现代控制理论课件7-wzj第四章-李雅普诺夫稳定性

1、4.1 概述 4.2 李亚普诺夫第二法的概述 4.3 李亚普诺夫稳定性判据 4.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 小结,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,1,是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。,对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。,4.1 引言,稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系统的稳定性通常有两种定义方式：,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析, 外部稳定性,

2、是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即有界输入有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。, 内部稳定性,2020/7/19,2,研究系统稳定性的方法：, 李亚普诺夫第一法,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,李亚普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断；对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。,2020/7/19,3,以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工

3、程意义上看，更重视系统的输出稳定性。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,线性定常系统 平衡状态 渐进稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值均具有负实部。,线性系统状态稳定性判据,1、线性系统的稳定判据,2020/7/19,4,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数 的极点全部位于s的左半平面。,线性系统输出稳定性判据,如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。,例题4.1,系统的状态空间描述为 试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。,2020/7/19,5,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,解：(1)由

4、A阵的特征方程 可得特征值 ， 。故系统的状态不是渐近稳定的。 (2)由系统的传递函数 可见传递函数的极点 位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值 被系统的零点 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。,2020/7/19,6, 李亚普诺夫第二法,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,李亚普诺夫第二方法又称直接法。它的基本思想不是通过求解系统的运动方程，而是借助了一个李亚普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳

5、定性做出判断，它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定。,2020/7/19,7,4.2 李亚普诺夫第二法的概述,1892年俄国学者李亚普诺夫发表了运动稳定性一般问题，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称为间接方法；第二类方

6、法不必求解常微分方程组，而是提供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观点提供了判别所有系统稳定性的方法。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,8,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,稳定性是指系统受外界干扰后，平衡状态被破坏，但当干扰去掉后，系统仍能自动地回到平衡状态下继续工作。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。,1、稳定性,一、物理基础, 稳定性是系统本身固有的属性。, 线性自动控制系统稳定的充要条件：系统特征方程的全部根是负实部或实部为负的复数，即全部根在复平面的左半平面。,2020/7/19,9,现代控制理论,第

7、4章 李亚普诺夫稳定性分析,2、系统的平衡状态,设系统为 ，其中 ，则 ， 对于该系统，如果存在对所有时间t都满足 的状态 ，即 ，则把 叫做系统的平衡状态。,对于线性定常系统 而言，其平衡状态满足 ，若A是非奇异矩阵，则只有 ，即对线性系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限多个平衡状态。 对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。,2020/7/19,10,李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 ，那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,

8、3、李亚普诺夫第二法,对于系统 建立一个能量函数 ，即 对于任意 时， ，而 ，且仅当 时，才有 ，则系统 是稳定的。,2020/7/19,11,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,由此，李亚普诺夫第二法可归结为：在不直接求解的前提下，通过李亚普诺夫函数 及其对时间的一次导数 的定号性，就可以给出系统平衡状态稳定性的信息。,因此，应用李亚普诺夫第二法的关键在于能否找到一个合适的李亚普诺夫函数(即能量函数)。,4、能量函数,广义能量函数 称为李亚普诺夫函数，如果其不显含时间t，就记成 。,2020/7/19,12,设 为任一标量函数，其中X为系统的状态变量， 如果 具有以下性质： 是连续

9、的； 是正定的； (3)当 时， 。 那么函数 称为李亚普诺夫函数。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析, 能量函数的定义,李亚普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础。,2020/7/19,13,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,1、二次型函数的定义及其表达式,二、二次型及其定号性,(1) 二次型函数的定义,在代数式中我们常见一种多项式函数如下 其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次多项式或二次型。以上只是对含有2个变量x、y的二次函数来说的，如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。,2020/7/19,14,现代

10、控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,n个变量 的二次齐次多项式为 称为二次型函数，即二次型。式中 为二次型系数。, 二次型的定义,2020/7/19,15,由二次型函数的定义可写成,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,(2) 二次型函数的矩阵表达式,2020/7/19,16,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,其中 ，P称为二次型的矩阵。 即P为对称矩阵。 显然二次型 完全由矩阵P确定且P的秩称为二次型的秩。,例题4.2,2020/7/19,17,V(X)是向量X的标量函数。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2、标量函数V(X)的定号性,如果对任意非零向量 ，恒

11、有 ， 且仅当 时 ，则称 为正定的。即,(1) 正定性,例题4.3,当 时， ； 当 时， 。所以，V(X)是正定的。,2020/7/19,18,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为正半定的。即 0,(2) 正半定性(准正定),例题4.4,当 时， ； 当 但 时， 。 所以，V(X)是正半定的。,2020/7/19,19,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,(3) 负定性,例题4.5,当 时， ； 当 时， 0。 所以，V(X)是负定的。,如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为负定的。即 0,2020

12、/7/19,20,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,如果对任意非零向量 ，恒有 0， 且仅当 时 ，则称 为负半定的。即 0,(4) 负半定性(准负定),例题4.6,当 时， ； 当 但 时， 。 所以，V(X)是负半定的。,2020/7/19,21,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,如果在某个邻域内， 即可为正值也可为负值， 则称 为不定的。,(5) 不定性,例题4.7,若 ，则 ； 如果ab，V(X)0；ba，V(X)0。 所以，V(X)是不定的。,2020/7/19,22,对于P为实对称矩阵的二次型函数V(X)的定号性，可用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。,现代

13、控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,3、二次型标量函数定号性判别准则,(1) 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶主子行列式均大于0。即,赛尔维斯特定理：,2020/7/19,23,这个定理称为赛尔维斯特定理,定理4.2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,24,正定矩阵具有以下一些简单性质,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,25,解,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19

14、,26,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,27,4.3 李亚普诺夫稳定性判据,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,28,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,29,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,30,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,31,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,32,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,33,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,34,现

15、代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,35,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,36,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,37,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,38,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,39,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,40,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,41,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,42,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析

16、,2020/7/19,43,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,44,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,45,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,46,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,47,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,48,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,49,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,50,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,51,例4.6 系

17、统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。 解： 原点为平衡状态，选取李氏函数,在任意x 值上均可保持为零，则系统在原点处 是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,52,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,53,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,54,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,55,4.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析,讨论：选择二次型函数 为李氏函数。,目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性,负定,正定,由上一节讨

18、论的判据知道系统渐近稳定，故有以下判据：,一、线性定常连续系统的稳定性分析,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,56,且标量函数 就是系统的一个李氏函数。,判据：线性连续定常系统： 在平衡状态 处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,57,1）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取 。,2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。,说明:,3）如果 除了在 时有 外， 不恒等于零, 则由上一节判据可知，Q可 取做半正定。

19、为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,58,应用定理判稳步骤：,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,59,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,60,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,61,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,62,例 用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,63,状态空间描述为：,2、用李氏第二法判稳（令u=0）,1）Q能不能取做半正定？,2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围,由判据4 得：,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,64,注意：P为正定实对称矩阵。,解得：,根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k0，且k0 所以系统稳定的k值范围为0k6,现代控制理论,第4章 李亚普诺夫稳定性分析,2020/7/19,65,二、线性定常离散系统的稳