第六章时间序列11.ppt

1、,第一节 概述 人们的一切活动，其目的在于认识和改造客观世界。在工程、经济、自然科学和社会科学等领域的研究人员都要和一系列的观察数据打交道，将按时间顺序产生和排列的观察数据序列称为时间序列。 例:月降水量序列、河流流量序列、河流水位序列等。,第六 章 时间序列分析,时间序列分析目的在于： 1预测序列的未来发展情况； 2分析序列的基本趋势、季节和随机项的组成； 3分析特定的数据集合、拟合理论模型，尤其是建立数学模型，进而进行模型结构分析和实证研究。,如果对某一个水文测站的某一水文要素进行量测，得到一组依时间先后排列的量测数据, x(t1)，x(t2) ，x(t3)，.x(tn) 这一组数据就叫做

2、一个水文时间序列。 又如，某一条河流上自上至下布设若干断面对某一水文要素进行量测,那末也可得到一组以距离先后排列的数据x(s1), x(s2)，x(sn)， 这一组数据也是一个水文时间序列。,实际问题中的时间序列是复杂的。一般来说很难用一个完全确定的函数或函数组给出，但它们大都具有统计规律性，可通过概率分布函数组给出x取值规律的概率描述，把这种类型的时间序列称为随机时间序列。,时间序列的特点：观测数据与排列顺序有关，即观测值之 间有一定的时间相关性。 时序中反映了曾经发生过的所有因果关系和结构关系。,（1）按所研究的对象的多少 有一元时间序列和多元时间序列,（2）按时间的连续性 时间序列分为离

3、散时间序列和连续时间序列,（3）按序列的统计特性 有平稳时间序列和非平稳时间序列,（4）按序列的分布规律 正态和非正态分布,（5）按系统模型分：线性和非线性时间序列,一、时间序列的分类,在许多实际问题中，量测记录常常是以时间t为自变量的连续曲线，如水文学中的自记水位曲线等。 为了对时间序列进行统计分析，必须把实测的连续曲线进行等距离的离散化。把随机过程的现实离散数字化的过程称为时间序列的采样。,在时间序列的采样过程中，选取不同的采样时间间隔 t，可以得到不同的数字时间序列。因而合理地选取采 样的时间间隔t ，使经过采样处理后得到的数字时间序 列能如实地反映时间序列的统计特征是一个重要问题。,二

4、、时间序列的采样,天然时间系列的特有性质是在观测值之间常有时间上的(顺次的)相倚性。 观测值的出现次序是重要的。另一个问题是当离散系列中的抽样间隔减短时这种相倚性的影响就增加。 例如，顺序的日雨量之间的相倚性大于年雨量之间的相倚性。,一般来讲，选取的t愈小,则损失的信息量也愈小，但随着t的变化，采样和统计处理的数据量无疑会大大增加，从而增加了实际处理过程中的困难。 所以，实际采样时，大都是根据经验、直观和实际问题的要求，在损失信息量和统计处理数据量之间进行合理的权衡，以便最终能选到适宜的采样时间间隔t 。,在t给定时，根据问题的要求，可选用不同的采样方 法，常用的采样方法有以下几种。,1、直接

5、采样 时间序列的直接采样是实际问题中采用的一种采样方法，它直接在实测的连续曲线x(t)的t0+nt点上取值，作为数字时间序列中的Xn，如图所示。,直接采样示意图,2累积采样 给出采样时间间隔t ，把x(t)在t0+(n-1)t, t0+nt 上累积值取为数字时间序列的采样值xn。 如某站的月降水量序列，年径流量序列等都是用累积采样。,3特征采样 给出采样时间时隔t ，按照预先约定的规则，选取X(t)在t0+(n-1)t, t0+nt上的特征值，如最大值、最小值、平均值等。 如某站年最高水位序列、年年平均流量序列等。,三、随机过程的数字特征,虽然随机过程的分布函数族(Fl，F2，Fn)能完善地描

6、述随机过程的统计特性。但要具体分析确定它，往往既复杂又困难，使用也不方便。因而，像在随机变量中引入一些数字特征一样，在随机过程中也引入了一些数字特征。这些数字特征既便于刻画随机过程的重要统计特征，又便于进行实际计算。 随机过程的主要数字特征为数学期望函数、方差函数和相关函数等。,1数学期望函数(均值函数) 对应于某固定时刻t，随机过程成为一个随机变量，因此可以按通常随机变量 一样的方法定义过程的数学期望。 数学期望在一般情况下依赖于t，是t的确定函数。此函数称为随机过程的数学期望函数，,mx(t)是一个平均函数，随机过程在它附近起伏变化， 如图所示，图中细线表示随机过程的各个样本函数，红 线表

7、示数学期望。,注意：这里的mx(t)是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t的平均值。这是统计平均(又称集平均)，应与后面将引入的时间平均概念相区别。,2方差函数(标准差函数) 随机变量X(t)的二阶中心矩DX(t)被称为随机过程X(t)的方差函数，即,3自协方差函数 若X(t1)和X(t 2)为随机过程X(t)在任意两个时刻tl、t2的两个截口，f(x1,x2；t1,t2)是相应的二维概率密度，则称二阶中心相关矩,为随机过程X(t)的自协方差函数(或称协方差函数)。 它刻画了随机过程X( t)在时刻 t1与t2之间的统计联系。,R（t1,t2),4自相关函数 随机过程X(t)的自相关函数,也

8、称为随机过程X(t)的标准化协方差函数或自相关函数，简称为相关函数。 自协方差函数和自相关函数刻画了随机过程在任意两个不同截口之间的线性相关程度。,四、建立时序模型的基本思想,时间序列分析的主要想法是认为同一变量在现在时刻 的观测值,在时间上同以前的观测值是有关联的。 在新的时刻会出现未预料的新情况。 记Xt (t=,-2,-1,0,1,2,)是一个时间上无限伸展的序列， 则我们可得到一种描述该序列的模型是：,函数f 把现在的情况同以前的情况联系起来， 而at表 示时刻t出现的新情况。 假定at是同t时刻以前的情况无关的随机因素，其均值 为常数，称之为白噪声序列，通常表示为系统或外界 的扰动。

9、,一、平稳（严、宽）时间序列 平稳时间序列是将随机变量按出现的时间顺序排列，并认为它的前期演变过程的统计相关规律在未来 的一段时间内是不变的。,第二节 平稳时间序列,一系列的河川流量，如果不受明显的气候和环境改变的影响，并且人类活动或流域特征变化的影响可忽略不计或可加以解释，则该系列是平稳时间系列。 其意义是：从平稳时间系列不同部分计算而得的统计性质(除了抽样变化之外)并不变化。,然而平稳性只能在相对的意义上应用，因在实际 中不可能有真正的平稳。 如：日河川流量和反映季节变化的一些系列等,时间序列xt (t=0,1,2,)，如果其概率分布函数Ft,tm(x1,.xm)不随时间参数t 的平移而改

10、变,即 Ft1,，tm(x1,，.xm)= Ft1+， t2+,，tm+(x1，。.xm) 则称Xt是狭义平稳过程或严平稳过程，其中 是任意实数。,则称Xt为广义（宽）平稳过程。,在二阶矩过程中，如果过程xt的一维、二维分布具有,均值E（xt）= 方差DX(xt)=2（常数),自协方差 r(t,t+)=E(xt-)(xt+-)=r(),今后把广义平稳过程简称为平稳过程。 (只适用于一阶、二阶矩情况）它的特点是： （1）均值、方差为常数。 （2）自协方差函数、相关函数是两时刻之差=s-t的函数， 即Xt与Xs之间的线性依赖关系只与两时刻之差有关。,水文气象资料只是一个时间有限的样本函数，因此，提

11、出这样一个问题，即假若已有一个平稳随机过程的现实X(t)，能否通过这个已知的现实X(t)来求取总体的数学期望、方差和相关函数。,为此，需要引入“各态历经”的概念。,例如，在l次独立试验过程中，得到l个随机过程X(t)的样本函数x1(t)，x2(t).xn(t)，以等距时间间隔t将xi(t)进行数字离散化处理，就得到1个序列，见表,横行所求得的平均为时间平均，而纵列所求得的平均 m*(t)称为总体平均问题。,显然,当总体特征值随时间t变化时，是无法用时间平均代替总体平均的。 但一个平稳随机过程，它的均值、方差和相关函数与t无关。因此，如果样本函数经历的时间相当长，它包含了总体序列所有可能出现的各

12、种值，则可以用时间平均代替总体平均。 一个平稳随机过程X(t)如果可以用时间平均来代替它的总体平均，则称为是“各态历经”的或“遍历”的。则必有,*,二、时间序列的平稳性检验,1、直观判断法,平稳时间序列的主要特点是它的一阶和二阶统计性质不随时 间改变，均值和方差为常数。反映在图象上就是所有的样本曲线 皆在某一水平直线（即均值）上下随机波动。,平稳序列的判断,0,1,平稳序列的自相关函数,迅速下降到零,0,1,非平稳序列的自相关函数,缓慢下降,2、平稳性的统计检验法,检验序列的均值和方差是否为常数？序列的自相关 函数是否与时间间隔有关，而与时间间隔的端点位置无 关？ t检验 如有一时间序列x1，

13、x2，xn它是正态的。则可把它分成两 个互不重叠的子序列，分别计算出它们的均值 、 方差21与 22。,这可用t检验进行，根据已有的 ， 21 ， 22算出统计量为,然后检验假设H 0： = 是否成立?,统计量t在H0成立的条件下服从自由度为n1+n2 -2的t分布。若计算出来的t，在给定信度的条件下， tt，则拒绝原假设，表明这两段均值的差异是显著的，不符合平稳性要求。 若t t ，则接受原假设，可以认为是平稳的。实际上，这只解决了一个数学期望值是否随时间改变的问题。,(2)轮次(游程)检验(run test),轮次检验是一种非参数检验。 一般的假设检验均假定样本是服从正态分布的。在实际工作

14、中，许多不是正态分布的也用这些方法进行检验，并认为虽是近似但不致引起太大的偏差。偏离正态分布的限度究竟是多少却是不明确的。 非参数检验的优点是不必假定研究的对象是否服从什么样的具体分布，因此，应用范围较广。,轮次(游程)概念,设有n个数据x1，x2，xn ，把它分成互相排斥的两大类。简单地可用+(正)、-(负)来表示。 例如:根据该序列的中位数 ，把序列分为二类，把x 作为一类，x 的作为另一类。因此，在任何情况下，一个序列都可写成以下的形式：+-+-+ 1 2 3 4 5,一个同类的观测值定义为一个轮次。在它的前面和后面都是不同类的观测值或者没有观测值。一个序列的轮次数可以表明这个序列是否有

15、趋势存在，如果没有趋势，则正轮次数大体上等于负轮次数。此时序列的轮次数具有的抽样分布由轮次检验分布表决定。 轮次检验 游程检验所判断的原假设为：“样本数据出现的顺序没有明显的趋势，就是平稳的”,我们采用的样本统计量有： N1：一种符号出现的总数 N2：另一种符号出现的总数 ：游程的总数 其中作为检验统计量。对于显著水平0.05的双边检验，由轮次检验分布表给出概率分布左右两侧为 /2 0.025时的上限u 和下限L 。如果在界限以内，则接受原假设；否则拒绝原假设。,N1=10；N2=12；=12 查表得 u=17, L=7 L u 接受原假设，样本数据 出现的顺序没有明显的趋 势，就是平稳的。,

16、当N1或N2超过15时可以用正态分布来近似，即可利用正态分布表来确定检验的接受域和否定域。此时用的统计量为,对于0.05的显著水平如果 ，则可接受原假设，即可认为原序列是平稳的。反之，则拒绝原假设，认为原序列是不平稳的。,三、平稳序列统计特征的计算 假定X(t)是一个各态历经的平稳随机过程，由X(t)的一个现实x(t)经过离散采样数字化处理后，得到一个平稳时间序列。 x(t1)，x(t2) ，x(t3)，.x(tn),根据各态历经平稳时间序列可以利用时间平均来代 替总体平均以及平稳性的特点，一个平稳序列的主要统 计特征均值、相关函数、方差的无偏或渐近无偏的统计 估计值可以由以下各式进行计算。,

17、1均值计算,2、协方差函数的计算,先将这一序列进行中心化，即求出它的各个距平值。,设有时间序列x1, x2,.xn,按下列方式排列,。,由此可见，第1行与第2行是时间间隔为1个单位的两个时间序列，同样第1行与第3行是时间间隔为2个单位的两个时间序列。以下类推，第1行与第2行之间有n-l项是对应的，故它们之间的协方差函数为,x1， x2， x3， xn-3， xn-2， xn-1，xn x2， x3， xn-3， xn-2， xn-1，xn x3， xn-3， xn-2， xn-1，xn . .,由协方差函数的对称性，有R(t1,t2)=R(t2,t1), R(1)=R(-1) 当时间间隔为个单

18、位时,如果时间间隔为零，则有,不难看出，R(0)即为这一平稳序列的方差。将协方差 函数标准化即为相关函数，其计算公式,相关函数的另一估计公式为,当时间间隔0时，显然有r(0)1,第三节 线性平稳模型的建立与预报 在水文预报问题中，如果一个水文序列满足平稳性的要求，那么问题就在于如何由已知的前期数据xt-1，xt-2作出时刻t的预报，也就是要建立起前后期数据的定量关系式。 最简单的模型就是线性平稳模型。,自相关性判断 时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。 测度:设x1，x2，xt，xn，共有n个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（

19、n1）对数据，即(x1，x2)，(x2，x3)，(xt，xt+1)，(xn-1，xn)。,其一阶自相关系数r1为,二阶自相关系数r2为,k阶自相关系数为,对相关函数的估计，有两个公式可以采用,两者的关系为,在实际工作中，当n较大时，两者差别是不大的，即rk与rk*是渐近相等的。 但从理论上讨论时， rk是无偏估计，而rk*是有偏估计。 但rk不能保证样本的自协方差阵或相关阵的非负定性；而rk*可以证明，只要样本值不全为零，则rk*必然是正定的。而正定性常常是相关分析与参数估计的前提条件，而且它还有渐近无偏性。,的较多。,因此目前应用公式, p1、p2 、.pp自回归系数,t一般假定为独立随机序

20、列（白噪声序列） 且假定服从均值为零、方差为2的正态分布 N(0,2),p自回归阶数; 序列均值,一、自回归模型AR(P),一般形式：,随机过程t（t=0, 1, 2）是最简单的相当于没有 “记忆”的过程，即t时刻过程的值和过去的（如t-1,t-2, 1)或未来的值（如t+1,t+2,. ）等都不相关。,自相关系数为rt(k)=,将上述中心化得到尤尔沃尔克（Yule-Walker）方程：,式中：,建立上述模型主要解决：1）模型最大阶数P；2）参数估计,AR(p)模型,自回归模型参数包括：自回归系数P,1,P,P，均值,随机过程t 的方差,自回归方程的均值与方差可由矩法来估计。,第四节 自回归模

21、型的参数估计,在模型参数很少的情况下，我们可用解析的方法来求解Y-W逆矩阵。但是，当模型参数很多时(即模型阶数P很大)，因为矩阵求逆的计算量很大，容易带来许多实际困难，如算法的复杂度、运算的实时性等。因此，在实用的AR模型参数相关矩估计法中通常采用某种高效的Y-W矩阵求逆算法，其中递推算法应用最广泛。,一、YuleWalker方程组的递推解法 YuleWalker方程组中系数矩阵的元素都是实数，对于主对角线与副对角线都是对称的，而且平行于主对角线直线上的元素也都相等。同时，在一般情况下，这一矩阵是正定的。满足这些条件的矩阵称为托伯利兹矩阵，因此可以递推求解。,所谓递推求解是指，当模型的阶数p1

22、，即AR(1)时， 此时它只有一个自回归系数11(前面一个下标指模型阶数，第二个下标指第j个系数)。 当取p2时，它有二个系数 21, 22,递推求解就是 利用一阶模型的系数 11来推求二阶模型的系数 21, 22, 再由二阶模型系数推求三阶模型的系数 31, 32, 33， ，以此类推，可求得p阶模型所有的系数。 每次由低一阶的模型参数推算出高一阶的模型参数，好处是除了能减少计算量外，还便于随着阶数逐次升高找到模型最佳的阶次。,递推解法,当P=1时,当P=2时,xt=1,1xt-1+t,xt=2,1xt-1+ 2,2xt-2+ t,当P=3时,当P=k时,其中：j=1,2,k-1,二、随机项

23、t的统计参数,式中：r1,r2,rp为系列xt的1阶,2阶,P阶相关系数，可由 实测序列采用矩法估计,Et=0,j是第j个自回归系数，rj是 Xt的第j步自相关系数,、相关函数的Burg递推格式,设有一中心化后的平稳序列x1， x2， x3， xn-3， xn-2， xn-1，xn在作参数估计时，采用使向前预报误差与向后预报误差之和达到最小来求得。以一阶来说，其目标函数为,在估计一阶参数时，使目标函数I(11)达到极小来求得11,2,作二阶参数估计时有,再由递推公式可求得21。以此类推。对第k+1阶有,三、一阶自回归模型 一阶自回归模型形式简单，又能较好地表征平稳序列的统计特性，因此在水文学得

24、到广泛的应用。有时将一阶自回归模型叫做一阶马尔柯夫模型或马氏模型。 1AR(1)模型的各种形式 当p1时，AR(1)模型的基本形式,中心化变量的形式为,标准化变量的形式为,AR(1)模型的特点是： 某一时刻的变量只与前一时刻的变量有关。 例如，对于年径流量序列，AR(1)序列表示某一年径流量只与前一年的年径流量有关。 由于这种关系只是向前推移一个单位时间，所以AR(1)模型有时称为滞时为l的自回归模型或滞时为1的马尔柯夫模型。,2AR(1)模型的参数估计 AR(1)模型中包含有3个基本参数，即均值、方差和一阶自回归系数。,AR(1)模型的平稳性条件是参数自回归系数的绝对值必须小于1。,=2（1

25、-1,1r1）= 2（1-r12）,独立随机序列t的方差2,、AR(1)模型的自相关函数和偏相关函数,r k=1 rk-1,由于r k-1=1 rk-2， r k-2=1 rk-3. r 0=1,最后可得 r k=1k,这就是AR(1)的自相关函数。当1为正值时，上式的rk 以指数形式递减。,对于AR(1)模型有：,对于AR(1)，偏相关函数为1，1=r1, 当k=1 k，k =0, 当 k1,AR(1)序列,均值为0, 2=1 11=0.6时，rkk关系图,rk,AR(1)序列,均值为0, 2=1 11=-0.6时，rkk关系图,不同时间序列具有不同形状的自相关图。,举例,1,0,rk,k,

26、的序列,t,yt,20,AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。 由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在Xt-1 已知的条件下，xt的依赖性主要表现为Xt对Xt-1的直接依赖性，而Xt与Xt-j，(j2，)不存在直接的依存关系。 显然，只要把xt中依赖于Xt-j的部分消除以后，剩下的部分(Xt一1Xt-1，)自然就是独立的了。,特性 (1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1和t时刻的响应，除随机扰动外,完全一致。差异完全是由扰动引起的。 (2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应Xt-1，即,AR(p)的滞后算子形式,引进滞后算

27、子B： 一般有：,AR(p),记,或,四、AR（p）的自相关函数特性,Xt =1Xt-1+2Xt-2+pXt-P+at,用xt-k乘以下式两边,得,X t-kXt =1Xt-1Xt-k+2Xt-2Xt-k+pXt-PXt-k+atXt-k,式中，xt为标准化变量,取数学期望，可得方程,rk =1rk-1+2rk-2+prk-P, k0,当k0时，xt-k与at 不相关，所以Ext-k， at =0,rk=1rk-1+2rk-2+prk-p k0,(B)rk=0,式中 (B)=1-1B-pBP,AR（p）序列的自相关函数按负指数规律收敛于零，即AR（p）序列xt的相关性随步长的增加愈来愈弱，而没

28、有截止点，因而AR（p）序列的自相关函数rk是“拖尾“的。 一些AR(P)的自相关函数不能在某个k值后数值为0(截尾)，我们称这种性质为“拖尾”性。,则有,自相关图主要用来研究水文序列自身的线性相依性及其随时移(滞时)增加而变化的特性，同时用于检验水文序列的独立性。,自相关函数具有以下性质： (1)自相关函数是一对称函数，即 r(t1, t2)=r(t2, t1),(2)绝对值小于等于1，即 r(t1, t2) 1 当t1=t2=t时， 则有 r(t, t)=1,例： AR(2)的自相关函数,取k=1,取k=2,取k=3,Xt=.7Xt-1-0.5Xt-2+t 其中 t是方差为0.5的白躁声系

29、列 求自相关系数。,偏自相关函数,尤尔-瓦克(Yule-Walker)方程,rk=1rk-1+2rk-2+prk-p k0 设K阶自回归模型AR（K）的第j个系数为kj，则由,rj=k1 rj-1+k2 rj-2+kkrj-k, j=1, 2,.k,式中的k1为k阶模型的第一个系数， kk为k阶模型的第k个系数。 上式中的最后一个自回归系数11、22.kk便组成该序列的偏相关函数。 就其本质而言，偏相关函数kk是反映消除(k-1)阶 自相关影响后所剩余的自相关程度，也就是在给定 z t-1，zt-2，z t-k-1的条件下，zk和zt-k的条件自相关系数。,对于p阶自回归序列当pk时，偏相关函

30、数kk在理论上应当为零，因为这样的序列自相关性仅到 k阶。超过k阶相互之间便没有直接关系了。 对一阶自回归序列， 22在理论上应为零。,相关函数的这种特性非常重要，称为截尾性。就是说，对于AR(p)序列而言，偏相关函数kk是p步截尾的，即有,kk=0 ，kp,偏相关函数与自相关函数有一定联系，利用自相关函数可以计算偏相关函数。 令kj表示AR(k)模型中的第j个系数，这样kk为最后一个系数。由,rj=k1 rj-1+k2 rj-2+kkrj-k, j=1, 2,.k,对于高阶自回归模型，由上式不便直接求解偏相关函数， 可以应用下述递推算法,AR(p)的偏自相关函数具有截尾性,二阶自回归模型,1

31、AR(2)模型的参数估计 AR(2)模型比AR(1)模型多一个参数2，即包含有4个基本参数：、1、2。 、以矩法公式来估计； 1、2矩法估计用尤尔一沃克尔方程式,当p2时，有,r1=1+2r1 r2= 1r1+2,当p2时，独立随机序列t的方差,由,得,r,例：现有叶尔羌河卡群站1954年一1973年共20年年平均 流量资料，AR(P)模型作1974年年平均流量的预报。,预报模型为：,为流量的距平值,（1）计算年平均流量距平值。 (2)计算各阶自相关函数与方差。 (3)应用递推公式解出自回归系数,标准化相关函数计算表,相关函数：,一阶系数,二阶系数：,三阶系数：,四阶系数：,五阶系数：,预报方

32、程,故1974年年平均流量预报值为,AR(1)模型的平稳性条件: 参数11的绝对值必须小于l,AR(2)序列的平稳性条件: 参数21、22必须满足,第五节 滑动平均模型,滑动平均模型的一般形式,若写成中心化形式,表示的模型记为MA(q)，即q阶滑动平均模型。若q1，则为一阶滑动平均模型，记为MA(1)。,一、MA(q)的自相关函数,左右两端分别相乘，并取数学期望，有,因此，当k0时，得Yt的方差,当okq时，得自相关函数,当kq时,当时移超过q后，MA(q )序列的自相关函数便为零，即滑动平均序列的自相关函数在q处截尾。,当q1时，,所以MA(1)序列的自相关函数在kl处截尾,rk=0,MA(

33、q)模型参数的估计,MA(q)模型有(q十2)个参数，其中序列的均值和方差可由样本序列求得。 而12.q的估计方法如下,若已知r1,r2， r q，,由式,形成q个方程，联立求解这q个方程可得参数1,2,.q,由于上式是非线性的，除极简单的情况(如q1、q2) 可直接求解外，一般要用数值解法。,由矩法估计的参数精度差。不过它们可以给出初始值，用于模型的识别和作为精确估计方法(如最小二乘法)的迭代初始值。,至于独立随机序列的方差，当估计出2和1,2,.q后，便用式,来计算。 MA（1）模型的参数估计较简单，当q1时，由 上式得,当k1时,联解两式得,r,rk=E( xtxt-k)/E(xt2)=

34、,1, k=0, 1kq,0 , kq,这表明MA（q）序列的自相关函数rk，当kq 时是 “截尾”的，即xt与xs在相隔步数t-s=kq 时，具 有rk=0。也就是说MA（q）序列xt的相关性只有q步， 大于q步以后是无关的,反之，如果平稳时间序列xt的自相关函数是“截尾”的，可证它必然是MA序列。,（2）MA过程的自相关函数,第六节自回归滑动平均模型ARMA(p，q),一、模型一般形式：,式中：1 q滑动平均系数,q滑动平均阶数,当q=0时，ARMA(p,q)模型为AR(p)模型,当p=0时，为MA(q) 模型 ，称之为滑动平均模型,以上两个模型称之为线性平稳模型, ARMA(p,q)的性

35、质,ARMA(p,q)兼有AR (p)和ARMA(q)的性质 平稳条件：与AR (p)相同 ARMA(1,1) 平稳条件,若以中心化变量xt来表示，则：,ARMA(1,1)的自相关函数,自协方差函数,ARMA(1,1)的自相关函数,ARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性, 滞后算子形式,性质总结,二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,经推算可得到如下方程：,方程中,二、ARMA(1,1)模型的参数估计方法,则前式可由上述三个用实测样本估计的值算出1,1，1,1，2,可采用图解法或迭代法求解1,1，2,(3) ARMA（ p,q）序列的自相关函数,rk=1rk-1+2rk

36、-2+prk-p kq,上式中q为ARMA（p,q)模型滑动平均的记忆部分。在kq时，其自 相关及自协方差函数显示出纯自回归过程的特性，滑动平均部分 就不起作用了。,ARMA（ p,q）序列的自相关函数满足同样的方程： (B)rk=0 kq 所以rk（kq）按负指数规律收敛于零 （当k时）没有截止点。具有拖尾性。,2、偏相关系数,设xt是平稳零均值序列，且xt可用xt-1,xt-2, ,x t-k及参数kj， (j=1, 2,. K)的线性组合去逼近，并设其误差为,为确定参数kj，在均方意义下，使,令,写成矩阵形式有,称kk(k1)为xt的偏相关系数。在概率意义下，表示已 知xt-1,xt-2

37、,.xt-k+1时的 xt与xt-k的条件相关系数。,对AR（P）序列xt，将,Xt =1Xt-1+2Xt-2+pXt-P+at,代入,令Kp，利用性质E（atxt-j)=0 (j0), 上式为,为使Q达到最小，应取,表明AR（P）序列xt的偏相关函数kk(kP）以后是“截尾”的。 即kk=0。,反之可以证明，如果序列xt的偏相关函数kk在P步后截尾，则xt 必是AR（P）序列。偏相关系数的截尾性是AR序列的特有属性。,可证，ARMA（P， q),MA(q)序列xt的偏相关函数kk不截尾， 而是拖尾的。即他们的kk没有截止点。,（1）若xt的自相关系数拖尾，偏相关系数截尾，则可断言xt是AR

38、序列。,（2）若xt的自相关系数截尾，偏相关系数拖尾，则可断言xt是MA 序列。,（3）若xt的自相关系数和偏相关系数都不截尾，且按负指数规律 衰减收敛于零（拖尾），则可断言xt 是ARMA 序列。,偏相关函数是反映消除(p一1)阶自相关影响后所剩余的 自相关程度,平稳时序xt 有以下结论：,在模型初步认别中，主要的依据是样本序列的自相关函数和偏相关函数。主要特点归纳如下：,第七节 模型的识别和检验,模型识别:根据Xt的一段样本所包含的信息，利用自相 关函数、偏相关函数的“拖尾”、“截尾” 性质，或其他准则判定模型类别及阶次。,AR(p)序列,自相关函数rk，随滞时k的增大逐步变小，自相关图呈拖尾状。 它的偏相关函数k,k呈截尾状，单调或波动衰减趋向于零。在k=p 处出现一个截止点，即在kp 时,k,k0 ，当kp时 k,k=0。,(2) MA(q)序列,自相关函数rk呈截尾状，k=q时出现一个截尾点，即在 时 rk0；当