高三数学总复习学案74

1、学案学案 74几何证明选讲几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系 导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定 理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定 自主梳理 1圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)_的度数等于其的对_的度数的一半 推论 1：_(或_)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 _相等 推论 2：半圆(或直径)所对的_等于 90.反之，90的圆周角所对的弧是 _(或_) (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_ (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数 2圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理：_的

2、两条_，每条弦被交点分成的_的积 相等 (2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的 两个交点的线段长的_ (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条_，该点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等 温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系， 在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广 3切线长定理 从_一点引圆的两条切线，_相等 4圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角_ 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_ (2)判定定理：如果四边形的_，则四边形内接于_ 推

3、论：如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点 _ 5圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_ 推论 1：经过_且_与垂直的直线必经过切点 推论2：经过_且切线与垂直的直线必经过 _ (2)判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线 自我检测 1如图在 RtABC 中，B90，D 是 AB 上一点，且 AD2DB，以 D 为圆心，DB 为半径的圆与 AC 相切，则 sin A_. 2(2010南京模拟)如图，AB 是圆 O 的直径，EF 切圆 O 于 C，ADEF 于 D，AD 2，AB6，则 AC 长为_ 3(2011湖南)如图，A，E 是半圆

4、周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足 为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为_ 4如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 交O 于点 D，若 AD32， CD18，则 AB_. 5 (2010揭阳模拟)如图， 已知 P 是O 外一点， PD 为O 的切线， D 为切点， 割线 PEF 经过圆心 O，PF12，PD4，则圆 O 的半径长为_、EFD 的度数为_.3 探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 例 1 如图，O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，OEAB，垂足为点 E.求证：OE1 2 CD. 变式迁移 1 在ABC 中，已知 CM 是ACB

5、 的平分线，AMC 的外接圆 O 交 BC 于 点 N；若 AC AB，求证：BN3MN. 1 3 探究点二四点共圆的判定 例 2 如图，四边形 ABCD 中，AB、DC 的延长线交于点 E，AD，BC 的延长线交于点 F，AED，AFB 的角平分线交于点 M，且 EMFM.求证：四边形 ABCD 内接于圆 变式迁移 2 如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于 B、C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点 (1)证明：A，P，O，M 四点共圆； (2)求OAMAPM 的大小 探究点三与圆有关的比例线段的证明 例 3 如图，PA 切O 于

6、点 A，割线 PBC 交O 于点 B，C，APC 的角平分线分别 与 AB，AC 相交于点 D，E，求证： (1)ADAE； (2)AD2DBEC. 变式迁移 3 (2010全国) 如图，已知圆上的弧，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： AC BD (1)ACEBCD； (2)BC2BECD. 1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等 角代换与传递 2要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公 共点和圆心证垂直 ； 遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角 是直角解决有关问题 3判断两线段

7、是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用 圆心角定理及其推论证明 4证明多点共圆的常用方法： (1)证明几个点与某个定点距离相等； (2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等； (3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角) 5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角， 找相似三角形，从而得到线段的比 (满分：75 分) 一、填空题(每小题 5 分，共 40 分) 1如图，已知 AB，CD 是O 的两条弦，且 ABCD，OEAB，OFCD，垂足分 别是 E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正确 AB

8、CD AD BC 的有_个 2(2010湖南)如图所示，过O 外一点 P 作一条直线与O 交于 A、B 两点已知 PA 2，点 P 到O 的切线长 PT4，则弦 AB 的长为_ 3(2010陕西) 如图，已知 RtABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm,4 cm，以 AC 为直径的圆 与 AB 交于点 D，则_. BD DA 4(2009广东)如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB45，则圆 O 的面积为_ 5已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB1，则圆 O 的半径 R_. 6如图，圆 O

9、 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD2，7 AB3.则 BD 的长为_ 7(2011天津)如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点， 且 DFCF，AFFBBE421.若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为_2 8(2010天津)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 ， ，则的值为_ PB PA 1 2 PC PD 1 3 BC AD 二、解答题(共 35 分) 9(11 分)如图，三角形 ABC 中，ABAC，O 经过点 A，与 BC 相切于 B，与 AC 相交于 D，

10、若 ADCD1，求O 的半径 r. 10(12 分)(2009江苏)如图，在四边形 ABCD 中，ABCBAD.求证：ABCD. 11 (12 分)(2011江苏)如图， 圆 O1与圆 O2内切于点 A， 其半径分别为 r1与 r2(r1r2) 圆 O1的弦 AB 交圆 O2于点 C(O1不在 AB 上)求证：ABAC 为定值 学案学案 74几何证明选讲几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系 自主梳理 1(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半 2.(1)圆相交弦两条线段长 (2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的 对角共圆 5(1)半径

11、圆心切线切点圆心(2)外端垂直 自我检测 1.1 2 解析设切点为 T，则 DTAC，AD2DB2DT， A30，sin A . 1 2 22 3 解析连接 CB，则DCACBA， 又ADCACB90， ADCACB. . AD AC AC AB AC2ABAD2612. AC2 . 3 3. 2 3 3 解析如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径， 可得CEB90， CBE30， AOB60， 故AOB 为等边三角形， AD， ODBD3 1，DF，AFADDF. 3 3 2 3 3 440 解析如图，连接 BD，则 BDAC，由射影定理知， AB

12、2ADAC32501 600，故 AB40. 5430 解析由切割线定理得 PD2PEPF， PE4，EF8，OD4. PD2 PF 16 3 12 又ODPD，OD PO，P30， 1 2 POD602EFD，EFD30. 课堂活动区 例 1 解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等 量代换 ； 同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦) 的等量代换 (2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法 证明作直径 AF，连接 BF，CF，则ABFACF90. 又 OEAB，O 为 AF 的中点， 则 OE BF.

13、1 2 ACBD， DBCACB90， 又AF 为直径，BAFBFA90， AFBACB， DBCBAF，即有 CDBF. 从而得 OE CD. 1 2 变式迁移 1 证明CM 是ACB 的平分线， ， AC AM BC BM 即 BCAC， BM AM 又由割线定理得 BMBABNBC， BNACBMBA， BM AM 又AC AB，BN3AM， 1 3 在圆 O 内ACMMCN， AMMN，BN3MN. 例 2 解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相 等，也可以证明它们与某一定点距离相等 ； 如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端 点连成的凸四边形对角互补

14、 证明连接 EF， 因为 EM 是AEC 的角平分线， 所以FECFEA2FEM. 同理，EFCEFA2EFM. 而BCDBADECFBAD (180FECEFC)(180FEAEFA) 3602(FEMEFM) 3602(180EMF)2EMF180， 即BCD 与BAD 互补 所以四边形 ABCD 内接于圆 变式迁移 2 (1)证明连接 OP，OM， 因为 AP 与O 相切于点 P， 所以 OPAP. 因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC. 于是OPAOMA180， 由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A，P，O，M 四点共圆 (2)解由(

15、1)得 A，P，O，M 四点共圆， 所以OAMOPM. 由(1)得 OPAP. 由圆心 O 在PAC 的内部， 可知OPMAPM90， 所以OAMAPM90. 例 3 解题导引寻找适当的相似三角形， 把几条要证的线段集中到这些相似三角形中， 再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证 证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB. 因 PE 是APC 的角平分线，故EPCAPD，PA 是O 的切线，故CPAB. 所以AEDADE.故 ADAE. (2)Error!PCEPAD； EC AD PC PA Error!PAEPBD. AE DB PA PB 又 PA 是切线，

16、PBC 是割线PA2PBPC. PA PB PC PA 故，又 ADAE，故 AD2DBEC. EC AD AE DB 变式迁移 3 证明(1)因为，所以BCDABC. AC BD 又因为 EC 与圆相切于点 C，故ACEABC， 所以ACEBCD. (2)因为ECBCDB，EBCBCD， 所以BDCECB，故，即 BC2BECD. BC BE CD BC 课后练习区 14 解析在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等， 故成立，又由，得，正确 AB CD AD BC 26 解析连接 BT，由切割线定理， 得 PT2PAPB， 所以 PB8，故 AB6. 3.16 9

17、 解析 AD BD(cm)，. AD AC AC AB AD 3 3 5 9 5 16 5 BD DA 16 9 48 解析连接 OA，OB， BCA45， AOB90. 设圆 O 的半径为 R，在 RtAOB 中，R2R2AB216，R28. 圆 O 的面积为 8. 5. 3 解析如图，依题意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60， 在 RtCAP 中，有 2OA2R2tan 602，3 R . 3 64 解析由切割线定理得：DBDADC2，即 DB(DBBA)DC2，DB23DB28 0，DB4. 7. 7 2 解析设 BEa，则 AF4a，FB2a. AFFBDFFC，8a22，a

18、 ， 1 2 AF2，FB1，BE ，AE . 1 2 7 2 又CE 为圆的切线，CE2EBEA . 1 2 7 2 7 4 CE. 7 2 8. 6 6 解析PP，PCBPAD， PCBPAD. PB PD PC PA BC AD ， ，. PB PA 1 2 PC PD 1 3 BC AD 6 6 9. 解过 B 点作 BEAC 交圆于点 E，连接 AE，BO 并延长交 AE 于 F， 由题意ABCACBAEB，(2 分) 又 BEAC，CABABE，则 ABAC 知，ABCACBAEBBAE， (4 分) 则 AEBC，四边形 ACBE 为平行四边形 BFAE.又 BC2CDAC2， BC，BF.(8 分)2AB2AF2 14 2 设 OFx，则Error! 解得 r.(11 分) 2 14 7 10证明由ABC