18-第18讲--相关变化率、曲率、经济应用

1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十八讲 一元微积分的应用, 相关变化率、曲率、经济应用,在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量 之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的 函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.,解,解,解,我们已经讨论过曲线的凹凸性 , 知道如,判定曲线的弯曲程度 . 而在许多实际问题中,何判断曲线的弯曲方向 , 但是还不能描述和,都必须考虑曲线的弯曲程度 , 例如 , 道路的,弯道设计 , 梁的弯曲程度 , 曲线形的切削

2、工,具的设计等等 .,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度 ?,二、曲率,单位弧长上的转角,曲率的概念,解,求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .,如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .,设曲线方程为,则在曲线上点,处的曲率为,曲率的计算公式,证,如图所示 ,曲线在,故,又,从而,解,直线上任意一点处的曲率均为零 .,将它们代入曲率计算公式中即可得：,参数方程下曲率的计算公式,解,哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .,利用参数方程求导法求出,故,得驻点,故在各象限中,由此可得 :,解,会出现导数的分母,为零的情形 ,相同 ,

3、相同 , 故原问题可以转为求曲线,图形形状,在有些实际问题中 ,现在问你一下 : (假设单位是统一的),如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为,你能想象出它的弯曲程度吗？,如果告诉你有一个半径为 5 的圆 , 你能想象,出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？,由此及前面讲的例题, 你有什么想法？,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,作其,法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q ,使,以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点,M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为,曲率半径 .,曲率圆、曲率中心,曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点

4、 M 处,两者曲率相同 .,曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二,阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶,导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现 .,曲率圆的性质,则曲线在点,曲率中心的坐标,证,则,曲线在点,由于,故有,其斜率为,曲线在点 M 处切线的斜率为,从而 , 有,(1),(2),由 (1) , (2) 两式消去,由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以,故对上式两边开方得,由 (2) 式 , 得,画画图更清楚,解,曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .,曲率中心为,曲率圆的方程为,库存问题,假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.,设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q= ,进货周期为t= ,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成,(1) 进货费 (2) 贮存费,于是总费用E可表示为批量q的函数,最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,最优进货次数为,最优进货周期,最小总费用,复利问题,例 设林场的林木价值是时间t的增函数V= ,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间,解 考虑到资