第五节 奈奎斯特稳定判1.ppt

1、5-4 奈奎斯特稳定判据,第三章已经得出结论：闭环系统稳定的充分必要条件是：其特征方程所有的根都具有负实部，即都位于s平面的左半部。 前面也介绍了两种判断系统稳定的方法，即劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据，它们都是代数判据。代数判据是根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性。 而这一小节另外介绍一种重要而实用的方法-奈奎斯特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性,一、奈奎斯特稳定判据,奈奎斯特稳定判据简称奈斯判据。奈斯判据利用复变函数的幅角原理，提出了根据系统开环频率特性判别闭环系统稳定的准则。 我们知道如果闭环系统的特征根全部在s平面的左

2、半部，那么闭环系统稳定。我们要用开环频率特性判断闭环系统的稳定性，怎样将开环传递函数与闭环传递函数联系起来，这是奈斯判据的关键。,奈奎斯特(Nyqust)稳定判据,该判据这样告诉我们：,一闭环控制系统为,G(s),H(s),R(s),C(s),-,该系统稳定的条件是：,系统的开环频率特性G(jw)H(jw)，当w从 时，G(jw)H(jw)曲线逆时针包围(-1，j0)点P圈，则系统稳定。 P-为G(s)H(s)在s平面右半面的极点个数,举例,例1: 如图所示系统,-,R(s),C(s),试用奈斯判据判断该闭环系统的稳定性,S平面的虚轴上无开环极点的情况,解：系统的开环传递函数为,开环频率特性为

3、,由G(s)H(s)可见，该系统为0型系统，且m=0，n=3，所以G(jw)H(jw)起始于（20，j0)点，沿2700方向趋近于原点,又知：P=0，根据Nyqust判据可知，G(jw)H(jw)曲线不包围(-1，j0)点，系统才是稳定的，要判断该曲线是否包围(-1，j0)，则要知A点与虚轴的距离是否大于1,G(s)H(s),A,求G(jw)H(jw)曲线于实轴的交点A模,取 代入实部u(w)=-0.275,从图中可见，G(jw)H(jw)曲线在w从 变化到 时，包围（-1，jo)点零圈，所以闭环系统稳定。,所以得：,令虚部等于0即：,1、引入辅助函数F(s),设典型反馈系统的方框图如下图所示

4、、,开环特征方程,闭环特征方程,引入辅助函数F(s),闭环特征方程,开环特征方程,由此可见，辅助函数F(s)将开、闭环系统的频率特性联系起来了。,结论：,F(s)的零点，就是闭环系统的极点； F(s)的极点，也就是开环系统的极点 F(s)的零、极点的数目相等。 F(s)与开环传递函数G(s)H(s)，只差常数“1”，两者间的几何关系为：,F,GH,这样，从辅助函数F(s)的角度看，控制系统稳定的充分必要条件是，F(s)的零点都必须具有负实部。下面讨论，F(s)的零点都必须具有负实部即位于s平面左半边的条件与开环频率特性的Gk(jw)的关系。,先介绍复变函数的一个重要定理“幅角定理”,二、幅角定

5、理,辅助函数F(s)用零极点表示:,写成模和幅角的形式,S是复数，F(s)是复变函数，它们分别可用复平面上的矢量来表示，其所对应的复平面分别称为s平面和F平面。由复变函数理论可知，若在s平面上选一点（设为a)，通过复变函数F(s)的映射关系，在F平面上找到相应的一点（设为a,并称a为a的映象）；同理，对于s平面上任一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，也可以在F平面上找到一条与 相对应的封闭曲线 ( 为 的映象）,幅角定理 若在封闭曲线 内有z个F(s)的零点和p个F(s)极点，则曲线 上的一点s沿着 顺时针转一圈时，在F平面上，封闭曲线 饶原点逆时针转过的圈数N为p和z之差，即 N=P-

6、Z N若为负，表示 曲线饶原点顺时针转过的圈数。,例,z,z2,s,F,F,p,幅角原理证明较复杂，这里简单解析一下。,在s平面取一闭合路径 ，且在 上没有零、极点，,z,z2,p,s,在 外的无论是零点还是极点，当s从s1顺时针沿 一圈回到s1时，矢量 的幅角变化为00,s1,Nyqust判据证明方法1,而在 内的无论是零点还是极点，当s从s1顺时针沿 一圈回到s1时，矢量 的幅角变化为,由此可知：,当 内有z个F(s)的零点和p个F(s)的极点时，当s沿 顺时针一圈时，F(s)的幅角变化值为：,根据Nyqust判据,我们选择在s平面取一闭合路径 ，且在 上没有零、极点，让其顺时针包围s平面

7、的整个右半面。 此时F(s)的幅角变化应为,P-为G(s)H(s)在s平面右半 面的极点个数,而我们通常作系统的开环频率特性（G(jw)H(jw)曲线，而不做F(jw)的特性曲线，我们知道辅助函数与开环传递函数有以下关系,可见：判断闭环系统的稳定性转化为G(s)H(s) 对 (-1，j0)点的包围情况进行判别了。,Nyqust判据证明方法2：,引入辅助函数F(s),闭环特征方程,开环特征方程,由此可见，辅助函数F(s)将开、闭环系统的频率特性联系起来了。,将F(s)化为零、极点形式,F(s)的零、极点均可在s平面相应的表示,Re,jw,F(s)的幅角为,闭环系统要稳定，其闭环极点必须在s平面的

8、左半面。即z1，z2，Zn全部在s平面的左边。 设开环极点有p个在s平面的右边，则有（n-p)个极点在左边，此时，F(s)的幅角为：,可见：闭环系统要稳定，当w从-变化到+时，F(jw)曲线逆时针方向包围原点P圈。而我们通常作的是系统的G(jw)H(jw)特性曲线，它与F(jw)的关系为,一、 主持人基本情况,可见在GH平面，对F平面的原点包围情况就成了对（-1，j0）的包围情况来判断系统的稳定性,例2： 系统的框图为下图所示,-,R(s),C(s),试用奈斯判据判定闭环系统的稳定性,原点处又开环极点的奈斯判据,解：系统的开环传递函数为：,频率特性,由开环传递函数可见，系统为型系统。即 V=1

9、，m=0，n=2.当w从0变化到+时，G(jw)H(jw)曲线起始于（ ，-900），当w趋于时，曲线从-1800方向趋近于原点,a,b,c,由此可知：,由此可见，当s=jw沿着abc半圆取值时，G(jw)H(jw)曲线在GH平面对应的映射为,GH,a,b,c,a,b,c,故，w从0-沿r 0半圆取值到0+时，G(jw)H(jw)的轨迹对应从900(a)顺时针沿R 园周转1800到-900(c),a,b,c,(-1,j0),以此类推，当开环系统中含有两个积分环节时，w从0-沿r 0半圆取值到0+时，G(jw)H(jw)的轨迹对应从900(a)顺时针沿R 园周转21800到-900(c),类推下

10、去,实际上，只需绘制w从零变化到正无穷大时的开环幅相特性曲线，然后按其逆时针包围（-1,j0)点的圈数N和开环传递函数在s右半部的极点数p,根据下式 2N=P-Z 或 Z=P-2N,用上式确定闭环特征方程在s平面右半部的个数，若Z为零，闭环系统稳定。否则闭环系统不稳定。若顺时针包围，N取负值，闭环系统也是不稳定的。,控制系统的相对稳定性,为了使系统能很好的工作，不但要求系统稳定，而且要有一定的稳定裕量，即要求控制系统具有适当的相对稳定性。,一、相对稳定的基本概念,在控制系统稳定的基础上，进一步表征其稳定程度高低的概念，称为控制系统的相对稳定性。控制系统的相对稳定性通常是以幅值裕度的形式表示的,

11、例；以控制系统的框图如下图所示,-,R(s),C(s),开环传递函数,-0.275,开环传递函数在s平面的右半边的极点个数p=0曲线不包围（-1，jo）点，所以系统是稳定的,G(s)H(s),1,曲线过（-1，j0)点，系统处于临界稳定，即在稳定与不稳定的交界面上,G(s)H(s),(-1,j0),1,G(s)H(s),曲线顺时针包围（-1，j0)两圈，故系统不稳定,由上式可知，G(jw)H(jw)越靠近（-1，j0)点，系统的稳定程度降低。所以系统的稳定程度可以用G(jw)H(jw)曲线与(-1,j0)点靠近的程度来表征（衡量）。,稳定程度的定量计算，可用,kg 、 的概念,G(jw)H(j

12、w)曲线通过(-1，j0)必须满足下列条件：,当相角G(jw)H(jw)=-1800时 使 增大的增益倍数， 称为幅值裕度kg， 其数学描述,当G(jw)H(jw)=-1800时，对应的频率 ，称为相位交界频率。 幅值裕度一般用分贝(db)表示,当幅值 ，相角G(jw)H(jw)与-1800的角度差，称为相位裕度。,G(jw)H(jw)为负值，故 为正值,当幅值 时，对应的频率 ， 称为剪切频率。 工程上要求：,例5-5 已知系统的开环传递函数,试应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性,解: 由系统的开环传递函数,得,幅频特性,相频特性,令虚部等于0即：,取w=4.12，故曲线于实轴的交点为：9.1

13、2，根据奈斯判据，开环系统的p=0,曲线包围了（-1，j0）点，所以闭环系统不稳定,利用Matlab绘制Nyquist曲线,num=1000; p1=conv(1 1,1 2); den=conv(p1,1 5); figure(1) nyquist(num,den) title(nyquist polt) numb,denb=cloop(num,den); figure(2) step(numb,denb) title(step Response),例5-6 已知系统的开环传递函数,试应用奈氏判据判别k=0.5和k=2时的闭环系统的稳定性,解: 由系统的开环传递函数,得,幅频特性,相频特性,

14、w,0,k,-1800,-1,-1350,0,-900,k1=0.5;k2=2; den=1 -1; figure(1) nyquist(k1,den); hold on nyquist(k2,den); numb,denb=cloop(k1,den); numb1,denb1=cloop(k2,den); figure(2) step(numb,denb) hold on step(numb1,denb1),利用Matlab绘制Nyquist曲线,对数奈斯判据（bode判据）,Bode判据实际上是奈斯判据在bode图中的延伸，得以延伸，首先就要找他们在坐标上的联系。,奈斯图中的单位园园周，对

15、应于bode 图的0分贝线 奈斯图的单位园外对应于bode图上的0分贝线之上,Bode图与Nyquist图的坐标对应关系,逆时针,（+）,（+）,顺时针,（-）,（-）,奈斯图的单位园内，对应于bode图上的0分贝线以下 奈斯图的负实轴对应于bode图上的对数相频特性的-1800 G(jw)H(jw)曲线要包围（-1，j0)点，必须在负实轴的-1，-之间穿越，规定逆时针方向包围（-1，j0)点称为正穿越，此时幅角有小变大，G(jw)H(jw)顺时针包围（-1,j0)成为负穿越，此时幅角有大变小（包围一次穿越一次，包围两圈穿约两次）,所以，正穿越一次对应在bode图中为,L(w)0区域内，对数相

16、频曲线从-1800线以下区域向上穿越一次 同理，负穿越一次再bode图中为 L(w)0区域内，对数相频曲线从-1800线以上区域向下穿越一次,对照上述坐标关系，将奈斯判据延伸代bode图中得到bode判据（对数奈斯判据）：,在L(w)0 db的区域内，对数相频曲线正穿越次数（N+）与负穿越次数（N-）之差为p/2，则闭环系统稳定。P为开环传递函数在s平面右半边的极点个数,这里为什么是P/2? 而不是P?,是因为奈斯判据：w从-变化到+ 而bode判据：w从0变化到+ 所以在bode判据中只取奈斯判据的一半，既P/2,当p=1、3、5.时，此时P/2出现班次穿越，如何处理？,这里有规定,半次正穿

17、越,半次负穿越,在L(w)0区域内，对数相频曲线从-1800开始向上为半次正穿越，若从-1800向下为半次负穿越,例5-8 已知系统开环传递函数,试用对数判据判别闭环稳定性。,解：绘制系统开环对数频率特性如图。,由开环传递函数可知P=0。,所以闭环稳定,20lgk,例5-9 已知系统开环传递函数,试用对数判据判别闭环系统的稳定性,解：由G(s)的系统的频率特性,幅频特性,相频特性,N+=0,N-=0,p=1,故 N=N+-N-P/2,所以闭环系统不稳定,num=10; dec=0.11 -1 0; bode(num,dec),可以用matlab加以验证,例 已知系统开环传递函数 试用对数判据判

18、别闭环稳定性。,解：绘制系统开环对数频率特性如图,在L(w)0区域内,正穿越次数： N+=0 负穿越次数： N-=1 开环传递函数在s平面的极点个数： P=0 故,N+-N-P/2,所以系统不稳定,在bode图上的表示,实验证明,G(jw)H(jw)曲线远离（-1,j0)点，系统稳定程度好，阶跃响应较平缓，无大的超调。 G(jw)H(jw)曲线靠近(-1,j0)，系统稳定程度下降，阶跃响应超调量大、振荡加剧。 G(jw)H(jw)通过(-1,j0)点，系统处于临界稳定，阶跃响应为等幅振荡。,由此可见：,稳定裕度的大小与系统的动态性能有关,5-6 开环频率特性与阶跃响应的关系,在第三章介绍的时域

19、的五个性能指标在当前的系统分析和设计中占有越来越重要的位置。这里需要进一步探讨频域指标与时域指标之间的关系。,一、开环频率特性与时域稳态误差之间的关系,从第三章的时间响应分析中得知： 闭环系统的稳态误差ess取决于其对应的开环传递函数中含积分环节的个数v（误差度)和开环增益K。也就是说我们知道了v，K（Kp,Kv,Ka) ，就可以方便的计算比环系统的稳态误差ess。,由开环对数频率特性曲线可知： 其低频段的斜率由系统的误差度（v）和开环增益K决定，即低频段的高度由开环增益K决定。所以我们可以根据低频段曲线确定系统的误差度(v)和开环增益K(Kp，Kv，Ka) 下面我们通过一些例题分别讨论，如何

20、根据开环对数频率特性曲线确定系统的误差度（v）和开环系统的增益K,（一）、0型系统,例1：系统的开环传递函数,开环频率特性,其开环特性曲线对应的转折频率为,A,wT2,wT1,-20db/dec,-40db/dec,可见：wwTmin时，L(w)=20lgk=20db,0型系统对数幅频特性有以下特点,对数幅频特性曲线低频段为一水平线，其高度为20lgk 0型系统的开环增益K为静态位置误差系统Kp，既可根据L(w)曲线在低频段的高度求出Kp.,（二）、型系统,例2：系统的开环传递函数,开环频率特性,其开环特性曲线对应的转折频率为,L(w)在wwT时，是一斜率为-20db/dec的直线,讨论,1）

21、当wTk,A,wT,-20db/dec,-40db/dec,在wwT时，惯性环节的对数频率特性曲线尚为一“0”的直线,此时：,2）当wTk,A,wT,-20db/dec,-40db/dec,此时-20db/dec线不穿越“0”分贝线，此时延长低频段使之与“0”分贝线相交，其交点w=K,型系统对数幅频特性有以下特点,低频段斜率为-20db/dec 斜率为-20db/dec的低频段（或延长线）与“0”分贝线的相交频率w=K 斜率为-20db/dec的低频段在w=1处的高度为20lgK,型系统得开环增益K=Kv（静态速度误差系数） 可根据和求出系统的Kv,（三）、型系统,例3：系统的开环传递函数,开

22、环频率特性,当wT1，K1时,A,wT,-40db/dec,-60db/dec,当wT1，K1时,wT,A,-40db/dec,-60db/dec,当wT1时,A,wT,-40db/dec,-60db/dec,当wT1，K1时,A,wT,-40db/dec,-60db/dec,型系统对数幅频特性有以下特点,低频段斜率为-40db/dec； 斜率为-40db/dec的低频段（或延长线）与“0”分贝线相交处的频率w2=k 斜率为-40db/dec的低频段（或延长线）在w=1处的高度为20lgK 型系统的开环增益k=Ka(静态加速度误差系数）,可根据和求出系统的Ka,下面举例：通过例题介绍如何从对数

23、幅频特性曲线中确定K值,由右图可见： AB线段高度为20lgK 根据几何关系,AB线段表示A点至B点得分贝数。 BC线段表示B点至C点的对数值,例1：,AB=20lgK， BC=lgWc-lgW1,例2：,由右图可知：,故有：,例3：,A,B,C,D,W1,wc,W=K,-20db/dec,-40db/dec,F,G,E,-60db/dec,W2,从图中可知：,总结以上例题我们可以得出结论,开环增益K与0分贝以上的开环幅频特性曲线的各个转折频率wi及幅值穿越频率wc之间有着既定的关系,推广,这种方法也可用来在已知K的条件下，求Wc。或在已知K、Wc的条件下求任意转折频率,二、开环频率特性与系统

24、动态性能的关系,前面讨论了如何应用系统开环频率特性分析闭环系统的稳定性能和ess，下面讨论如何通过频率来分析闭环系统的动态性能。,1、频域动态性能的提出,对控制系统的设计有两种方法,用开环频率特性设计系统时常用的动态指标,用闭环频率特性设计系统时常用的动态指标,注,最小相位系统 -若系统G(s)的所有零、极点均在s平面的左半边，则称为最小相位系统。反之称为“非最小相位系统”,2、开环频率特性曲线参数与阶跃响应的关系,对一、二阶系统来说，频域指标与时域指标之间存在着确定的关系。通过分析可清楚地看出频域指标的含义。,一阶系统,一阶系统传递函数的标准形式,其闭环结构图为,R(s),C(s),从图中可

25、得：,开环传递函数,闭环传递函数,其单位阶跃响应曲线,开环频率特性,-20db/dec,-20db/dec,闭环频率特性,wT=wb=1/T,wc,由开环对数频率幅频曲线可清楚地看出，一阶系统的开环幅值穿越频率wc=K（开环增益）,即,从闭环对数幅频特性曲线中可见，其转折频率wT=1/T，当w=wT=1/T时，闭环频率特性的幅值为 ，即为（w=0）时的幅值的0.707倍-称此点的频率值为一阶系统的频宽,又一阶系统的时域指标ts,或,可见ts可用系统的开环或闭环频域指标来描述,反应系统的响应速度,二阶系统,其闭环结构图为,R(s),C(s),开环传递函数,故有,开环频率特性与时域指标的关系 情况

26、1：wT=1/TK,wT,-20db/dec,-40db/dec,wc,W2=k,可见-20db/dec线段与0分贝线的交点频率w2=k,剪切频率wc=?,故有,可见系统的截止频率wc恰好是Wn与w=k的几何中点。,截止频率wc=?,根据前面介绍的指示：,情况2：wT=1/TK,-20db/dec,Wc=k,-40db/dec,Wn=1/T,通过以上分析与推导可见，对数频率特性可确定系统的相关参数。,再看性能指标与参数之间的关系如何？,幅值穿越频率wc,由wc的定义，有：,即,分子分母同除wn2,得：,等式两边同时乘方，得,从括号里提出wc2，得：,得到一二次方程,又 不可能为负值,故得：,相

27、位裕度,Re,Im,wc,又,由二阶系统时域指标 与 相比较，二者都仅与 值有关。,可见,的大小反映了系统的动态过程的平稳性。,为了使二阶系统在过渡过程中 不要过大，调整时间ts短些,一般,有二阶系统的调整时间,显然，当 值为常数时，ts与wc成反比,Wc的大小反映了系统过渡过程的快慢！,3、闭环频域指标与时域指标的关系,谐振频率,R(s),C(s),系统的闭环传递函数,故二阶系统的闭环幅频特性：,幅频特性,系统发生谐振时，幅频特性达到最大值，故,可得谐振频率：,由此可知，当 时，wr才为实数，这说明 时，系统的闭环频率特性无峰值。在 时，ts与wr成反比，即：,所以，wr的大小反映了响应速度

28、的快慢！,谐振峰值 Mr,将 代入下式,由此可见：Mr仅与 有关:,频带宽度wb，根据wb的定义,又上式解得：,可见：当 时，ts与wb成反比,通过以上分析可知：通过系统的开、闭环频率特性能得到系统动态性能指标，但由于高阶闭环频率特性曲线不易得到，故通常用开环频率特性来研究系统的动态性能更为方便。,-表征过渡过程的平稳性 -表征系统响应的快慢,4、系统开环频率特性曲线的中频段与阶跃响应的关系,从一阶、二阶系统的开环频域指标分析中显而易见，系统的开环频率特性曲线的中频段，即剪切频率wc附近的区段，它集中反映了闭环系统的平稳性和快速性。,而,-仅是比较简单的指标，它们不能完全概括千变万化的频率特性

29、曲线的形状,所以有必要对系统的中频段的情况进行进一步的分析。,下面通过实例，来看看系统对数幅频特性曲线中频段斜率对系统动态特性的影响,例 系统开环传递函数,试绘制系统的bode图并分析系统的 动态性能情况,wc,wg,这里我们求wc,又w1=5 K=10,当w=wg， r=0,由1-0.20.02Wg2=0,可见，闭环系统是稳定的,若减小K，故对数频率特性的形状不变，只是对数频率特性曲线向下平移，使wc向左移，使得r增大。当wc移至斜率为-20db/dec区段边沿时，此时的剪切频率wc=5red/dec,若wc移至斜率为-20db/dec区段穿越0分贝线，r更大。,一般来说，中频段以-20db

30、/dec穿越0分贝线，且有较宽的频率区间时，系统可得到良好的平稳性。,一般来讲，开环对数幅频特性以大于 -60db/dec的斜率穿越0分贝线，闭环系统一定时不稳定的。,若以-40db/dec的斜率穿越0分贝线，闭环系统往往处于稳定与不稳定之间，即使能稳定起相位裕度r也很小，系统的振荡较大。其主要原因是以-40db/dec穿越时，所占的频率区间不易过宽。 若以-60db/dec的斜率穿越0分贝线，则闭环系统很难稳定。 若以-20db/dec穿越0分贝线，容易获得较宽的频率区间，这样不仅可以保证系统的稳定性，而且相位裕度r也较大，可以得到满意的动态效果。,注意,如果中频段以-20db/dec穿越0

31、分贝线，但占据的频率区间较窄，也有可能是系统不稳定。,四、三频段的概念及分析小结,综上所述，通过系统开环频率特性曲线不仅可以分析闭环系统的绝对稳定性，也可以分析相对稳定性能。不仅可以分析系统稳定性能，而且可以分析系统的动态性能。,频率特可分析,通过系统的开环频率特性曲线三频段可看出系统的相应的特性情况：,低频段,指开环对数频率特性曲线在第一个转折频率以前区段。,低频段的特性完全由积分环节和开环增益决定，其中无差度（v积分环节个数）决定这段的斜率，开环增益决定此段的高度。 低频段的斜率越低，系统开环串联积分环节个数越多，位置越高说明开环增益K越大，相应的闭环稳态误差越小，系统的精度越高。,所以说低频段的形状反映了系统的稳态性能。,结论：,低频段通常是指20lg|G(jw)|的渐进曲线的第一个转折频率以前的区段，这段的特性完全由积分环节和开环增益（放大系数）决定。,低频段的斜率为0db/dec-”0”型系统