螺旋式数学归纳法_第1页
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文档简介

1、螺旋式数学归纳法,假设有两个与自然数n有关的命题A(n)、B(n)，如果满足： (1)，A(1)成立； (2)，假设A(K)成立能推出B(K)成立，又假设B(K)成立能推出A(K+1)也成立，那么，就能断定对于任意的自然数n，A(n)和B(n)都成立。 证明：易知，将关于命题的两个无穷序列A(1)，A(2)A(K)，A(K+1)和B(1)，B(2)B(K)，B(K+1)，然后施以第一数学归纳法证明。 注：这种螺旋式数学归纳法也可以适用于多个有关自然数命题的形式。,房书恋内枢拦凸期造付螺笛雁佣搞垒驴瘁偏订闪嚏蜂蚀竞腆窘栽樊斟己窥螺旋式数学归纳法螺旋式数学归纳法,例 数列an满足a2m=3m2，a

2、2m+1=3m(m+1)+1,其中m是自然数，令Sn表示数列an前n项和，求证： S2m-1=m/2(4m2-3m+1) (1) S2m=m/2(4m2+3m+1) (2) 注：（1）可以看成命题中的A(m)，（2）可看做命题中的B(m),洪锨刁膘涩全漳将册愈籽化勒萌肥温昼萌愿餐滚苟穗阮蓄受渴浙幂渍扣瘸螺旋式数学归纳法螺旋式数学归纳法,证明：1）m=1,S1=1,等式（1）成立。 2）假设m=k时，等式（1）成立，即S2k-1=k/2(4k2-3k+1),那么S2k=S2k-1+a2k=k/2(4k2-3k+1)+3k2=k/2(4k2+3k+1) 则等式（2）也成立。这就是说，若A(K)成立，可推得B(K)成立。 又假设B(K)成立，即S2k=k/2(4k2+3k+1)，那S2k+1=S2k+a2k+1=k/2(4k2+3k+1)+3k(k+1)+1=(k+1)/24(k+1)2-3(k+1)+1 这就是说，若命题B(k)成立又能推出命题A(k+1)也成立，由1），2）可知，对于任意的自然数m，等式（1），（2）都成立。,靖恫遇讽绕泰讥论诌

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