第04章--角动量-刚体力学

1、第4章 角动量 刚体力学 Angular Momentum, Mechanics of Rigid Body,教材：自编高教社出版 作业：4.1 ，4.2 ，4.5，4.7， 4.13,提纲,质点与质点系的角动量 力矩 质点的角动量 质点系的角动量 质点系角动量的定义 质点系的角动量定理 *质点系绕动点的角动量 角动量定理的质心形式 刚体及其自由度 刚体的定义 刚体的自由度 刚体的一般运动,刚体的定轴转动 刚体定轴转动定律 转动惯量的计算 刚体定轴转动定律的应用 对定轴的角动量守恒定律 转动中的功和能 本章重点：力矩，角动量，转动惯量，转动动能，刚体定轴转动定律等 本章难点：角动量定理的质心形

2、式，刚体的一般运动，角动量守恒定律,质点与质点系的角动量,力矩 在杠杆所在的平行于桌面的平面内,杠杆平 衡条件,质点与质点系的角动量,无论杠杆是否进入转动状态,因为其质心不动,所以总有 受力分析不能判断杠杆是否进入转动状态, 但下式可以： 根据右手螺旋关系,选择,质点与质点系的角动量,力矩的定义 力矩是相对于参考点O的， 相对于惯性系不动的O点称为定点.,质点与质点系的角动量,力矩的计算,质点与质点系的角动量,质点的角动量 作用于质点上的力矩有什么效果? 角动量也是相对于参考点O的.,质点与质点系的角动量,质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的角动量 相对于惯性系中的定点O,质点与质点系的

3、角动量,质点系的角动量定理 绕惯性系中的某个定点，质点系的总角动量随时间的变化率等于质点系的合外力矩. 证明：,质点与质点系的角动量,成对出现,质点与质点系的角动量,质点系绕定点的角动量守恒定律 如果质点系绕惯性系中某一定点所受的合外力矩为零，则系统绕该定点的总角动量保持不变. 无论是各质点的角动量和外力矩，还是质点系的总角动量和总外力矩，都是相对于同一定点而言的. 虽然内力矩可以改变系统中一个质点的角动量，但是不能改变整个质点系的角动量. 在惯性系中的质点系，绕运动参考点B，质点系受到的力矩与其角动量之间的关系一般不具有M = dL/dt 的形式.,质点与质点系的角动量,质点系的质心,分别对

4、时间求 一阶和二阶导,质点与质点系的角动量,质心运动定理(center-of-mass theorem) 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度. 质心运动定理 质心运动定理描述了质点系统的平动，即质心的运动情况.但质心运动定理并没有描述质点系的全部运动.质点系中的质点间相对位置可能不固定，而对于质点间相对位置固定的质点系，还存在一个空间取向问题.这些情况都没有包括在质心运动定理中. 以质心为参考点建立的参考系，称为质心参考系.,质点与质点系的角动量,角动量定理的质心形式 把参考点选为质心时(质心参考系) 无论质心是否作加速运动,角动量定理的质心形式均成立. 作用于系统的外力

5、绕惯性系定点O的合力矩,等于外力绕质心的合力矩加上作用于质心上的合外力绕定点O的力矩. 惯性系中系统绕任一定点的角动量等于系统绕质心的角动量于质心绕定点的角动量之和.,质点与质点系的角动量,一个重要结论(例4.8): 作用于质点系统上的重力绕定点的力矩，就是作用于质心上的总重力绕定点的力矩. 无论质心是否运动，质点系所受重力绕质心的重力矩为零.,质点与质点系的角动量,角动量守恒定律的质心形式 如果质点系所受外力绕质心的合外力矩为零，则系统绕其质心的总角动量保持不变. 注意，该守恒定律对质心运动情况没有特别要求. 忽略空气阻力,图4-21中的运动员在跳水过程中只受重力作用,其质心作抛物运动.重力

6、绕其质心的重力矩MC = 0,因此运动员绕其质心的角动量守恒.运动员调整身姿,只能改变其角速度而不会改变其绕质心的角动量.,刚体及其自由度,刚体的定义 刚体(rigid body )是在力的作用下,其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体. 刚体与质点一样，是一个经过简化和抽象后的理想模型,能否视为刚体视研究问题而定. 刚体的自由度 自由度(degree of freedom)，就是描写系统的几何位形所需的独立坐标(参数)的数目. 几何位形，就是质点系中各质点的空间位置布局. 状态变量描述状态，空间位形只是状态的一部分. 基本常识：对于由N 个质点组成的质点系,其自由度一般为3N.如果质点之

7、间的距离受到限制(约束条件)，则这3N 个坐标是不独立的,这时候,质点系的自由度就必须用3N 减去独立的约束条件数目.,刚体及其自由度,刚体的自由度 刚体的自由度是6,只需要6 个独立坐标就能描述刚体的几何位形.至于选取哪6 个独立坐标,原则上讲是任意的.实际选取的时候,则主要看描述刚体运动是否方便.为此,需要对刚体的一般运动有所了解.,刚体及其自由度,刚体的一般运动 平动(translation): 在平动中，刚体中任何两点之间的连线的方向总是保持不变。所有质点都具有相同的速度和加速度，并且运动轨迹的形状也都相同。,用基点的运动代表整个刚体的平动.,刚体的平动自由度是3,刚体及其自由度,刚体

8、的一般运动 定轴转动(fixed-axis rotation): 刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.各质点在相同时间内转过相同的角度,因此角位移,角速度和角加速度均相同.,刚体定轴转动的自由度是1,刚体及其自由度,平面运动(planar motion) 位形C1位形C2分解为: 平动 + 转动 刚体平面运动的分解方式不是唯一的，选择不同的固定轴，所经历的平动路程不一样，但是定轴转动的角度和方向都是一样的.,平面上的平动部分自由度为2，定轴转动部分自由度为1，所以刚体平面运动的自由度为3.,平动,转动,平动,刚体及其自由度,定点转动: 刚体在运动时始终有一点固定不动 瞬时转轴: 1.通过定点

9、 2.轴上各点速度为零,除定点外的各点加速度不为零. 瞬时转轴不是自转轴 欧拉旋转定理断言: 三维空间中刚体定点运动的任意位移都可以通过绕该定点的某个轴的一次转动实现.,刚体定点转动 的自由度是3,刚体及其自由度,自由刚体的一般运动 自由刚体：其运动不受任何限制的刚体 蔡斯勒斯定理断言：刚体的一般运动可以分解为任选基点的平动和绕通过该基点的某个轴的转动. 蔡斯勒斯定理是分解刚体一般运动的理论基础.,刚体及其自由度,刚体的运动方程( equations of motion for a rigid body) 自由度为6，只需6个独立的微分方程,质心形式,刚体的定轴转动,由于定轴的作用, 只有与转

10、轴平行的外力矩分量才能对定轴转动有影响.与转轴垂直的外力矩分量不会影响刚体的定轴转动, 但会使定轴的轴承处的作用力发生变化. (解释见F分解) 不用考虑作用于轴上的力. 因为无论该力的方向如何,由于力作用点的位矢平行于轴,力矩永远垂直于轴.,轴,刚体的定轴转动,刚体定轴转动定律 刚体的定轴转动只有一个自由度,只用一个运动方程就能描述刚体的定轴转动 (不关心转轴的受力情况). 角动量L 和力矩M 以转轴上的任意一点O 为参考定点.,刚体的定轴转动,计算Mz,刚体的定轴转动,Mz与基点O在轴的何处无关,只与转轴有关.,垂直于纸面向外,刚体的定轴转动,计算Lz,刚体的定轴转动,计算Lz 所有的质量元

11、都有相同的角速度 Lz 与基点O 的选取无关,只与转轴有关.,刚体的定轴转动,刚体定轴转动定律 转动形式的牛顿第二定律刚体的定轴转动定律 刚体的定轴转动定律实际上是质点系的角动量定理沿固定转轴方向的分量式的一种特殊形式. Mz和Lz是相对于轴的,而不是相对于轴上基点的.因此,计算Mz和Lz时,只用算相对于定轴的外力矩和角动量; 不用考虑作用于轴上的力产生的力矩和角动量 (原因见前面内容).,刚体的定轴转动,冲量矩 写成时间导数形式的物理规律表示的是一种时间上的瞬时关系,将其改写为积分关系,就能反映时间上的过程关系.,刚体的定轴转动,转动惯量的计算 与质量一样，转动惯量也是一种惯性量. 惯性也称

12、为惰性,在物理学的各领域经常出现,表示改变现状的难易程度. 物理系统在某个时刻的现状用该时刻的状态参量来描述. 转动惯量的大小反映了改变刚体角速度的难易程度. 定性判断转动惯量大小的三条依据:,刚体的定轴转动,转动惯量的计算 可加性、平行轴定理、正交轴定理,推论:在一组平行轴中,刚体绕质心轴的转动惯量最小.,刚体的定轴转动,转动惯量的计算,刚体的定轴转动,刚体的定轴转动,刚体定轴转动定律的应用 例4.12 一根长为l，质量为m 的均匀细杆,其一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动.最初杆静止在水平位置.求它由此自由下摆q角时的角加速度.,刚体的定轴转动,刚体定轴转动定律的应用 杂技

13、揭秘(相关习题4.9) 已知两细杆l=2l,从等倾角q处静止释放. 求两者瞬时角加速度之比a/a. 根据M=Ja,有 杆越长，角加速度越小，且与匀质直杆的质量无关.,刚体的定轴转动,对定轴的角动量守恒定律 一个刚体的定轴转动 多个刚体或质点组成的系统,刚体的定轴转动,对定轴的角动量守恒定律 在分析一个系统沿定轴角动量是否守恒时,无论是角动量还是合外力矩,都必须相对于同一公共定轴,而不是相对于系统各部分各自的转轴. 对于绕Oz 作定轴转动的部分,用Lzi = Jzi wi 计算其角动量.,刚体的定轴转动,对定轴的角动量守恒定律,刚体的定轴转动,转动中的功和能 刚体定轴转动动能 力矩做功 随着刚体

14、由静止到旋转，转动动能从无到有，必然经历了能量的转换，这种转换是通过力矩做功完成的.,刚体的定轴转动,力矩做功,对于刚体而言,由于刚体各质点间 距离保持不变,所以内力不做功.,刚体的定轴转动,定轴转动的动能定理 力矩做功,整个刚体发生位 移元产生的元功,刚体的定轴转动,刚体的重力势能和机械能 一个不太大(保证g为常数)的刚体的重力势能和它的全部质量集中于质心时所具有的重力势能是一样的.,质心的高度:,质心定义:,刚体的定轴转动,刚体的重力势能和机械能 如果一个系统有刚体, 在计算系统总机械能时,应将刚体的机械能(包括刚体的动能和各种势能)也考虑在内. 刚体作定轴转动，其动能就只有转动动能. 如

15、果刚体作一般运动，则根据蔡斯勒斯定理将刚体一般运动分解为质心的平动与绕某个质心轴的转动. 由于刚体只是一种特殊的质点系,所以关于质点系的功能原理、机械能守恒定律等都可以应用于含有刚体的质点系中.,刚体的定轴转动,典型例题(杆碰撞,滑轮) 在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m0、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆垂直的速度v0与杆的一端发生完全弹性碰撞(碰撞前后系统动能守恒),求小球的反弹速度v及杆的转动角速度w. 杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行,对轴无力矩;桌面及轴皆光滑,无摩擦力矩;轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中,所受合外力矩为零,在水平面上,碰撞过程中系统角动量守恒.因为是完全弹性碰撞，因此碰撞前后动能守恒.,刚体的定轴转动,典型例题(续前页),讨论： 1.动量守恒吗？ 2.完全非弹性碰撞？,总结,质点与质点系