第十章薄板弯曲.ppt

1、圆形薄板轴对称弯曲问题,主要内容：,一、有关概念及假定,四、Mathcad解题应用,三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解,二、弹性曲面的基本公式,一、基本概念及假设,1、基本概念 中面 平分板厚度t的平面简称为中面。,薄板 板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。,2、假设 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的。 （1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。即,也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。,由几何方程可得,与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。,（2）、应力分量 和 远小于其余

2、三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：,这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。,结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。,由于不计 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。,（3）、薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：,也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。,所以由几何方程可以得出：,二、弹性曲面的基本公式,1、弹性曲面的微分方程。 薄板的

3、小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度。因此把其它所有物理量都用来表示，即可得弹性曲面的微分方程。,其中,由假设 可得 即,积分得,下面对弹性曲面的微分方程进行推导。,根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：,可得,由几何方程可得,由物理方程可得,另由平衡方程可得,即,积分得,x,y),根据薄板上下面内的边界条件：,可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：,另由平衡方程可得,根据薄板下面内的边界条件：,可求得F3(x,y), 最后得到：,根据薄板上面内的边界条件：,代入,截面上的内力：弯矩,可得,同样可得,My,Mx,由,由,可得,截面上的内力：扭矩,可得,由

4、,截面上的内力：剪力,同样可得Qy,记,可得,如果用截面内力表示截面上的应力，可得,截面上的最大应力，正应力发生在板的上下面上，切应力发生在板的中面上，其值为,3、边界条件 边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。,情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即,情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：,后者可表示为,0,由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后的导数恒为零，边界条件又可表示为,0,情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而弯矩等于力

5、矩载荷。即：,情况四：假设薄板具有自由边界。边界上具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。这时，弯矩等于边界力矩载荷, 扭矩Mxy应转换为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy 合并为一个条件，分析如下。,边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力,边界上的总的分布剪力为,除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）,2、板弯曲的解题思路,挠度,应力分量方程,应力分量方程,三、圆形薄板弯曲问题,1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标和的函数。即： =(, )，q=q(, ) 进行坐标变换可得：,则弹性曲面的微分方程可以变换为：,D为板的抗

6、弯刚度,2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的，它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的，即只是的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为：,这个常微分方程的解答是：,此时，从板中取出一单元体，则单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：,应力分别为：,在弹性曲面微分方程解答中的1是任意一个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，由边界条件来决定。,对于均布载荷q，取特解1=N 4 代入微分方程，可解得N=q/64D。 得特解 1=q 4/64D,所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：（解题思路A、B、C、K）

7、,3、典型问题的边界分析 对于无孔圆板受均布载荷的问题 由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。,情况一：假设半径为a的薄板具有固支边界。 则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即,将二式联立解方程组，可得A，K。,情况二：假设半径为a的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：,联立二式解方程组，可得A，K。,联立二式解方程组，可得A，K。,情况三：假设半径为a的薄板具有简支边界。但无横向载荷q，边界上具有均布力矩载荷M。这时，q等于零，因而特解可以取零。则边界处的挠度等于零，而弯矩等于均布力矩载

8、荷。即：, 对于圆环形薄板。 条件：内外半径分别为a，b的圆环薄板，内边界简支，外边界自由。薄板不受均布横向载荷q，边界上受均布力矩载荷M。,由于薄板不受横向载荷，所以特解可取零。内外两边界处有四个边界条件。内边界处挠度和弯矩等于零，外边界处弯矩等于均布力矩载荷M，总剪力等于零。即,其中，扭矩M可以变换成等效剪力,联立四式解方程组，可得A，B，C，K。,与横向剪力Qr合并而成总的剪力即：, 对于载荷径向不连续的圆板 若圆板所受的载荷沿径向不连续，有间断，则必需将该板划分为N个区段，每一区段内载荷沿径向连续。,在每个区段内写出挠度的表达式，其特解项可根据载荷的分布特点选取。每个区段挠度表达式中都有四个待定常数，因此共有4N个待定常数，需要联立4N个方程来求解。,因此，求解的关键还是在于寻求能够列出4N个方程的条件。,小结,对于无孔圆板： 1、无论圆板中心处的情况如何，该处的挠度都不应该无限大。由此可确定常数C等于零。 2、圆板中心处的支承和载荷情况。如果中心处既无支座又