同济大学 高数 三重积分课件

1、,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第十章,1,学习交流PPT,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,2,学习交流PPT,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在 上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,下列“乘,积和式” 极限,( 的体积）,( 为曲面）,3,学习交流PPT,在有界闭域 上连续,关于,面,对称,

2、为对,应,的,部分，,则,关于,有,轮换对称性，,则,当,(即,时，,将,任意,互换,得到的点,也,属于 ),则,等,对称,的性质,4,学习交流PPT,例1,P182 1(1),例2,其中 为三个坐标,面及平面,所围成的闭区域 .,解:,关于,有,轮换对称性，,则,故,5,学习交流PPT,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . (“先一后二”),方法2 . (“先二后一”),方法:,方法1 . (“先一后二”),步骤：,把,往,面作投影得积分区域,假设平行于 轴且穿过区域,的边界曲面相交不多于两点.,在 内任取一点,过,作平行于 轴,的直线,交,的边界曲面,于两点,和,

3、内部的直线与闭区域,.,P,6,学习交流PPT,则,.,若,则,P,7,学习交流PPT,方法2. (“先二后一”),适用范围:,被积函数,只,变,与,一个,量,有关，,且,截面,的面积,易,计算.,或,易,计算.,若,8,学习交流PPT,当被积函数在积分域上变号时, 因为,均为为非负函数,根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.,9,学习交流PPT,其中 为三个坐标,例3. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,（法一）,10,学习交流PPT,（法二）,例3.,11,学习交流PPT,例4. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,？,12,学习交流PPT,其中,由曲面,及平面,所围成

4、的闭区域 .,例5.,13,学习交流PPT,其中,由,曲面,及平面,所围成的闭区域 .,例5.,解:,14,学习交流PPT,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,15,学习交流PPT,直角坐标与柱面坐标的关系:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,16,学习交流PPT,其中,适用范围:,圆锥面;,旋转,抛物面;,柱面,积分域,由,围成,17,学习交流PPT,利用柱坐标计算三重积分的步骤,把,往,面作投影得积分区域,在 内任取一点,，过,作平行于 轴,的直线,交,的边界曲面,于两点,和,且,

5、则,18,学习交流PPT,例6. 计算三重积分,其中 为,由,及平面,所围立体.,解:,在柱面坐标系下,法1,19,学习交流PPT,法2,用“先二后一 ”,20,学习交流PPT,其中 为,例7. 计算三重积分,所,解: 在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,21,学习交流PPT,例8. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,原式 =,22,学习交流PPT,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,23,学习交流PPT,直角坐标与球面坐标的关系,24,学习交流PPT,其中,适用范围:,积分域,球面，,

6、球面,由,圆锥面,或,和,围成；,25,学习交流PPT,利用球坐标计算三重积分的步骤,确定 的限,将积分区域,面作投影得积分区域,往,，对,按平面极坐标确定 角的变化范围,确定 的限,对固定,过 轴作一半平面，这半平面与,相交得域,，对,按平面极坐标确定 角的变化范围,中任一点 的极坐标为,是,转至,的转角.,最大变化范围,最大变化范围,轴,对固定,和,从原点出发作,26,学习交流PPT,射线,这射线从,进入区域,从,穿出区域,则,其中,27,学习交流PPT,例9. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,28,学习交流PPT,连续,且,其中,例10.,讨论,在,内,单调

7、性；,证明,当,时，,解:,29,学习交流PPT,在,内,单调递增。,故,30,学习交流PPT,证明：,令,31,学习交流PPT,当,时，,单调递增。,当,时，,故,32,学习交流PPT,作业,P164 1(2); 4; 8; 9 (2);,第四节,33,学习交流PPT,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,34,学习交流PPT,1. 将,用三次积分表示,其中 由,六个平面,所,围成 ,2. 设,计算,3. 设 由锥面,和球面,所围成 , 计算,练习,其中 由,所,围成.,计算三重积分,35,学习交流PPT,1. 将,用三次积分表示,其中 由,所,六个平面,围成 ,解：,36,学习交流PPT,2. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,37,学习交流PPT,3. 设 由锥面,和球面,所围成 , 计算,解：,利用对称性,用球坐标,38,学习交流PPT,解：,39,学习交流PPT,备用题 1. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先