第7章 矩量法

1、第 7 章 矩 量 法,本章基于加权余量法的数学基础，阐明了矩量法的由来，并逐一讨论了常用的点匹配、伽辽金和最小二乘法等各种计算模式。限于矩量法基本概念与应用的考虑，本方法以静态电场为分析研究对象，采用点匹配法计算模式，结合典型示例给出了方法实际应用全过程的阐述。此外，专题讨论了伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。,7.1 概述,矩量法（The Method of Moments，简称MOM），是近年来在天线、微波技术和电磁波散射等方面广泛应用的一种方法。从这些实际工程问题涉及开域、激励场源分布形态较为复杂等特征出发，矩量法是将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题，借助于计

2、算机，求得其数值解，从而在所得激励源分布的数值解基础上，即可算出辐射场的分布及其波阻抗等特性参数。,矩量法的数学处理过程可以采用加权余量法或定义泛函内积等方法展开R。F. Harrington对用矩量法求解电磁场问题作了全面和深入的分析，其经典著作已于1968年出版1 。为从数学意义上，既能理解通常矩量法构造的数学基础，又能把握其他数值计算方法与之相关的内在联系，本书采用加权余量法的概念来说明矩量法。加权余量法（The Method of Weighted Residuals）的概念首先由S.H.Crandall2在1956年提出。他将由积分、微分方程离散化为矩阵方程（代数方程组）的方法，统一

3、归结为加权余量法，由此构成各种近似计算方法统一的数学基础，并已在力学问题中得到广泛应用。,本章着意于矩量法基本概念与应用的阐述，因此将仅限于讨论方法在静态电场中由点匹配法构造的计算模式，关于在天线辐射场、导体涡流场和散射场等时谐场中矩量法的应用，读者可参阅参考文献3、4。,7.2 矩量法的数学基础 加权余量法,设给定边值问题的场方程（微分方程或积分方程）统一表述为如下的算子方程，即,已知边界条件为,和,式中，L (为线性算子就微分方程而言，如对应于静电场的泊松方程，若给定激励源项g = -/0，则应有L = 2；就积分方程而言，如对应于静电场中带电导线l上的线电荷密度（r）分布问题，则若给定激

4、励源项g = ，即给定该导线的电位，便应有 为已知函数；u为待求函数。很明显，若u为精确解，则场方程（7-1a）和边界条件（7-1b）、（7-1c）应该完全满足，但是如果现在构造一个由有限个线性无关函数Ni（i=1，2，n）所组成的基函数集合N，并令其满足总体边界条件（7-1b）、（7-1c），借以展开得待求函数u的近似解为,则因近似解 近似满足场方程，故把上式代入式（7-1a）必有误差存在，或称之为有余量，记作 ，即,这里，如果选用不同的函数构造方法，使余量 在某种平均意义上取零值，便可相应获得不同的求解方法。作为一般性的讨论，应令余量加权求积后取零值，换句话说，取一个归属于试探函数的权函数

5、集合W，令,上式系由n个方程构成的方程组，它等价于人为地强制近似解 ，使其因不能精确地满足场方程而导致的误差在平均的含义上等于零。按式（7-4）展开，所构成的各种求解积分或微分方程近似解的方法可被统称为加权余量法。因为按给定权函数Wj展开的式（7-4），即意味着余量 对Wj取矩的一组平衡式，故式（7-4）的构造亦就被称为矩量法。由此可见，矩量法和加权余量法属于同一数学描述，在本章中，往后将一概采用矩量法的称谓。,基于加权余量式（7-4），进行移项处理，便得,将式（7-2）代入上式左端，注意到其中ui不是空间坐标的函数，且L为线性算子，所以有,为了书写方便，令,和,即记作内积，的表达方式。这样，

6、按式（7-6），式（7-5）便可简写成,这样，即展开成含n个未知数ui的n个方程。若用矩阵形式表示，则有,式中，系数矩阵为,其元素lji=Wj，L（Ni）；以及两列向量分别为,其中右端项列向量g的元素gj=Wj，g。,至此，通过矩量法已将算子方程（7-1）转化为如式（7-7）或（7-8）所示的代数方程组。从而，在基函数N构造的基础上，进一步选定权函数W，就可计算出l和g中的各个元素，并由此解出待求函数u的离散解ui（i=1，2，n）。显然，原则上，只要增加所构造的基函数的项数n，将保证近似解 收敛于精确解n。,7.2.1 基函数N的构造,前已指出，待求函数u的近似解 可以通过构造彼此线性无关的

7、基函数集合N，由式（7-2）所示的级数展开式来逼近。显然，近似解的收敛性、稳定性和所需的计算量等均和所取的基函数有关。取决于不同的具体问题的特征，可以选取不同类型的基函数。总体说来，基函数可以区分为如下整域基和分域基两大类：,（1）整域基：系指在算子L的定义域内，即待求函数u的定义域内都有定义的基函数，通常应用的有：,1）傅里叶级数k（x）=cosk；sink。由此待求函数 可表示为,2）马克劳林级数xk。相应的待求函数 可表示为,3）勒让特多项式Pk（x）。相应的待求函数 可表示为,式中，勒让特多项式,（2）分域基：系指在待求函数u的定义域中相应子域内才有定义的基函数，通常应用的有：,1）一

8、维阶梯状插值脉冲函数i（x）。如图7-1a所示，在函数u（x）的各个子区间（xi-1/2，xi+1/2）内分别取中值为基准插值。这样，整体综合即在全域构成阶梯状的插值形态，其对应的分域基函数集合为,函数图形如图7-1b所示，通常称之为脉冲函数。由此待求函数 可展开为,2）一维分段线性插值 三角形函数Ti（x）。如图7-2a所示，在函数u（x）的各个子区间内分别以通过相应样点的线性关系来逼近原函数的连续变化，即整体综合成全域的折线状分段连续逼近形态。这时，根据相邻两样点之间的函数线性变化关系，即近似函数,可以推得对应的分域基函数集合为,函数图形如图7-2b所示，通常称之为三角形函数。这样，待求函

9、数 可展开为,按上式，由三角形函数为基函数所构成的待求函数u（x）的分段连续逼近形态，如图7-2c所示。,3）三角元剖分线性插值。对应于在平面域D内定义的待求函数u（x，y）的逼近，在第5章中，已经给出了常用的由三角元分片拼合、整体插值函数构造呈宝石般表面形态的近似方法。这时，所采用的基函数即是三节点三角元的形状函数 和 式（5-35）。于是，三角元中任意点的待求函数可展开成,十分明显，上述分域基都具有“局部化”的特点，即其只在一个局部范围内不为零，其余全为零。这样，离散的节点值的变化将只直接影响到与其相衔接的子域，从而保证了当节点数n递增时插值过程的数值稳定性。应指出，若采用三阶以上的高阶插

10、值函数，则由于它不具有局部化特点，因此，不仅计算不很方便，而且数值稳定性也较差，故不宜应用。,一般地说，分域基的数值稳定性较高，而整域基的收敛性较好。当所选用的基函数和实际解答愈接近时，收敛愈快，所以基函数的选择应结合场的定性分析。,7.2.2 权函数W的选取,在加权余量式（7-4）中，很明显，不同类型的权函数的选择，将决定算子方程的余量式（7-3）在不同的意义下取零值，从而可得各种不同计算模式的矩量法，现择要分别讨论如下：,（1）点匹配法,若选取狄拉克函数为权函数，即令,式中，狄拉克函数定义为,该函数的重要特性是：对于任一在r =rj处连续的函数f（r），应有,因而可知矩量法方程（7-8）中

11、相应矩阵元素的计算结果为,和,由此表明lji和gj的计算归结为只需计算 所在点处的对应值，因此称这种方法为点匹配法。位矢 所对应的点即称为离散点（也称为匹配点）。根据场的惟一性定理，应将这些离散点 选取在相应的定解条件所在的位置上，如选取在给定电位值的电极表面上；或选取在不同媒质的分界面上，令其满足相应的边界条件。,本章主题即在于运用这类计算模式的矩量法，对此将在下一节中详细展开阐述。,（2）伽辽金法,若权函数选为基函数，即令,则构成伽辽金计算模式。设满足边界条件的近似函数 由式（7-2）给定，则基于加权余量式（7-4），按式（7-6）的推演，即可得出如下伽辽金法所对应的方程组,由此可求出各个

12、待定系数ui，代入式（7-2）便得待求函数u的近似解 。诚如第5章中已经指出，基于伽辽金计算模式离散化，在有限单元分析基础上总体合成的伽辽金有限元法，已不再局限于传统的有限元法源于泛函极值问题的导出基础。本章将在7.4节中专门阐述伽辽金有限元法。,（3）最小二乘法,若权函数选为余量本身，即令,则就构成最小二乘法的计算模式。最小二乘法在函数的逼近，最优化问题等方面都有着广泛的应用。最小二乘法是通过定义目标函数F为余量平方和，求取极小值的一种方法，即有,现将余量 及 代入上式，则F便成为待定系数uj的多元函数。这样，由式（7-27）给出的目标函数F的极值问题即归结为一个多元函数的极值问题，其必要条

13、件是,由于uj不是空间坐标的函数，故上式可展成,换句话说，最小二乘法的离散化计算模式可归结为以下的代数方程组：,对照加权余量式（7-4），显然，这相当于对权函数采取如式（7-26）给出的定义，因而此处矩量法的计算模式即与最小二乘法等价。,在实际应用中，当然还可有其他权函数选择的方法，例如在将场域剖分成许多子域的条件下，若在相应子域内定义权函数为常数1，就可构成子域匹配法等等。,综上所述，在矩量法中，不仅待求函数可用不同的基函数展开，而且相应的权函数也可有不同的选择。很明显，基函数和权函数的不同配合对待求物理场问题所需的计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不同的影响。就算子方程为积分

14、方程而言，虽然分域基的数值稳定性较高，而且计算工作量也较少，但其光滑性较差，对某些积分方程并不适用。例如，若在积分方程中存在有对待求函数的微分运算，则显然不能选用脉冲函数作为基函数，但在描述静电场问题的积分方程中，却没有微分运算，因而对基函数的选择就没有这一限制。,对于静电场问题，在采用分域基的场合下，因选取脉冲函数为基函数，计算过程比较简单；此外，在权函数选择的多种方案中，又以点匹配法最为简捷，故由此构成的矩量法在静电场问题的求解中得到了有效的应用。,7.3 点匹配法与典型算例,本节讨论应用于静电场（均匀介质）问题中的矩量法。如前所述，本方法采用点匹配的计算模式，并分别选用全域基和分域基（脉

15、冲函数）展开阐述。,例7-1 一维静电场分布。,设一平行板电容器如图7-3所示，两极板接地，板间体电荷密度 =0（1+2x），板间距为一个单位长度。若忽略其边缘效应，试求此理想化的一维静电场问题的场分布。,解 设以电位函数为待求量，据题意，本例的数学模型为,显然，这是一个简单的边值问题，其解析解为,现应用矩量法讨论此边值问题的解答。为了求得幂级数形式的解，这里选用的全域基为,显然，由上式给出的基函数集合满足给定的边界条件，按式（7-2），待求函数的近似解,为得到点匹配解，在区间0 x1中，设定等间距的匹配点，它们的坐标为,这样，在给定权函数为狄拉克函数，即,的情况下，按式（7-22）和式（7-

16、23）即可分别算得点匹配计算模式（7-8）中相应的矩阵元素为,和,为了考察解答的收敛性，现研究当n增加时的逐次逼近程度。首先，取一级近似n=1，此时，l11=-2，g=-2，由式（7-8），得1=1，按式（7-34）可知电位函数的一级近似解为 ；当n=2时，点匹配方程是,由上式可求得1=1/2，2=1/3。同样，按式（7-34）可得二级近似解为 ，其结果全同于解析解式（7-32）。当n=3时，可再次得到解析解，对于n3也是如此。由此表明，对于本问题由Ni的有限项（i=2）组合就能精确地表示其解答。,对于一般性的积分方程型边值问题，点匹配法通常采用的基函数为脉冲函数，此时，以静电场问题为求解对象

17、，由其积分方程型的数学模型,可归纳方法的具体步骤如下：,1）离散化带电体的表面，设剖分为n个子块 ，且令每一子块中的电荷密度i分别为相应的常量。这样，导体表面待求的电荷密度函数（r）可基于脉冲函数i（r）近似表达为,2）在给定边界条件（rb）的导体表面上设定n个匹配点Mj（j=1，2，n）；,3）计算带电体表面上各子块对应的元电荷 在各匹配点Mj上产生的电位，并分别叠加，从而，由各匹配点Mj上的电位必须等于给定电位值（rb），即建立对应于式（7-40）的离散积分方程；,4）按点匹配法计算模式建立方程（7-8），由相应的代数解法，解之即得待定系数i；,5）由求出的i，按式（7-41），即得待求电

18、荷密度（r）的数值解，并可继续由式（7-40），在已知场源分布的前提下，求得场中任意点的电位，乃至场强、电容参数等。,例7-2 带电导体棒的电场分布。,设一半径为a，长度为L的细长带电导体棒如图7-4所示，其上给定电位0，求此带电导体棒的电场。,解 本问题具有轴对称特征，且进一步根据带电导体棒La的几何特征，当可合理地把待求的导体表面上电荷密度（r）的分布，等价地看作寻求沿导体轴线线电荷密度（z）的分布。这样，本问题积分方程型的数学模型是,沿z轴等间距分割导体为n段，得各离散场源点的坐标为,于是，该导体棒待求的线电荷密度（z）的近似表达式为,对应于各离散场源点的同一 坐标，在导体棒表面上选定各

19、相应的匹配点Mj（j=1，2，n）。这样，便可建立对应于式（7-42）的离散积分方程为,按点匹配法计算模式，根据矩量法方程（7-8），基于上式即得,记作矩阵表达形式,式中，电位系数矩阵的元素由式（7-24）可写为,当ji 时，容易看出,当j=i时，为保证较高的计算精度，应从比较精致的计算模型着手分析。为此，取出第i个单元的分割段l，如图7-5所示。这样，问题转化为呈圆柱形面分布电荷i对该单元段中心 处产生的电位问题。设单元段的表面积为S，则对应场源的等价关系是：iS=il，由此可知，i=2ai。,由图7-5所示的坐标系和几何关系，不难导得，该单元段的面电荷i与中心Mj处的电位i，两者间应满足以

20、下关系式：,因题设La，且l2a，故近似有l/（2a）1。于是，上式可近似表达为,所以，可得,显然，由式（7-23），右端列向量元素为,由此可展开方程（7-47）得,解之即可求得待定系数，然后代入式（7-44），便可得出沿导体棒的线电荷密度的近似分布 。本问题计算程序的编写比较简单，代数方程组求解的子程序也已列于第2章，故在此不再展开。图7-6示出当设定具体参数为a=10-3m，L=1m，0=1（相对值），以及分割段数n=20时， 的分布图形。,在已知的基础上，基于第三章所述的数值积分法，就可以算出任意场点P（，z）处的电位和场强为,和,例7-3 矩形带电导板的电场分布。,设一矩形带电导板（长

21、边为2a，宽为2b）如图7-7所示，其厚度忽略不计。现给定导板电位为0，求空间电场分布。,解 建立如图7-7所示的坐标系统。为求空间电场分布，应用点匹配法，首先离散化导板为n个子块Si=2c2d（i=1，2，n），且令每个子块上的面电荷密度为i，则导板表面的待求电荷密度函数按式（7-41）可表示成,在二维情况下，上式中,对应于式（7-40），现与定解条件相联系的积分方程为,式中，（x，y）是导板上任一点的坐标。,取各子块面积的中心为匹配点（即狄拉克函数的定义点），则按点匹配法计算模式，便得,即,亦即,式中，系数矩阵 P 的元素为,它表征了子块Si上的电荷对匹配点 上电位的贡献。当ji时，为了计

22、算方便又不致于引起很大的误差，可以假设子块上的电荷效应集中体现于该面积Si的中点，因此有,当j=i 时，应另作处理，否则上述公式的计算将出现奇点。这时，计算模型中子块上的电荷必须按面电荷分布处置，并采用“等效面积”处理方法，即用一面积与子块面积相等的半径为R的小圆盘取代该矩形子块。这样，设圆盘上分布有面密度为i的电荷，它在圆盘中心处产生的电位应为,由此可得,而同样由式（7-23），右端列向量元素gj即是式（7-52）。类同于式（7-53），本问题的系数矩阵P亦是对称的满矩阵，宜用列主元或全主元消去法解之。往后求场中任意点的电位或场强的方法和过程同于前例。,7.4 伽辽金有限元法,现按伽辽金准则来建立电磁场有限元方程，以论证基于加权余量法的伽辽金有限元法与基于变分原理的有限元法之间的等价性。,设给定二维非线性泊松场问题，其数学模型表述为,当场域D剖分为e0个单元后，将待求函数的插值函数 代入泛定方程（7-64a），则由7.2节讨论可知，在剖分单元e上对应于伽辽金准则的加权余量式（7-4），应表示为,在单元e的定义域D