4、2012荆州高二检测)用反证法证明：“方程ax2+bx+c=0,且 a,b,c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实 数根x0为( ) (A)整数 (B)奇数或偶数 (C)自然数或负整数 (D)正整数或负整数 2.已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证： 不成等差数列.,【解析】 1.选A.解题流程：,2.解题流程：,【归纳】解答本题2的关键点及矛盾的类型. 提示：1.解决本题2的关键是利用等差、等比中项的公式推证. 2.矛盾的类型是与已知相矛盾.,【变式训练】已知 证明方程f(x)=0没有 负数根. 【证明】假设x0是f(x)=0的负数根， 则x00且x0-1且

5、由 解得 这与x00矛盾，所以假设不成立， 故方程f(x)=0没有负数根.,用反证法证明“至少”“至多”等存在性问题 【技法点拨】 应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：,【典例训练】 1.(2012长沙高二检测)用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( ) (A)假设a,b,c都是偶数 (B)假设a,b,c都不是偶数 (C)假设a,b,c至多有一个是偶数 (D)假设a,

6、b,c至多有两个是偶数,2.(2012杭州高二检测)用反证法证明：关于x的方程 x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0，当 或 a-1时，至少有一个方程有实数根. 【解析】1.选B.“至少有一个”的反设词是“一个也没有”， 所以“a,b,c中至少有一个是偶数”的反设应该是“假设a,b,c 都不是偶数”.,2.假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得 则 解得 与 或a-1矛盾，故原命题成立.,【互动探究】题1中，“a,b,c中至多有两个偶数”的反设应该是什么？ 【解析】“a,b,c中至多有两个偶数”包括三种情形，即一个也没有，只有一个偶数和只有两

7、个偶数，所以反设应该是“a,b,c都是偶数”.,【想一想】 (1)“a,b,c中至少有一个是偶数”包括哪几种情形？ (2)解决此类问题应注意什么？ 提示：(1)“a,b,c中至少有一个是偶数”包括三种情形：一个是偶数，另两个不是偶数；两个是偶数，另一个不是偶数；三个都是偶数.,(2)在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原结论相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不充分的.,【变式训练】(2012黄冈高二检测)已知xR,a=x2-1,b=2x+2.求证：a,b中至少有一个不小于0. 【解题指南】先证明a+b0，再用反证法证明. 【证明】假设a,b都小于0，即a0,b0,所以a+b0.又a+b=

8、 x2-1+2x+2=x2+2x+1=(x+1)20,这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以a,b中至少有一个不小于0.,用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其唯一性比较简单明了.,【典例训练】 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反证应分为_和_. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.,【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故

9、“有且只有一个交点”的反设应 为无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点 2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1x2)， 则 两式相除，得,若x1-x20，则 这与 矛盾； 若x1-x20,则 这也与 矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾. 故2x=3只有一个根.,【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么办？ (2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这时要把

10、每一种情况一一否定，不能遗漏.,(2)宜用反证法证明的题型有： 易导出与已知矛盾的命题； “否定性”命题； “唯一性”命题； “必然性”命题； “至多”“至少”类的命题； 涉及“无限”结论的命题等.,【变式训练】若函数f(x)在区间a,b上的图象连续，且 f(a)0,f(b)0,且f(x)在a,b上单调递增，求证：f(x)在(a,b)内有且只有一个零点. 【解题指南】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a,b)内有零点，再用反证法证明零点唯一.,【证明】由于f(x)在a,b上的图象连续，且f(a)0, f(b)0,即f(a)f(b)0, 所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点，设零点为m

11、，则f(m)=0. 假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n，即f(n)=0,则nm. 若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾； 若nm,则f(n)f(m),即00,矛盾. 因此假设不正确，即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.,用反证法证明几何问题 【技法点拨】 1.几何问题中适用反证法的类型 (1)一些基本命题和基本定理. (2)唯一性命题. (3)存在性命题.,2.反证法证题要处理好一个关键 用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，要具有全面扎实的基础知

12、识，并能灵活运用.,【典例训练】1.用反证法证明：过已知平面外一点A有且只有一条直线a与已知平面垂直. 2.已知a,b是异面直线，求证过a且平行于直线b的平面只有一个.,【证明】1.假设这样的直线a不唯一，则过点A至少还有一条直线b，使得b. 直线a，b是相交直线， 两直线a，b可以确定一个平面. 设和相交于直线c. a,b,ac,bc. 这样在平面内，过点A就有两条直线a，b垂直于直线c，这与平面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立，故直线a是唯一的.,2.假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为和，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面,且与,分别交于过点A的直线

13、c,d.由b，知bc,同理bd,故cd,这与c,d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立.,【规范解答】反证法的应用 【典例】(12分)(2012临沂高二检测)用反证法证明：当0 a1,0b1,0c1时，(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于,【解题指导】,【规范解答】假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于 2分 0a1,0b1,1-a0.由均值不等式，得 5分 同理， 6分 将这三个不等式两边分别相加，得 9分 即 这是不成立的, 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下： (

14、注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)用反证法证明：若ab0,则 【解题设问】(1)本题适合用反证法吗？_. (2) 的反面有几种情况？两种. 分别是_和_. (3)上面两种情况都要推翻吗？_.,是,适合,【规范答题】假设 不大于 即 4分 7分 又 10分 这些都与已知条件ab0矛盾，所以 12分,1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) 结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论. (A) (B) (C) (D) 【解析】选C.根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用.其他都可以.,2.“实数a,b,c不全大于0”等价于( ) (A)a,b,c均不大于0 (B)a,b,c中至少有一个大于0 (C)a,b,c中至多有一个大于0 (D)a,b,c中至少有一个不大于0 【解析】选D.“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”.,3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时，反设正确的是( ) (A)假设三个内角都不大于60 (B)假设三个内角都大于60 (C)假设三个内角至多有一个大于60 (D)假设三个内角至