《概率统计教学资料》第4章中心极限定理

1、2020/7/18,1,一、正态分布的定义 二、正态分布的数字特征 三、正态分布性质 四、中心极限定理,第四章 正态分 布中心极限定理,基本内容：,2020/7/18,2,正态分布是最重要的概率分布(原因)：,(1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述,例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等,大量随机现象可以用正态分布描述.,(2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从,正态分布.(中心极限定理),(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等),是由正态分布推导得到的.,问题：在n次独立重复试验（即n重伯努利试验)中，p为一次试验中事件A发生的概率，记n 为n次试验中事件A发生的次数

2、，,2020/7/18,3,则n B(n, p),试验次数n较大时，计算相当困难，有没有近似计算的方法？,回顾泊松定理： 当n充分大, p很小 (p0.1),即 =np比较适中时，,看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近似计算的方法？,分别取n=6,20,50,100, p=0.3 的二项分布图,2020/7/18,4,当n越来越大时，二项分布的概率值渐进为正态曲线，标准化以后即为标准正态分布曲线。 即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,2020/7/18,5,定理.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,若随机变量 n 服从参数为n, p的二项分布，则 则对于任何实数x，有,定理表明，当n充分大时，

3、二项分布的随机变量n 的标准化变量近似服从标准正态分布，即,而 n近似服从N (np, np(1-p).,2020/7/18,6,例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数.(1)求P(84X 95);(2)求P(X90).,解: (1)由题意知XB(100,9),E (X)=n p=1000.9=90，,D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，,2020/7/18,7,设nB(n,p), n表示n次试验中事件A出现的次数， n可以分解为一系列随机变量之和,其中Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即,根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定

4、理，当n充分大时， 独立同分布于B(1,p)的随机变量X1，X2，Xn，其和 X1+X2+Xn近似服从正态分布。,启示： X1，X2，Xn只是独立同分布的随机变量，是否有类似结论？,2020/7/18,8,独立同分布的中心极限定理,设随机变量X1,X2,Xn,相互独立, 服从同一分 布，且有的数学期望 和方差 ，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式,2020/7/18,9,定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布， 且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这 些随机变量之和 近似地服从正态分布,另一种形式：,2020/7/18,10,客观背景：客观实际

5、中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布。,由题意 相互独立且服从同一分布，且,2020/7/18,11,例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差

6、为1.(1) 求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率；(2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。,解：,(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,100,2020/7/18,12,例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1. (2) 要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。,解：,(2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使,2020/7/18,13,二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，,内容小结,一、掌握正态分布的密度函数和分布函数

7、及其图像及性质；,三、掌握正态分布的数字特征；,会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；,2020/7/18,14,3(线性组合性).设,且X、Y相互独立, 则,四、熟悉正态分布的性质,则,1 (线性性). 若,2 (可加性). 设,相互独立，且,则,五、了解中心极限定理, 并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率,2020/7/18,15,作业,习题四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18,2020/7/18,16,则X的数学期望为_; X的方差为_.,备用题,1. 已知连续随机变量X的概率密度函数为,分析：,经过整理得,故E(X)=1, D(X)=1/2.,2020/7/18,17,2. 已知,则Z服从（ ）分布.,因为X, Y相互独立，根据正态分布的性质,分析：,故选C.,2020/7/18,18,3. 设随机变量X与Y均服从正态分布：,2020/7/18,19,分析：,故选B.,2020/7/18,20,4.,解：,得,(2+2),2020/7/18,21,由独立同分布的中心极限定理，,2020/7/18,22,5. 某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户,中被盗索赔用户占20%，以X表示在随机调查的,100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.,(1) 写出X的概率分布；,(2) 利用德莫佛-拉普拉斯定理, 求被盗索赔户不,少