第5章MATLAB符号运算与微积分实验.ppt

1、1,数学实验,Mathematical Experiments,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,华 锐 学 院 数 计 系 张 加 勇 办公室：2号楼312 办公电话：6391028 移动电话所谓符号计算是指在运算时，无须事先对变量赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。,Matlab本身并没有符号计算功能， MathWorks公司于1993年购买了著名的符号数学软件Maple的使用权，并利用Maple已有的函数库，开发了符号数学工具箱。,符号运算与数值运算的区别：,数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。,符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结

2、果以标准的 符号形式表达。,符号计算是精确计算，可以获得任意精度的解； Symbolic Math Toolbox符号运算工具包通过调用Maple软件实现符号计算的。 Maple软件主要功能是符号运算，它占据符号软件的主导地位。,符号运算的特点：,运算对象可以是没赋值的符号变量。符号计算定义在符号变量的基础上，符号表达式计算前必须定义符号变量;,Matlab的符号数学工具箱的主要功能包括：符号表达式的创建、符号矩阵的运算、符号表达式的化简、符号微积分、符号方程（主要指代数方程与常微分方程）的求解、符号函数绘图等。,符号计算的计算速度较慢；,符号计算的运算符和基本数学函数与数值计算中的运算符和基

3、本数学函数几乎完全相同。,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,5.1. 符号对象的创建,5.2. 符号表达式运算,5.3. 符号微积分,5.4. 符号方程的求解,5.6、图形化符号函数计算器,5.5、符号数学简易绘图,S=sym(s,参数) %由数值创建符号对象 S=sym(s,参数)%由字符串创建符号对象,5.1、符号对象的创建,（一） 创建符号变量和符号表达式,sym函数,参与符号运算的对象可以是符号变量、符号表达式或符号矩阵。符号变量要先定义，后引用。Matlab提供了两个建立符号变量的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。,sym函数的主要功能是创建单个符号变量，以便进行

4、符号运算，也可以用于创建符号表达式或符号矩阵。用sym函数创建符号变量的一般格式为：,当被转换的s是数值时，参数可以是d、f、e或r 四种格式，当被转换的s是字符串时，参数可以是real、unreal和positive三种格式,如: f1=ax2+bx+c 二次三项式 f2= ax2+bx+c=0 方程 f3=Dy+y2=1 微分方程,符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算,a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d);%定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建

5、立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,使用符号变（常）量进行代数运算和数值变（常）量进行的运算是不同的。,例1 考察符号变量和数值变量的差别。,syms函数,函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。Matlab 提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：,syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n,用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,建立符号表达式的方法,使用已定义的符号变量组成；syms,用

6、sym函数和引号建立。,例2 分别使用sym和syms函数创建符号表达式。 syms a b c x f1=a*x2+b*x+c f1 = a*x2+b*x+c f2=sym(y2+y+1)%创建符号表达式 f2 = y2+y+1 f3=sym(sin(z)2+cos(z)2=1)%创建符号方程 f3 = sin(z)2+cos(z)2=1,符号表达式中变量的确定,Matlab 中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：,findsym（S,n）,函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回 S 中的全部符号

7、变量。,在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，Matlab将按缺省原则确定自变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量。事实上，Matlab 按离字符x最近原则确定缺省变量,若表达式中有两个符号变量与 x 的距离相等， 则ASCII 码大者优先(字母表靠后的优先）。,常量 pi, i, j 不作为符号变量,例3 查询符号函数 f=xn g=sin(at+b) 中的系统缺省变量。,表示函数 f 中查询的 1 个系统缺省变量为 x。,syms a b n t x %定义符号变量 f=xn; %给定符号函数 g=sin(a*t+b); finds

8、ym(f,1) %在f函数中查询1个系统缺省变量 ans= x,（二） 符号矩阵的创建,符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。,用字符串直接创建符号矩阵,例4 A = a,2*b; 3*a, 0 A = a, 2*b 3*a, 0,模仿matlab数值矩阵的创建方法； 每一行都要用方括号括起来； 需保证同一列中各行元素字符串有相同的长度（较短的字符串要用空格补齐长度）。,用sym函数创建符号矩阵,命令格式：A=sym( ),符号矩阵内容同数值矩阵：矩阵元素可以是任何不带等号的符号表达式，各

9、矩阵元素之间用逗号或空格分隔，各行之间用分号分隔，各元素字符串的长度可以不相等； 需用sym函数定义； 需用 标识。,例5 A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0,注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 Matlab数值矩阵的一个重要区别。,将数值矩阵转化为符号矩阵,A=1/3,2.5;1/0.7,2/5 A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 sym(A) ans = 1/3, 5/2 10/7, 2/5,函数调用格式：sym(A),例6,A =sym(1/3,5/2;10/7,2/5) B=eval(A),将

10、符号矩阵转化为数值矩阵,函数调用格式： eval(A),A = 1/3, 5/2 10/7, 2/5 B = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000,例7,numeric(A),或,实际上，Matlab的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可以通过符号替换使表达式的输出形式简化，以得到一个简单的表达式。,符号表达式的替换,将表达式中重复出现的字符串用变量代替的函数为subexpr，其调用形式为：,此函数用变量Sigma（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，Y返回替换后的结果。,Y,Sigma=subexpr(S,Sigma),

11、例8 求解并化简 3 次方程 x3+ax+1=0 的符号解。,t=solve(x3+a*x+1=0),t = (a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3) - a/(3*(a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3) a/(6*(a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3) - (a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3)/2 - (3(1/2)*i*(a/(3*(a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3) + (a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3)/2 a/(6*(a3/27 + 1/4)(1/

12、2) - 1/2)(1/3) - (a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3)/2 + (3(1/2)*i*(a/(3*(a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3) + (a3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2)(1/3)/2,r,s=subexpr(t,s),r = s(1/3) - a/(3*s(1/3) a/(6*s(1/3) - s(1/3)/2 - (3(1/2)*i*(a/(3*s(1/3) + s(1/3)/2 a/(6*s(1/3) - s(1/3)/2 + (3(1/2)*i*(a/(3*s(1/3) + s(1/3)/2 s = (a

13、3/27 + 1/4)(1/2) - 1/2,而函数 subs 用指定符号替换符号表达式中的某一特定符号。,subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式,若 x 是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵， 则 a 应该具有与 x 相同的形状的数组或矩阵。,用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量,符号表达式的替换,subs 举例, f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f

14、,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2),ans=4,f2=2*(u+2),ans=14,ans=2*(a+2)+2),f3=2*x+2*y,ans=6,例9：指出下面各条语句的输出结果,f=2*u,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,5.1. 符号对象的创建,5.2. 符号表达式运算,5.3. 符号微积分,5.4. 符号方程的求解,5.6、图形化符号函数计算器,5.5、符号数学简易绘图,1. 算术运算 （1）“”，“”，“*”，“”，“/”，“” （2）“.*”，“./”，“.”，“.” （3）“”，“.” 2. 关系运算 只有运算符“= =”、“=”分别对符号对象进行“相等

15、”、“不等”的比较。 3. 三角函数、双曲函数和相应的反函数 三角函数包括sin、cos和tan，双曲函数包括sinh、cosh和tanh,5.2、符号表达式运算,（一）符号表达式的基本运算,4. 指数和对数函数 5. 复数函数 复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。没有提供求相角的命令。 6. 矩阵代数命令 符号运算中的矩阵代数命令有diag，triu，tril，inv，det，rank，poly，expm，eig和svd等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样,练习,例10 符号表达式的四则运算示例。,syms x y; f1=2

16、*x+x2*x-5*x+x3%符号表达式的结果为最简形式 f2=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 f3=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2， %而是(x+y)*(x-y),f1 = -3*x+2*x3 f2 = 2/5 f3 = (x+y)*(x-y),syms x f=2*x2+3*x-5; g= x2+x-7; h=f+g,syms x f=cos(x);g=sin(2*x); f/g+f*g,(1） f= 2*x2+3*x-5; g= x2+x-7;,例11,（2）f=cos(x);g= sin(2*x);,h = 3*x2+4*x-12,ans =

17、 sin(2*x)*cos(x) + cos(x)/sin(2*x),例12 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。,syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,A = 1, 1, 1 a, b, c a2, b2, c2 ans = b*c2-c*b2-a*c2+a*b2+a2*c-a2*b,该函数将符号表达式s转换为分子和分母都是整系数的最佳多项式，并分别存放在n与d中。,（二）符号表达式的分式通分,如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函

18、数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：,n,d=numden(s),例13 对表达式 进行通分。,syms x y f=x/y+y/x; n,d=numden(f),n = x2+y2 d = y*x,factor(S)对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵; pretty(S)将符号表达式S按照类似书写习惯的方式显示; expand(S)对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵; collect(S)对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵; collect(S,v)对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,（三）符号表达式的因式分解、展开与合并,Matlab 提供了符

19、号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：,例14 将表达式(x9-1)分解为多个因式。,syms x factor(x9-1),ans = (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1),factor 也可用于正整数的分解, s=factor(100),factor(sym(12345678901234567890),syms x f=(x+1)5; expand(f),syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-a*b4*x3+10*a*b6*x4, 3*x*y-5*x2;4,a3-b3; factor(A) %对A的每个元素分解因式 pretty(A),例15 对符号

20、矩阵A的每个元素分解因式。,例16 展开表达式f=(x+1)5,ans = a*b3*x2*(10*b3*x2-b*x+2*a), -x*(-3*y+5*x) 4, (a-b)*(a2+a*b+b2) 2 3 2 4 3 6 4 2 2 a b x - a b x + 10 a b x 3 y x - 5 x 3 3 4 a - b ,ans= x5+5*x4+10*x3+10*x2+5*x+1,syms x t; f=x*(x*(x-6)+12)*t; collect(f) collect(f,t),例17 对于表达式 f=x(x(x-6)+12)t，分别将自变量x和t的同类项合并。,ans

21、 = t*x3-6*t*x2+12*t*x ans = x*(x*(x-6)+12)*t,（四）符号表达式的化简,Matlab提供的对符号表达式化简的函数有：,syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; r,how=simple(s) %Matlab自动调用多 种函数对s进行化简，并显示每步结果。,simple(s)： 调用Matlab 的其他函数对表达式进行综合化简，以寻求s的最简形式，并显示化简过程。调用格式为：,simplify(s)：应用函数规则对s进行化简;,r,how=simple(s),返回s的最简化形式，r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，包

22、括simplify, radsimp, combine, collect, factor, convert, expand等。,例18 化简,r = 2*x4+2*y4 how = simplify,（五）符号表达式嵌套形式重写,将符号多项式s用嵌套形式表示，即用多层括号的形式表示。Horner函数可以实现此功能。该函数的调用格式为：,syms x horner(x3-6*x2+11*x-6),horner(s),例19 将表达式x3-6*x2+11*x-6用嵌套形式表示。,ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x,（六）任意精度的数学运算,在symbolic中有三种不同的算术运算：

23、数值类型matlab的浮点算术运算； 有理数类型maple的精确符号运算； vpa类型maple的任意精度算术运算。,浮点算术运算 1/2+1/3 (定义输出格式format long) ans = 0.83333333333333 符号运算 sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 精确解 任意精度算术运算 digits(n) 设置可变精度，缺省16位 vpa(x,n) 显示可变精度计算,digits(6) vpa(1/2+1/3),vpa(5/6,4) ans = 0.8333 a=sym(1/4,exp(1);log(3),3/7) a = 1/4,exp(1) log(3),

24、3/7 vpa(a,10) ans = .2500000000, 2.718281828 1.098612289, .4285714286,例20,ans = 0.833333,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,5.1. 符号对象的创建,5.2. 符号表达式运算,5.3. 符号微积分,5.4. 符号方程的求解,5.6、图形化符号函数计算器,5.5、符号数学简易绘图,5.3、符号微积分,（一）符号极限,limit(f,x,a,left)： 求符号函数f在x=a处的左极限。,limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，函数f(x) 的极限值；,li

25、mit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量,则使用该格式时,符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量,既变量x趋近于a;,limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况；,limit(f,x,a,right)：求符号函数f在x=a处的右极限；,函数 limit 用于求符号函数 f 的极限。系统可以根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值的极限值。,例21 求极限。 syms t; f1=exp(-t)*s

26、in(t);f2=1/t;a1=limit(f1,t,inf),a2=limit(f2) a3=limit(f2,t,0,left), a4=limit(f2,t,0,right), ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2 syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); li

27、mit(f,x,2,right) ans = -1/2,（二）符号导数,diff函数用于对符号表达式求导数。其一般调用格式为：,diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。,diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。,diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。,diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,例22 求导数：,x = sym(x); diff(sin(x2),ans = 2*cos(x2)*x,例23 求函数的导数。,f=sym(s

28、qrt(1+exp(x) tx; exp(x) x+y) diff(f) %未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理,f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求f对x的三阶导数,ans = exp(x)/(2*(exp(x) + 1)(1/2), tx*log(t) exp(x), 1,ans = -2*sin(x)-x*cos(x) ans = -3*cos(x)+x*sin(x),syms a b t x y z f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %按参数方程求导公式求y对x的导数 (d

29、iff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求y对x的二阶导数,f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %z求f对x的偏导数 diff(f,y) %z求f对y的偏导数,f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %按隐函数求导公式求z对y的偏导数,ans = -b*cos(t)/a/sin(t) ans = -(a*sin(t)2*b+a*cos(t)2*b)/a3/sin(t)3,ans = exp(y)/y

30、2 ans = x*exp(y)/y2-2*x*exp(y)/y3,zx = -x/z zy = -y/z,（三）符号积分,int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,符号积分由函数 int 来实现。该函数的一般调用格式为：,int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时,系统按finds

31、ym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分,int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。,例24 求不定积分。,x=sym(x); f=(3-x)3; jf=int(f) %求不定积分 diff(jf) f=sqrt(x2+1); int(f) %求不定积分,jf =-(x - 3)4/4 ans =-(x - 3)3 ans = (x/2 + 1/4)*(x2 + x)(1/2) - log(x + (x*(x + 1)(1/2) + 1/2)/8,x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分 f=1/(1+x2)

32、; int(f,-inf,inf) %求定积分 int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分 f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分 double(I) %将上述符号结果转换为数值,例25 求定积分。,ans = 1/2 ans = pi ans = 2*t*(sin(t)2-4) I = 97893129180187301565519001875382615/1192978373971185320372138406360121344 ans = 0.0821,例26 计算二重不定积分,syms x y F=int(int(x*exp(-x*

33、y),x),y),F = 1/y*exp(-x*y),例27 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量,syms x; f=6+0.3*x; m=int(f,0,10),m=quad(fx,0,10,1e-6),(1)符号函数积分。,(2)数值积分。,先建立一个函数文件 fx.m：,function fx=fx(x) fx=6+0.3*x;,m = 75,再在MATLAB命令窗口，输入命令：,m = 75,（四）级数的符号求和,求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：,symsum(s,v,n,m)

34、,其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %未指定求和变量,缺省为n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %此处的求和变量n不能省 s4=symsum(n2,1,100) %计算有限级数的和,例28 求级数之和。,s1 = 1/6*pi2 s2 = log(2) s3 = 3*t/(3*t-1)2 s4 = 338350,（五）函数的泰勒展开,Matlab中提供了将函数展开为幂级数的函

35、数taylor，其调用格式为：,该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,taylor(f,v,n,a),例29 求函数在指定点的泰勒展开式。,ans = 1+2*x+2*x2-2*x4 ans = 1/6*x2+x3+119/72*x4+239/72*x5,x=sym(x); f1=(1+x+x2)/(1-x+x2); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %展开到x的4次幂时应选择n=5

36、taylor(f2,6),x=sym(x); p=1+3*x+5*x2-2*x3; f=taylor(p,x,-1,4),例30 将多项式表示成x+1的幂的多项式。,f = -8-13*x+11*(1+x)2-2*(1+x)3,quad(fun,a,b,tol,trace)%辛普森法算积分 trapz(x,y) %梯形法算积分x时表示积分区间的离散化向量，y是与x同维数的向量，表示被积函数，z返回积分值 sum %等宽矩形法算积分 fblquad(fun,a,b,c,d) %矩形区域二重数值积分,（六）数值积分,一元函数的数值积分，采用自适应的Simpson方法。 q =quad(fun,a,

37、b,tol,trace) 例：计算定积分,法二 ：fhnd=(x)(exp(-x.2); q2=quad(fhnd,-1,1),法一： function f=fun(x) f=exp(-x.2); end q1=quad(fun,-1,1),法三：f=inline(exp(-x.2); q3=quad(f,-1,1),例 求定积分 。 程序如下： a=0;b=3*pi;n=1000; h=(b-a)/n; x=a:h:b; f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); for i=1:n s(i)= (f(i)+f(i+1)*h/2; end s=sum(s),目录,事实上，MATL

38、AB提供了有关数值积分的标准函数，实际应用中可直接调用这些函数求数值积分。,s = 754/837,例31 计算数值积分,先用梯形积分法命令trapz计算 clear; x=-2:0.1:2; y=x.4;trapz(x,y) %积分步长为0.1 结果为ans = 12.8533,用符号积分法命令int计算 clear; syms x;int(x4,x,-2,2) 结果为ans =64/5,如果取积分步长为0.01, MATLAB代码为： clear; x=-2:0.01:2; y=x.4;trapz(x,y) %积分步长为0.01 结果为ans =12.8005,用quad计算 fhnd=(

39、x)(x.4);q2=quad(fhnd,-2,2) 结果为q2 =12.8000,例32计算 的近似值,法一：用被积函数在x=0处的泰勒展开式的部分项 作为被积函数的近似表达式,syms x f=exp(-x2); int(f) ff=taylor(f,x,5) int(ff,0,1) j5=double(ans) j5 =0.766666666666667,j10 =0.747486772486773,j20 =0.746824120701185,j30=0.746824132812450,function jf=qjs(n) syms x f=exp(-x2); int(f); ff=t

40、aylor(f,x,n); jf=double(int(ff,0,1); end,法二：,function jf=nhjs(n) x=0:1/n:1; y=exp(-x.2); f1=polyfit(x,y,n); fa=polyint(f1); jf=polyval(fa,1)； end,nhjs(20),nhjs(30),ans =0.746824132821579,ans =0.746824132812396,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,5.1. 符号对象的创建,5.2. 符号表达式运算,5.3. 符号微积分,5.4. 符号方程的求解,5.6、图形化符号函数计算器,5.5

41、、符号数学简易绘图,5.4、符号方程的求解,（一）符号代数方程（组）的求解,在Matlab中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：,solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1,v2,vn。,solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程,求解变量为v,solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。,当方程组不存在符号解时，又无其他自由参数，则给出数值解。,例33 求线性方程组AX=b的解。,此外，Matlab中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用

42、格式为：,linsolve(A,b),方程组符号求解的命令如下： syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3; A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33; b=b1;b2;b3; X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求解 XX=Ab %用左除运算求解,方程组数值求解的命令如下： A=34,8,4;3,34,3;3,6,8; b=4;6;2; X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求解 Ab %用另一种方法求解,X = 0.0675 0.1614 0.1037 an

43、s = 0.0675 0.1614 0.1037,x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1); x=solve(f) x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %仅标出方程的左端,例34 求非线性方程的解。,x = 1 x = 3 x = (5*pi)/36 (13*pi)/36 x = 1.6335061701558463841931651789789,一般格式,ans = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-

44、b-(b2-4*a*c)(1/2),计算机 格式,例35 求f = ax2+bx+c 的解。,f=a*x2+b*x+c; solve(f),例36 求方程组的解。,x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y),x = 1 1/3 y = 1/3 1,u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v) x y=solve(x2+y2-5,2*x2-3*x*y-2*y2),u = -3 5 v = 5 -3,x = -1 1 2 -2 y = 2 -2 1 -1,例37 解方程组 x+y+z=1 x-y+z=2 2x-y-z=1,f=solve(x+y+z=1

45、,x-y+z=2,2*x-y-z=1),x,y,z=solve(x+y+z=1,x-y+z=2,2*x-y-z=1),g1=x+y+z=1; g2=x-y+z=2; g3=2*x-y-z=1; f=solve(g1,g2,g3),f = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym,f = x: 1x1 sym y: 1x1 sym z: 1x1 sym,x= 2/3 y= -1/2 z = 5/6,（二）符号常微分方程的求解,dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN),Matlab的符号运算工具箱中提供了功

46、能强大的求解常微分方程（组）的函数dsolve。该函数的调用格式为：,dsolve(eqn1,condition,var),该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理。若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。,函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,在Matlab中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5

47、=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。,y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %方程的右端为0时可以不写 y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x),例38 求微分方程的通解。,y = x*(-2+log(x)+C1)/(log(x)+C1) y = (exp(x)+C1)/x2 y = (-2*(1-x2)(1/2)+C1)(1/2) -(-2*(1-x2)(1/2)+C1)(1/2),y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)

48、=1,x),例39 求微分方程的特解。,y = -1/(-1+x2) y = (x3/2 - 2)2 + 1)(1/2) + x3/2 - 2)(1/3) - 1/(x3/2 - 2)2 + 1)(1/2) + x3/2 - 2)(1/3),x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t),例40 求微分方程组的解。,x = C1+C2*exp(3*t) y = 1/2*C2*exp(3*t)+2*C1 x = -C1*exp(1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)-C2*exp(-1/2*2(1/2

49、)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)+C3*exp(1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)+C4*exp(-1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t) y = -C1*exp(1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)+C2*exp(-1/2*2(1/2)*t)*cos(1/2*2(1/2)*t)-C3*exp(1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t)+C4*exp(-1/2*2(1/2)*t)*sin(1/2*2(1/2)*t),x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x,x(0)=0,y(0)=1

50、) dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0),x = sin(t) y = cos(t) ans = cos(a*t),y=dsolve(D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0) ans = exp(-t)*cos(t)+exp(-t)*sin(t) ezplot(y) %方程解y(t)的时间曲线图,例41 求下述方程的解,例42 求解两点边值问题：,y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x),ezplot(y,-1,6) hold on plot(1,5,0,0,.r,MarkerSize,20) text

51、(1,1,y(1)=0) text(4,1,y(5)=0) title(x*D2y-3*Dy=x2, y(1)=0,y(5)=0) hold off,（1）求解边值问题,y = 31/468*x4-1/3*x3+125/468,（2）观察“解”的图形,两点边值问题的解曲线,对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数. 步骤2.求解方程组 ,得到驻点. 步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数 步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式 ,如果 ,则该驻点是极值点,当 为极小值, 为极大值;如果 ,需进一步判断此驻点是否为极值点; 如果 则该驻点

52、不是极值点.,例43 求函数 的极值点和极值.,首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 clear; syms x y; z=x4-8*x*y+2*y2-3; diff(z,x) diff(z,y) 结果为 ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y,再求解各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令，求解方程的MATLAB代码为： clear; x,y=solve(4*x3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y) 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).,下面再求判别式中的二阶偏导数： clear; syms x y; z=x4-8*x*y+

53、2*y2-3; A=diff(z,x,2) B=diff(diff(z,x),y) C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x2 B =-8 C =4,由判别法可知P(-2,-4) 和R(2,4)都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上， P(-2,-4) 和R(2,4)是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3; mesh(X,Y,Z) xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) 结果如图1,图

54、1,可见在图1中不容易观测极值点,这是因为z的取值范围为-500,100,是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. contour(X,Y,Z, 600) xlabel(x),ylabel(y) 结果如图2,图2,由图2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点P(-2,-4) 和R(2,4).根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而Q(0,0)点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点.,syms x d1=diff(exp(1/2*x)*sin(2*

55、x) d2=diff(d1) x=2:0.1:3*pi; y1=exp(x/2).*sin(2*x); y2=1/2*exp(1/2*x).*sin(2*x)+2*exp(1/2*x).*cos(2*x); y3=-15/4*exp(1/2*x).*sin(2*x)+2*exp(1/2*x).*cos(2*x); y4=zeros(1,length(x); plot(x,y1,b,x,y2,g,x,y3,r,x,y4) gtext(y=f(2)(x);y=f(1)(x);y=f(x),例44已知函数 （1）求出该函数的一阶导函数，二阶导函数，并画出它们相应的曲线； （2）观察函数的单调区间，凹

56、凸区间，极值点和拐点,第5章 MATLAB符号运算 与微积分实验,5.1. 符号对象的创建,5.2. 符号表达式运算,5.3. 符号微积分,5.4. 符号方程的求解,5.6、图形化符号函数计算器,5.5、符号数学简易绘图,5.5、符号数学的简易绘图,利用计算获得的符号表达式直接绘图；,据获得的符号表达式或符号数值结果，进而转换得到数值数据，再利用Matlab的数值绘图指令绘制所需的图形,符号计算结果的可视化有两种方法：,Matlab中有一组专门实现函数可视化的指令，它们的名称特点是：名称前两个字符都是“ez ”。,简捷作图指令汇总表,（一）二维绘图函数,ezplot(f)：绘制表达式f（x）的

57、二维图形，轴坐标的近似范围为-2, 2；,ezplot(f,xmin,xmax)：绘制表达式f（x）的二维图形，轴坐标的近似范围为xmin, xmax；,ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)：在指定x和y范围内，绘制y=f(x)描写的平面曲线。,(1) 对于函数f = f(x)，ezplot函数的调用格式为：,ezplot(f)：在默认区间-2x2和-2y2绘制f(x,y) = 0的图形；,ezplot(f,xmin,xmax)：绘制f(x,y) = 0的二维图形，轴坐标的近似范围为xmin, xmax；,ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)：在指定

58、x和y范围内，绘制f(x,y) = 0的图形。,(2) 对于隐函数f = f(x,y)，ezplot函数的调用格式为：,ezplot(x,y):在默认区间0t2绘制x=x(t)和y=y(t)的图形,ezplot(x,y,txmin,txmax)：在区间tmin t tmax绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。,(3) 对于参数方程x = x(t)和y = y(t)，ezplot函数的调用格式为:,(4) 极坐标系绘图，ezpolar函数的调用格式为：,ezpolar(f ,a,b) ：绘制极坐标曲线 rho=f(theta)，范围为a，b。 a，b缺省时范围为0，2。,例45 绘制 和它的积分 在 间的图形。,syms t tao y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t); s=subs(