第二章 复变函数的积分

1、梁昆淼 编,(第四版),高等教育出版社,主讲：冯 杰,第二章 复变函数的积分,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.4 柯西公式,2.1 复变函数积分,第一篇 复变函数论,第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数积分,一、复数积分的基本概念,对复变函 数求之和,记,1、复函数积分的定义,其中,将复变函数的实部和虚部分开,2、复函数积分的性质,6条性质与实函数的积分相同P23,解,路径(1),OB上：y=0； BA上：x=1,路径(2),由此可见，对于有些被积函数，积分与路径有关！,OC上：x=0； CA上：y=1,例2：计算积分,分别沿路径(1)和(2)，如图所示。,解,路径(1),路径(2

2、),由此可见，对于有些被积函数，积分与路径无关！,OB上：y=0，BA上：x=2,2.2 柯西定理,一、单连通区域,1、单通区域柯西定理,证明：,如果函数 f ( z )在闭单连通区域 B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l（可以是边界），则有:,由C.R.条件,得：,证毕,由格林公式 （查高等数学曲线积分与曲面积分的关系）,令：,请同学们动手做这一步。,推论：单连通区域中解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。,证明：,即：解析函数 f ( z ) 的积分值与路经无关。,亦即：,所以：,即：,二、复连通区域,函数在区域上不可导，存在奇点； 将这些点挖掉所形成的带空区域；, l 为区

3、域外境界线； li为区域内境界线； 积分沿境界线正方向进行； 正方向：沿该方向前进，区域在其左边；,1、复连通区域的含义,2、复通区域柯西定理：如果 f ( z )在闭复连通区域 上是单值的解析函数，则有,证明复通区域柯西定理,证：,将复连通区域：l + l1 + l2 进行切割变成 单连通区域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC ；,对单连通区域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC； 应用单通区域柯西定理，可得：,其中,内、外境界线逆时针积分相等！,考察积分路径的方向,逆时针,顺时针,逆时针,逆时针,3、柯西定理的数学意义：,闭复连通区域上的解析函数沿境界线积分为

4、零；,闭复连通区域上的解析函数沿所有内、外境界线 正方向积分之和为零；,闭复连通区域上的解析函数沿外境界线逆时针 方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；,2.3 不定积分,1、单连通区域的不定积分,单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经 无关，令z0固定，终点 z 为变点，有单值函数：,A,B,l2,l1,且：,即，F(z) 是f (z)的原函数。,2、证明：,即,如图，有：,另一方面，有恒等式：,即：,运用极 限方法：,即，F(z) 是f(z)的原函数,两式 相减：,得：,且：,2、路积分等于原函 数F(z)的改变量,即，F(z) 是f(z) 的原函数,证明：,即：,证毕。,

5、例：计算积分：,（n 为整数）,解：n 0 被积函数解析。,（1）如果l 不包围，被积函数解析，,则有：,（2）如果l 包围，但是n 0，被积函数亦解析，,则亦有：,为什么？,为什么？,l,C,R,（3）如果 l 包围， 而且n 0 , z= 为(z- )n 奇点，函数在该点不解 析，作小圆C，则有：,则积分：,为什么？,l,C,R,例：计算积分,结论：,l 是圆周,( l不包围),( l包围),解：,有两个 奇点,因此，,因为l 1 不包围-1，所以， 在l 1 内解析,（1）首先求沿l 1 的积分。,是因为l 1 包围+1， 非解析！,最后得l 1的路径积分：,因此，,但是 ，为什么？,（

6、2）因为l 2 不包围+1， 被积函数,解析，即, l 2的路径积分得：,最后得l 的路径积分：,2.4 柯西公式,1、柯西积分公式,如果f(z) 在闭单通区域上解析，l 是闭区域的境界线， 是闭区域 内任一点，则有柯西积分公式:,2、柯西积分公式的证明,由,取小圆 C包围 ，则有恒等式：,取小圆 C ，有,有 等式,l,l,C,考察柯西积分公式,即证明 f(z) = f( ) 即可！,f (z) 在闭单通区域上连续， 0， f (z) f ( )，有,得证！,最后，柯西公式可表式为：,f (z) 在闭单通区域上连续， 0， f (z) f ( )，有,3、f (z)在l区域上有奇点，挖去 奇点形成复通区域，柯西公式,l 为所有境界线， 方向为正方向!,4、柯西积分公式的数学意义：一个解析函数f (z)在 区域B内的值由它在该区域边界上的值f()所确定：,对于复通区域，类推有:,逆时针,顺时针,5、推论求导的柯西公式P30,一个非常有用的公式：,解：,奇点为 z=0, z=i, z=-i,，在l内只有 z=i，为什么？,例2：计算：,l为圆,n 0,n =1,n 1P30式（2. 4. 7）,解：,5、数模定理 复变函数的极值定理,设函数 f (z)在某个闭区域