线性代数1-5课件

1、1.5 行列式按行(列)展开,一、余子式与代数余子式 二、行列式按行 (列) 展开法则 三、关于代数余子式的重要性质 四、小结,一、余子式与代数余子式,例,在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行 和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式， 叫做元素 aij 的余子式，记作 Mij .,记 Aij = (1)i+j Mij， 叫做元素 aij 的 代数余子式,例,行列式的每个元素分别对应一个余子式 和一个代数余子式。,行列式的每个元素分别对应一个余子式 和一个代数余子式。,引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 (i,j) 元 aij 外都为零，那么这行列式等

2、于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij .,例,2,1 元,引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除 (i,j) 元 aij 外都为零，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即 D aij Aij .,证明思路：,1. 先证明 i = 1, j = 1 的特殊情形。,(利用 课本 p 14 例 10)。,2. 在 i,j 一般的情形，利用 i 1 次的两行互 换以及 j 1 次的两列互换，换成前述特 殊情形。,共换 i + j 2 次，与换 i + j 次效果相同。 如此可推出结论。,例,二、行列式按行 (列) 展开法则,定理 2：行列式等于它的任

3、一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain ( i = 1, 2, n ) 或 D a1j A1j + a2j A2j + anj Anj ( j = 1, 2, n ),定理 2：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain ( i = 1, 2, n ) 或 D a1j A1j + a2j A2j + anj Anj ( j = 1, 2, n ),例,定理 2：行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D ai1 Ai1

4、 + ai2 Ai2 + ain Ain ( i = 1, 2, n ),证明：,注意！,虽然定理 2 是较一般的情形，但实际应用如 果能把行列式利用 1.4 节性质 (最常用性质 6) 化成引理形式，会大大有助于简化计算。,定理 2 叫做行列式按行 (列)展开法则，利用 此法则可简化行列式计算 (降阶)。,例 7 (使用降阶法)(一般行列式计算第二招),例 7 (使用降阶法) - 续,例 12 证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式,例中例,证明思路,经过,，,，,，,；,= (x2x1) (x3x1)(xnx1),小一阶的原形式。 可用数学归纳法证明,例,用 Aij 表 D 的

5、(i, j) 元对应的代数余子式,用 Aij 表 D 的 (i, j) 元对应的代数余子式,则 A31 = A31 , A32 = A32 , A33 = A33 , A34 = A34,例,9 5 2 7,0 A14 +,第三行所有元素对应的代数余子式,推论: 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,例,三、关于代数余子式的重要性质,例,例 13 設,D 的 (i,j) 元的余子式和代数余子式依次 记作 Mij 和 Aij , 求,(1) A11+ A12 + A13 + A14,(2) M11+ M21 + M31 + M41,= A11A21+A3

6、1A41,四、小结,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具。 代数余子式有以下重要性质,1.* 克拉默法则的操作,一、克拉默法则的使用 二、小结,一、克拉默法则的使用,回顾：以下线性方程组,若其系数行列式 D 不为零，则方程组 有唯一解：,一、克拉默法则的使用,定理：如果一线性方程组满足以下两条件： (1) 未知数个数与方程个数相同； (2) 系数行列式不等于零。,其中 Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素 用方程组右端的常数列代替后所得到的 n 阶 行列式，即,那么线性方程组 (1) 有唯一解，并且解可以表为,例 用克拉默法则解方程组,解：,1. 先确定方程个数和未知数个数是否相同。,2. 接著计算系数行列式,= 27 ., 0 才可继续 使用此方法 做下去！,3. 除了系数行列式之外还要再计算四个