物理高数微积分初步

1、数学知识,微积分初步 矢量,数学部分作业,P451：1. （4, 5）、 2. （10）、 4. （5，8）、 6. P461: 10. 、13. (2) 、 16.,一、微积分初步,函数、导数与微分 不定积分 定积分,变量：本身的取值会发生变化的量 常量： 绝对常量：圆周率 待定(任意)常量：匀速直线运动中的v,函数、导数与微分函数,函数定义： 变量x, y, 对于 xD，y有确定的值与之对应，则称y是x的函数： y=f(x), 其中D为定义域，y的所有取值构成y的值域。,复合函数： y=f(z); z=g(x); y=fg(x); 其中z=g(x)为中间变量 简谐振动 x=Acos(wt)

2、,函数、导数与微分函数,y=f(x), x=x0+x, y=f(x0+x)- f(x0),函数、导数与微分导数,平均变化率：,导数定义: 对于函数y=f(x), 如果x0, y/x有极限，则称f(x)在x0处可导, 其极限称为f(x)在x0处的导数，记做,即：,函数、导数与微分导数,函数、导数与微分导数,导（函）数: y=f(x), 在x0 处可导， 记做 . 若在定义域D各点均可导,则每一点都有函数的导数与之对应，于是导数也变成为自变量的函数，称为导(函)数,记做：,函数、导数与微分导数,平均变化率 在数值上等于与X相对应的函数曲线割线的斜率,等于函数f(x)曲线在 x0，f(x0)的切线的

3、斜率,导数的几何意义：,函数、导数与微分导数,导数的基本公式：,函数、导数与微分导数,导数的基本运算法则：,函数、导数与微分导数,导数的基本运算法则：,函数、导数与微分导数,例子：,函数、导数与微分导数,例子：,函数、导数与微分导数,函数的极值：,若函数f(x)在点x0附近有连续的导数 ,且,则函数f(x)在点x0存在有极值,函数、导数与微分导数,函数的极值：,函数、导数与微分微分,微分定义：,函数y=f(x)在点x处的导数 与自变量增量x的乘积称为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy .,不定积分,原函数定义：,设f(x)定义在某区间上，若存在F(x), 使得在这一区间上每一点都有 ,

4、则称F(x)为f(x)的一个原函数。,F(x)+C也是f(x)的原函数.有无穷多个原函数,如果 , C为任意常数,则：,不定积分,不定积分定义：,函数f(x)的所有原函数叫作函数f(x)的不定积分，记作,不定积分,不定积分 代表无穷多个x的函数，所有这些函数之间都只相差一个常数C，它们的导数都等于被积函数f(x).,数学意义：,不定积分,不定积分的性质：,不定积分实际是求导数的逆运算。,不定积分,基本积分公式：,不定积分,运算法则：,（换元积分法）,不定积分,例题：,不定积分,练习：,定积分,导引(计算物体的位移)：,区间a,bn等分,定积分,定积分的定义：,定积分,定积分的几何意义：,定积分

5、 的几何意义就是由函数曲线 f(x)、自变量坐标轴以及积分上下限b.a所决定的曲边梯形的面积，但其面积是可取正值或负值的量。,定积分,定积分的主要性质：,定积分,定积分与不定积分的关系： 牛顿莱布尼茨公式,设F(x)为函数f(x)在区间a,b的一个原函数，即,定积分,例题：,求如图所示阴影部分的面积.,解：,二、矢量,矢量定义 矢量的加法和减法 矢量的数乘 矢量的正交分解 矢量的标积和失积 矢量的导数,矢量矢量定义,标量 仅用数值(正负)即可充分描述的量. 路程s；质量m；时间t；电量q . 矢量 具有一定大小和方向且加法遵从平行四边形法则的量。 力; 速度; 加速度; 电场强度 .,矢量的表

6、示：A, , 有方向的线段。 矢量的模：矢量的大小。 单位矢量：模等于1的矢量。 零矢量： 0， 模等于0的矢量。 方向可认为是任意的。,矢量矢量定义,矢量矢量的加法和减法,遵从平行四边形法则：,矢量矢量的数乘,矢量 与实数m的乘积仍为一矢量，记做 ， 模为,矢量矢量的正交分解,矢量分解不唯一（满足平行四边形法则的分解都可以）.如果在直角坐标系下研究，一种方便的分解是沿坐标轴进行分解.,矢量矢量的正交分解,矢量分解的应用：,矢量矢量的标积,矢量标积定义：,矢量运算法则：,矢量矢量的标积,磁通量,功,以力和位移的标积表述：,用磁感应强度与有向面积元的标积计算：,矢量标积用投影式来表示：,矢量矢量

7、的矢积,矢量矢积定义：,的方向满足右手螺旋定则（由 转向 的角度应小于 ),矢量矢量的矢积,矢量矢积运算法则：,1、 2、两非零矢量A和B平行的充要条件是 3、 4、 5、,矢量矢量的矢积,任意两矢量的矢积：,矢量矢量的矢积,任意两矢量的矢积的行列式表示：,矢量矢量的导数,变矢量：大小或方向可以发生变化的矢量,矢量函数：若对于标量变量t的每一个值都相应地存在变矢量A的一个确定的矢量，则称矢量A是标量变量t的矢量函数. 比如: 速度 、位移 .,矢量矢量的导数,注意：,矢量矢量的导数,1、 是一个矢量。,方向：沿t时刻矢端曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。,大小（模）：,矢量导数的性质：,矢量矢量的导数,2、矢量的模不改变(常模矢量) 而