第九章 MATLAB符号运算.ppt

1、第9章 MATLAB符号计算,9.1 符号计算基础 9.2 符号函数及其应用 9.3 符号积分 9.4 级 数 9.5 符号方程求解,9.1 符号计算基础,9.1.1 符号对象 1建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。,(1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立单个符号量，符号字符 串可以是常量、变量、函数或表达式。 符号量一旦建立，用户就可以在表达式中使 用它进行各种运算。,例9-1：考察符号变量和数值变量的差别。 程序： a=sym(a); b=sym(

2、b); c=sym(c); d=sym(d); 定义4个符号变量 w=10;x=5;y= -8;z=11; 定义4个数值变量 A=a,b;c,d 建立符号矩阵A A= a,b c,d,B=w,x;y,z 建立数值矩阵B B= 10 5 -8 11 det(A) 计算符号矩阵A的行列式 ans= a*b-b*c det(B) 计算数值矩阵B的行列式 ans= 150,应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。,例9-2：比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 程序： pi1=sym(pi); k1=sym(8); k2=sym(2); k3=sym(3

3、); 定义符号变量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; 定义数值变量 sin(pi1/3) 计算符号表达式的值 ans= 1/2*3(1/2) sin(pi2/3) 计算数值表达式的值 ans= 0.8660,sqrt(k1) 计算符号表达式的值 ans= 2*2(1/2) sqrt(r1) 计算数值表达式的值 ans= 2.8284 sqrt(k3+ sqrt(k2) 计算符号表达式的值 ans= (3+2(1/2)(1/2) sqrt(r3+ sqrt(r2) 计算数值表达式的值 ans= 2.1010,结论: 用符号常数进行计算象是进行数学演算,得到的结果为数学表达式;而数值计

4、算将结果近似为一个有限小数,(2) syms函数 MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n,注意: 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。 符号表达式包括符号代数式、符号方程、符号矩阵、抽象函数等,建立符号表达式有3种方法： (1)利用单引号来生成符号代数式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,1)建立代数式 方法:用sym函数建立符号

5、表达式;使用已经定义的符号变量组成符号表达式;利用单引号建立,例9-3:用两种方法建立符号表达式: 3x2+5y+2xy+6 程序: U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) 定义符号表达式 U= 3*x2+5*y+2*x*y+6 syms x y; 建立符号变量 V= 3*x2+5*y+2*x*y+6 定义符号表达式 ans= 3*x2+5*y+2*x*y+6 U=3x2+5y+2xy+6 U= 3x2+5y+2xy+6 2*U-V+6 求符号表达式的值 ans= 3*x2+5*y+5*x*y+12,2)建立符号方程 方法:用sym函数建立符号方程；利用单引号建立,例9-4: y=sy

6、m(ax2+bx+c=0) 建立了一个符号方程 注意: 因为符号方程中含有等号,故不能采用赋值的方法来建立符号方程,否则方程中的等号和命令中的赋值号会混淆,3)建立符号矩阵 方法:直接建立 例9-5:计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。 A=1,1,1;a,b,c;a2,b2,c2 程序： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2; 建立范得蒙矩阵 det(A) 计算矩阵行列式的值,4)建立抽象函数 定义：所谓抽象函数就是函数关系未确定的函数。 如：z=f(x,y) 例9-6：建立x,y的一般二元函数。 程序： syms x y; f=sym(f(x,y),9.1.2 符

7、号表达式运算,1符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。结果仍旧为符号表达式。,2符号表达式的提取分子和分母运算 可用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其调用格式为： n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,3符号表达式的因式分解与展开 函数的调用格式为： factor(s)：对符号表达式s分解因式。 expand(s)：对符号表达式s进行展开。 collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 collect(

8、s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。,例9-7：对下列符号矩阵A的每个元素分解因式 A=2a2b3x2-4ab4x3+10ab6x4,3xy-5x2; 4, a3-b3 程序： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2- 4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2; 4,a3-b3; factor(A) 对A的每个元素分解因式 ans= 2*a2*b3*x2- 4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2 4,a3-b3,例9-8：计算表达式S的值 s=(-7x2-8y2) (-x2+3y2) 程序： syms x y; S=(-7*x

9、2-8*y2) (-x2+3*y2); expand(s) ans= 7*x4-13*x2*y2-24*y4 Collect(s,x) ans= 7*x4-13*x2*y2-24*y4 factor(ans) ans= (7*x2+8*y2) (x2-3*y2),4符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。 simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,例9-9：化简s=(s2+y2)2-(s2-y2)2 程序： syms x y; s=(x2+y2)2-(x2-y2)2 simpl

10、e(s) Simplify: 这是simple函数自动调用函数， 并非由用户调入.下同 2*x4+2*y4 radsimp: 2*x4+2*y4,combine(trig): 2*x4+2*y4 factor: 2*x4+2*y4 expand: 2*x4+2*y4 combine: (s2+y2)2-(s2-y2)2 convert(exp): (s2+y2)2-(s2-y2)2,convert(sincos): (s2+y2)2-(s2-y2)2 convert(tan): (s2+y2)2-(s2-y2)2 collect(x): 2*x4+2*y4 ans= 2*x4+2*y4,可见：

11、simple函数试探使用各种函数化简，其化简过程是机械的，部分过程可以省略,5符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,5符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。,9.1.3 符号表达式中变量的确定,MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的

12、n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,例9-10:,注意:如果变量缺省时,MATLAB将按照离字符x最近的原则确定缺省变量,例9-11:,9.1.4 符号矩阵,符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。,由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。,transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如d

13、iag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,9.2 符号函数及其应用,9.2.1 符号极限 limit函数的调用格式为： (1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。,(2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,(3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；

14、没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。,(4) limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。 (5) limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,例9-12 求下列极限。 极限1： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a 极限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3

15、*x),x,inf) ans = exp(6*t),极限3： syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2 极限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right) ans = -1/2,9.2.2 符号函数求导及其应用,diff函数用于对符号表达式求导数。 该函数的一般调用格式为： 1、diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按 findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。 2、diff(s,v)：以v为自变量，对

16、符号表达式s求一阶导数。,3、diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。 4、diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,例9.13 求函数的导数（p202例7-3）。 命令如下： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/dif

17、f(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,例9.14 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4

18、x-1平行。 命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数 f=diff(y); %对曲线求导数 g=f-4; solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的 导数为4,9.3 符号积分,9.3.1 符号函数的不定积分 符号不定积分由函数int来实现。调用格式为： 1、 int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。 2、int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。,例9.15 求不定积分。 命令如下： x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求

19、不定积分(1) f=sqrt(x3+x4); int(f) %求不定积分(2) g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简,9.3.2 符号函数的定积分 int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。当函数f关于变量v在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,例9.16 求定积分。 命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf)

20、%求定积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3) f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4) double(I) %将上述符号结果转换为数值,例9.17 求椭球的体积。 命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V = 4/3*pi*a*b*c,9.3.3 积分变换,积分变换的定义 积分变换的思路 常见的积分变换： 傅立叶变换、拉普拉斯换和Z变换。,1傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(f,x,t

21、)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。,例9.18 求函数的傅立叶变换及其逆变换。 命令如下： syms x t; y=abs(x); Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换,2拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,例9.19 计算y=x2的拉普拉斯

22、变换及其逆变换. 命令如下： x=sym(x);y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换 fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,3Z变换 当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数 F(z)。 iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数 f(n)。,例9.20求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换 f=izt

23、rans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换,9.4 级 数,9.4.1 级数的符号求和 符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,例9.21 求级数之和。 命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n不能省略。 s4=symsum(

24、n2,1,100) %求s4。计算有限级数的和,9.4.2 函数的泰勒级数,MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,例9.22 求函数在指定点的泰勒展开式。 命令如下： x=sym(x); f1=(1+x+x2)/(1-x+x2); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5 taylor(f2,6) %求