微分方程组应用

1、微分方程组应用,微分方程组在工程技术中的应用是非常广泛 的，涉及的领域有机械、电工技术、通讯、医学 等许多领域。下面给出几个例子，用以阐述关于 微分方程组的实际应用及其建模思想。 1、 两自由度的振动问题 常系数线性方程组在工程技术与科学研究中 有很多应用，不少问题都归结为它的求解问题。,两个自由度的振动问题。为了消除不需要的振动，常常在振动系统中设置减振器。,其中,的受力情况。,是原机械部件的质量；,是减振器的质,量；,和,是两个弹簧，它们的弹性系数（或,称为刚度）也分别用,和,是减速器,表示；,（假定阻力与速度成正比）的阻尼系数；,是强,迫力；,和,分别表示,和,距它们的平衡,位置的位移。

2、,体,和,下面来建立这个系统的运动方程。先分别考,虑物,律，有方程,(1) 物体,的受力情况,假定弹簧,和,都满Hook定律。当物体,位移,时，物体,同时位移,这时，弹簧,变形（拉长或压缩）的长度为,。因此，,这时弹簧,的弹性力是,（力的方向与位移方向相反），由牛顿第二定,(2) 物体 的受力情况 1) 沿位移方向的外力： 2) 阻尼力： （方向与速度方向相反）； 3) 这时物体 受到两个弹簧的作用：,弹簧 的弹性力 ；弹簧 的弹性力 。由牛顿第二定律，有 因此，上述运动系统满足微分方程组,上述方程组在变换 及 之下， 就变成了一个常系数线性非齐次方程组 (4.6.1),为了简单，只考虑无阻尼

3、自由振动的情形， 即 。于是，(4.6.1) 变成 (4.6.2),它的特征方程为 设 ，则 (4.6.3) 可写成 解之，得,容易看出， ，因此，可令 ，这时 因此，方程 (4.6.3) 最后可写成 故 (4.6.3) 的特征根全是纯虚根。(4.6.1) 解的 第一个函数可写成形如,部件的运动频率。这个事实可以用来防止机器,或,这是两个简谐运动的叠合。每一个简谐运动,的角频（即,与,）均与减振器的参数,与,有关。因此，调整,与,可以改变原,设备与外力发生共振现象，以及减轻外力的干,扰等。,3、人造卫星的轨迹方程,我们知道，人造卫星在最后一段时间运载火箭熄灭之 后，即进入它的轨道，轨道的形状因

4、发射角度和发射速度的不同，而分别出现椭圆、抛物线或双曲线。下面来讨论这些问题。 地球与人造卫星是相互吸引的，但因二者的质量相差很大，因此，可假设地球是不动的，又因人造卫星的体积与地球相比是很小的，故可把它看作质点。为简单起见，我们不考虑太阳、月亮和其它星球的作用，并略去空气阻力。,在上面的假设下，可把问题归结为： 从地球表面上一点 ，以倾角 ，初速度 射出一质量为 的物体，如图4.5所示，求 此物体运动的轨道方 程。 图4.5,根据万有引力定律，地球对卫星的引力大小为,过发射点,和地心,的直线作,轴，,轴,与发射方向所成的平面为,平面，平面通过地,心，取垂直于,轴且过地心的直线为,轴，取开,始

5、发射时间为,，经过时间,后，卫星位于,点,，下面建立,和,所满足的方程。,其方向指向地心，其中 是引力系数， ， 是地球质量， ， 是地球与卫星间 的距离。如图4.6所示，这个引力在 轴方 向上的分力分别为,卫星在 轴上所获得的分加速度分别为 和 。由牛顿第二定律，得到卫星的运动方 程为：,轴上的分量分别为,当,时，卫星在地表面以倾角,，初速度,射出，所以，在,时，,。,卫星的初速度在,因此，初始条件为 （4.6.6） 下面利用首次积分法来求方程组 (4.6.5) 满足 初始条件(4.6.6)的解。将方程(4.6.5)两端消去 后，以 乘第一个方程，以 乘第二个方 程。,然后相减，得 因为 故

6、有 对上式两边积分，得首次积分为,再以 乘方程组 (4.6.5) 中第一个方程，以 乘第二个方程，然后两式相加，得 由于,及 从而得 积分得上式另一首次积分,于是，原方程组 (4.6.5) 降为较低阶的方程组,将它们代入 (4.6.7) 得,作极坐标变换，,，并求导,两式联立消去 ，得,这就是卫星运动轨道的极坐标参数方程。若将参,这里得到一个仅含有一个未知数,得一,阶微分方程，若由此解出,，代入,(4.6.9)中第一式，便可确定,，由此得,到,数消去，便得出卫星运动轨道的极坐标方程。,利用分离变量求该方程的解得,为此，由 (4.6.9) 的第一式求得, 并,代入 (4.6.10) 得,，则上式

7、化为,整理得,令,知,或,(4.6.11),这就是所求的卫星运动轨道的极坐标方程，其中,有三个任意常数,(或,)，它们可,由初始条件 (4.6.6) 确定。注意到当,时，,因此，,。且由(4.6.6)及(4.6.8),把它们代入 (4.6.9) 及 (4.6.11) 得 (4.6.12) 我们知道，(4.6.11)式是圆锥曲线的极坐标方程,当 时，轨道是圆； 当 时，轨道是椭圆； 当 时，轨道是抛物线； 当 时，轨道是双曲线 下面进一步讨论卫星发射的初速度与卫 星轨道形状的关系 因为,故上,故,将(4.6.12)式中的,代入上式，并整理得,(4.6.13),注意到 (4.6.12) 式及,式可

8、化为 因此，当 时，得 由此得,卫星的轨道是一个圆.,即,把地球半径,，质量,及引力常数,的具体数值代入上式，并计算得,即,称为第一宇宙速度，此时,当,时，由(4.6.13)得,即,所求速度是第一宇宙速度的,倍，即,，称为第二宇宙速度，它的轨,道是抛物线。,是双曲线（一支）。,当,时，因,，由 (4.6.13) 式可知,这表明，当初速度小于第二宇宙速度时，卫星轨,道是一个椭圆。当,时，由(4.6.13)式可得,因此，当初速度大于第二宇宙速度时，它的轨道,由电路和机 械装置组装 成的永磁体 扩音器模型 如图4.7所 示。,4、扩音器振动模型,图4.7,一个时变电源电压 驱动着一个音圈能 换器，能

9、换器的转化系数为 ，通过能换器使 扬声器的振动膜发生振动。由音圈组成的能换 器，本质上是一个在永磁场内的自由运动。当变 化的电流通过音圈时，音圈在永磁体的磁力和电 流产生的磁力相互作用下进行运动。用 代表能 换器与扬声器相互作用力， 是能换器电阻， 是能换器的感应系数.,压定律，可得的微分方程组,质量为,的扬声器的振动是一个具有阻尼,的弹簧系统振动。阻尼系数为,，弹簧的弹,性系数为,，能换器转化系数,与有关变,量间的相互关系为,这里,是音圈两端的电压降；,是音圈位移；,代表音圈的速度，由牛顿第二定律及回路电,(4.6.14),令,，把 (4.6.14) 化为一阶微分方程组,(4.6.15),方

10、程组(4.6.15)的向量形式为,，这里,设 则,矩阵 的特征方程为 特征根为 ，其 相应特征向量分别为,因此，可求得齐次线形方程组,的基解矩阵为,为求(4.6.15)的通解，需求出(4.6.15)的一个特,写成,解，我们用待定系数法来求此特解。把,因此，方程组 (4.6.15) 有特解 将 代入方程 得,比较上述方程两边,和,的,系数得,把 (4.6.16) 的,消去得,由此可求得,和,分别为,的通解为,方程,这里 是任意常向量。进一步，可求得原方程中 音圈的位移 和驱动能换器的电流 分别为,5 、人体含铅量问题,铅是如何进入体内的 ? 消化道 通常是铅吸收的主要途径，儿童由这一途径吸收的铅

11、所占比例约为85。铅在肠道内通过主动转运和被动扩散两种方式由小肠吸收人血液。主动转运占吸收总量的80以上。主动转运依赖铅与肠粘膜上一种转运蛋白质结合，由转运蛋白作载体将铅转运人血液。被动扩散则是铅由肠腔向血液自然扩散。肠腔中铅浓度越高、血液中铅浓度越低，被动扩散的量就越大。,呼吸道 空气中含铅的灰尘经鼻孔吸人呼吸道后， 一部分被鼻毛、气管纤毛和支气管纤毛、细支气管纤毛阻挡，最后以痰液的形式返回口腔， 儿童将其咽人消化道，再由消化道吸收入血。另一部分特别微小的铅尘到达肺泡，沉积在肺泡里，然后由吞噬细胞等吸收，进入血液。 皮肤 当我们接触有机铅的时候，铅会被皮肤直接吸收。,铅中毒会引起神经、消化、

12、循环系统紊乱，表 现为贫血、腹痛、高血压等。血铅高组的儿童的总 智商、操作智商、语言智商分别比低血铅组落后14 分、14分和13分，而每升血液中的铅浓度上升100 微克，儿童的身高将降低13厘米。 低剂量的铅接触可以对人体的红细胞、肾脏、免疫系统、骨髓和中枢神经的功能产生不良影响，而所有这些影响发生前都可能没有明显的临床症状。铅中毒会影响婴幼儿最初站立、行走和说话的年龄，也可能引起孩子注意力涣散、记忆力减退、理解力降低及学习困难等。,儿童体内的铅水平可分从血、骨、齿、尿、发检测到，儿童血铅水平分为5级。 级：血铅值低于10微克分升，身体处于相对安全状态； 级：血铅值为10微克19微克分升，属于

13、轻度铅中毒。影响造血、神经传导和认知能力，儿童易出现头昏、烦躁、注意力涣散、多动、厌食、腹胀、轻度贫血； 级：血铅值达到20微克44微克分升，为中度铅中毒。引起缺钙、缺锌、缺铁、免疫力低,下，运动不协调，视力和听力受损，学习困难、智力下降，生长发育迟缓，贫血、腹绞痛、食癖、反应迟钝等； 级：血铅值达到45微克69微克分升，就是重度铅中毒。可出现性格改变、易激怒、攻击性行为、运动失调、贫血、腹绞痛、高血压、心律失常和痴呆等； 级：当血铅值大于70微克分升时，为极重度铅中毒，可导致脏器损害、铅性脑病、瘫痪、昏迷等。,问题和模型 铅是一种人体所必须的微量元素，但体内铅 含量过多时就会引起铅中毒.铅是

14、一种重金属元素，通过食物、饮料、空气进入人体，经过呼吸和消化系统后进入血液，再经过血液循环慢慢进入人体和骨头中.铅可以经过人体的排泄系统、通出出汗、剪头发、剪指甲排出体外. 我们根据铅在人体内的变化情况将人体分为血液、组织、骨头3个仓室，铅在这三个仓室中的转化关系如图所示,x1(t)表示t时刻血液中的含铅量， x2(t)表示t时刻组织中的含铅量， x3(t)表示t时刻骨头中的含铅量. 假设在单位时间内从环境经过消化、吸收系统进入血液的铅为L，从血液进入组织、骨头的铅分别为a31*x1(t)和a21*x1(t)，从组织、骨头再进入血液的铅分别为a13*x2(t)、a12*x2(t)，血液和骨头向

15、外界排出的铅分别为a01*x1(t)和a02*x3(t).,示意图,(1)根据前面的假设建立人体血液、组织和骨头中含铅量所满足的微分方程组,并求其通解. (2)取时间单位为天，对一个志愿者在一种环境中的生活情况进行测定得a21=0.011，a12=0.012, a31=0.0039，a13=0.000035,a01=0.021, a02=0.016,L=49. 3. 假设该志愿者开始时体内的含铅量为0，求他体内血液、组织和骨头中含铅量随时间变化的关系，画出这些解曲线的图，并求当x+时这些函数的极限.,(4)假设该志愿者在此环境中生活了365天后搬到了一个无铅的环境中去(不再有外界的铅进入体内，

16、即L=0)，再讨论他体内血液、组织和骨头中含铅量随时间变化的关系，并画出0t1460时这些含铅量曲线的图形.,简化图,模型,模型 x = Ax + b,数据,时间分为两段: 0,365和365,1460 #定义常数 a01:= 0.021; a02:=0.016; a12:=0.012; a13:=0.000035; a21:=0.011; a31:=0.0039; L:=49.3; #定义矩阵和向量 A := matrix(3,3,-(a01+a21+a31), a12,a13,a21, -(a02+a12), 0, a31, 0, -a13); b :=matrix(3,1,L, 0, 0

17、); #定义方程 equn1:=diff(x1(t),t)=-(a01+a21+a31)*x1(t)+a12*x2(t)+a13*x3(t)+L;,equn2:=diff(x2(t),t)=a21*x1(t)-(a02+a12)*x2(t); equn3:=diff(x3(t),t)=a31*x1(t)-a13*x3(t); #解初始值问题 dsolve(equn1,equn2,equn3,x1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0, x1(t),x2(t),x3(t); 结果太复杂,利用迭加原理、特征值和特征向量法 #非齐次方程的特解 with(linalg): with(plots):

18、 xe := evalm(-(inverse(A),#特征值和特征向量 eigenvals(A); eigenvects(A); lambda:=-.3061796847e-4, -.1980315266e-1,-.4410122938e-1; v1:=.1124436946e-1, .442226656e-2, 10.00746814; v2:=-.5975248926, -.8018660787, .1178839056; v3:=-.8256380196, .5640574390, .7307156328e-1; #特征向量组成矩阵 P:=augment(v1,v2,v3); #得到解的

19、表达式 x1:=c1*P1,1*exp(lambda1*t)+c2*P1,2*exp(lambda2*t)+c3*P1,3*exp(lambda3*t)+xe1,1;,x2 :=c1*P2,1*exp(lambda1*t)+c2*P2,2*exp(lambda2*t)+c3*P2,3*exp(lambda3*t)+xe2,1; x3 :=c1*P3,1*exp(lambda1*t)+c2*P3,2*exp(lambda2*t)+c3*P3,3*exp(lambda3*t)+xe3,1; #在解的表达式用t=0代入 x10:=simplify(subs(t=0,x1); x20:=simplif

20、y(subs(t=0,x2); x30:=simplify(subs(t=0,x3); #求解常数 solve(x10=0,x20=0,x30=0,c1,c2,c3); assign(%);,#作图 plot(x1, x2, x3, t=0.365, color=red,blue,green, thickness=2); plot1:=%:,#重新显示解 x1;x2;x3; #求极限 limit(x1,t=infinity); limit(x2,t=infinity); limit(x3,t=infinity); #得到365天后解的表达式 xx1:=cc1*P1,1*exp(lambda1*t)+cc2*P1,2*exp(lambda2*t)+cc3*P1,3*exp