《经济数学基础》第一篇第三章讲义-导数的应用

1、经济数学基础微积分,黄老师:,第三章 导 数 应 用,极大（小）值，边际及需求弹性概念,本章难点： 极值点，导数在几何、经济分析中的应用,本章重点：,注：3.2节“函数极值”只要理解概念,一、函数的单调性,主要学会用导数去判断函数的单调性。,1、单调性定义：P8,什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的,2、单调性的判别方法,方法一：用定义判别，见P-9例8。 这种方法通常较麻烦、计算困难。,方法二：用一阶导数判别法 定理3.1,定理3.1 P124,意义：利用

2、导数的符号判别函数的单调性,于是判断函数单调性的方法为:,例1.1,解：,如图,x,1,书本P125,例1.2,解：,如图,书本P125,例1.3,解：,例1.4,解：,二、函 数 极 值,函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点,1、函数极值的定义：,P128,设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义. 如果对该邻域内任意一点x(xx0)的任一点有:,端点a、b和x3 不是极值点,极大值点是指它的函数值要比周围的值都大， 而端点b的右边是没有函数值，所以它不是极大值点,由上面分析得知,极值点应该在导数为0 或导数不存在的点中找,定理3.2 如果点x0是函数f(x0)

3、的极值点, 且f(x0)存在,则f(x0)=0, 使f(x)=0的点,称为函数的驻点,驻点不一定是极值点,这个定理是极值点存在的必要条件.而导数不存在的点有可能是极值点也有可能不是极值点.,例1 设函数y = ex - x +1，求驻点 分析驻点就是使导数等于 =0的点,= ex - 1， 由,ex 1 = 0， 得x = 0 注意：这里求出的x = 0不能说是函数的 一个极值点，只能说是函数的一个驻点,(x0) = 0是点x0为极值点的必要条件， 但不是充分条件,解：,定理3.3 设函数f(x)在点x0的邻域内连续并且 可导(f(x0)可以不存在). (1)如果在点x0的左邻域内f(x0)0

4、,在点x0的 右邻域内f(x0)0,那么点x0是的极小值点,且 f(x0)是的极小值;,特征： 点x0的左边曲线是上升的，即导数值（斜率）大于0；右边曲线是下降的，即导数值（斜率）小于0,由此可知，极大值点的左、右两边的导数是不一样的，即由正变到负。,极大值点(导数)左为正、右为负,特征： 点x0的左边曲线是下降的，即导数值（斜率）小于0；右边曲线是上升的，即导数值（斜率）大于0,由此可知，极小值点的左、右两边的导数是不一样的，即由负变到正。,极小值点（导数）左为负、右为正,此时，在x0点的左、右两边的导数不变号。,求函数极值点及极值的步骤: 1.确定函数的定义域,并求出函数的导函数 2.解方

5、程:导函数=0,求出函数的所有驻点. 3.找出导函数不存在的所有点 4.讨论在驻点和不可导点的左右两侧附近符号 的变化情况,确定函数的极值点（定理 5.求出极值点所对应的函数值(极大值或极小值),P130例1例2,例2 设y = x ln(1+x)，求极值点及极值 分析 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点 和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极值点 解： 定义域,，解得x = 0 (驻点),在x = 0的左右两边， 的符号由负变正，故x = 0是极小值点,x=-1处不存在导数,y,极小值,例3设y =,分析 首先求定义域，然后利用必要条件求驻点 和不可导点，再利用充分条件进行判别，确定极

6、值点 解： 定义域,x = 0处导数不存在，x = 1是驻点.,在x = 0的左右两边， 的符号由负变正， 故x = 0是极小值点；,- x + 7，求极值点,在x = 1的左右两边， 的符号由正变负， 故x = 1是极小值点；,P132例3,2、最大值、最小值及其求法,端点a、b和x3不是 极值点,函数在a，b上最大（小）值点是哪一个？,即：最大（小）值在端点取得。,连续函数的最大值和最小值只可能在 以下几种点处取得: 1.驻点 2.导数不存在的点 3.区间端点 分别求出函数在这些点的函数值,其中 最大的就是最大值,最小的就是最小值.,求函数最值的步骤： 求导数,(x)；, 解 (x) =

7、0，求出f (x)的驻点； 找出f (x)连续但 (x)不存在的点；, 比较f (x)在驻点、导数不存在点和 端点处的值，确定最 大值和最小值,P133例5例6,例1 求y = x3- 3x2 9x + 5在-4，4 上的最大值和最小值 分析可能成为最值点的是端的、驻点和不可导点 因此，先求驻点和不可导点，再比较这些点和端点 处的函数值的大小，确定最大值和最小值,解： y= 3x2 6x - 9 = 3(x2 2x 3) 3(x + 1)(x 3) = 0 ，x1 = -1，x2 = 3,所以，最大值为y(-1) = 10，最小值为y(-4) = -71 说明：不用判别-1，3是否为极值点，只

8、要计算 -4，-1，3，4处的函数值，确定最大值和最小值。,例2 求y = x(x-1)1/3在-2,2上的最值点,解：,且x = 1处导数不存在,所以，最小值点为x =3/4 ，最大值点为x = -2,-2,练习： 求 在-1,4上的最值点,解：,所以，最小值y= -4，最大值y =16,结论：,这结论说明了，什么情况下极值点 等于最值点。在经济分析中十分有用。,P133,三、导数与微分在经济学中的应用,2、边际分析,1、需求价格弹性,1、弹 性,需求价格弹性的定义,其经济含义为:,例1 已知需求量q（单位：百件），价格p（单位：千元）， 需求价格函数为：q = 15e-p/3 ，p 0，1

9、0 求当p = 9时的需求弹性,解：因为,所以 Ep (9)= -,= -3,Ep =,P136例1,例2已知需求函数 q( p) = 150-2p2，p (0, 8)求,（1）求需求弹性； （2）问p 取何值时，Ep为单位弹性，缺乏弹性，富有弹性 解：由,得0 p 5,即当p = 5时，Ep为单位弹性；当0 p 5时，Ep为缺乏弹性； 当5 p 8时，Ep为富有弹性,，得5 p 8,得 p = 5,例3.1：（06春考题）,设需求量q对价格p的函数为,则需求弹性为,解：,2、边际问题,边际概念是与导数密切相关的经济学概念,实际上，求边际函数就是对原函数求导,成本函数（P29）是产量的增函数。

10、,注：成本函数固定成本可变成本,求边际经济函数，就是求经济函数的一次导函数。,经济函数的导数称为边际经济函数：,(1)需求函数 ,边际需求,(2)成本函数 ,边际成本,(3)收入函数 ,边际收入,(4)利润函数 ,边际利润,这里q为“产量”,这里q为“销售量”,注：(2)(4)都是q的函数，都关于q求导,求经济函数最值的求解步骤：,(1) 列出目标函数：此处的目标函数就是使所求实际问题达到最大值或最小值的函数。,(2) 对目标函数求导数；,(3) 令目标函数的导数为0，求出驻点；,(5) 得出结论。,3、经济分析中的最值问题,例3.2,解:,这是一个求最值的问题。,设利润函数为L(x),那么边

11、际利润,求得唯一驻点,因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000台时，可使利润达到最大。,例3.3 :设某产品的成本函数为,其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？,解:,因为平均成本,且,(最小平均成本等于平均成本函数的边际成本),解得q1 = 50（台），q2 = 50（舍去）,因为有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。即当产量为50台时，平均成本最小。,最小平均成本为,= 7（万元）,例3.4：生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q =1202 p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求,(1) 使该产品利润最大的产量；,(2) 使利润最大的产量时的边际收入.,解：,（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是,C(q) =10q +1000 (万元),得到 q = 50(台),因为驻点唯一，故q = 50台是所求最