高三数学（文数）总复习练习专题八 平面向量

1、1(2015课标，2，易)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()AC BC A(7，4) B(7，4) C(1，4) D(1，4) 【答案】A(3，1)，(7，4)，选 A.AB BC AC AB 2(2015江苏，6，易)已知向量 a(2，1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 m n 的值为_ 【解析】由 manb(9，8)得， m(2，1)n(1，2)(9，8)， 即(2mn，m2n)(9，8)， 解得mn3. 2m n9， m2n8，) m 2， n5， ) 【答案】3 1(2014广东，3，易)已知向量 a(1，2)，b(3，1)，则 ba

2、() A(2，1) B(2，1) C(2，0) D(4，3) 【答案】Bba(3，1)(1，2)(2，1)，选 B. 2(2014课标，6，易)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则()EB FC A. B.AD 1 2AD C. D.BC 1 2BC 【答案】A如图， () ()EB FC 1 2 BA BC 1 2 CB CA () (). 1 2 BA CA 1 2 AB AC AD 方法点拨：正确运用平面向量三角形法则是解题关键 3(2012广东，3，易)若向量(1，2)，(3，4)，则()AB BC AC A(4，6) B(4，6) C(2，2) D(2，

3、2) 【答案】A(1，2)(3，4)(4，6)，故选 A.AC AB BC 4(2013辽宁，3，易)已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()AB A. B. ( 3 5， 4 5) ( 4 5， 3 5) C. D. ( 3 5， 4 5)( 4 5， 3 5) 【答案】AA(1， 3)， B(4， 1)， (3， 4)， 又|5， 与同方向的单位向量为AB AB AB AB |AB | .故选 A. ( 3 5， 4 5) 5(2012浙江，7，中)设 a，b 是两个非零向量() A若|ab|a|b|，则 ab B若 ab，则|ab|a|b| C若|ab|a|b|

4、，则存在实数 ，使得 ba D若存在实数 ，使得 ba，则|ab|a|b| 【答案】C由|ab|a|b|两边平方，得 a2b22ab|a|2|b|22|a|b|， 即 ab|a|b|，故 a 与 b 方向相反且|a|b|.又|a|b|，则存在实数 1，0)，使得 ba.故 A，B 命题不正确，C 命题正确，而两向量共线，不一定有|ab|a|b|，即 D 命题不正确，故选 C. 6(2011山东，12，中)设 A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2 (R)，(R)，且2，则称 A3，A4调和分割 A1，A2.已知平面上的点 C，D 调和分A1A4 A1A2

5、1 1 割点 A，B，则下面说法正确的是() AC 可能是线段 AB 的中点 BD 可能是线段 AB 的中点 CC，D 可能同时在线段 AB 上 DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D由题意得，且2，若 C，D 都在 AB 的延长线上，则AC AB AD AB 1 1 1，1，0 时，a 与 a 的方向相同； 当 0 时，a 与 a 的方向相反； 当0 时，a0 (1)结合律： ( a) a(a)； (2)第一分配律： ()aa a； (3)第二分配律： (ab)ab 2向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数 使得 ba，则向量 b

6、与 a 共线 (2)性质定理：若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在唯一一个实数 ，使得 ba. (3)A，B，C 是平面上三点，且 A 与 B 不重合，P 是平面内任意一点，若点 C 在直 线 AB 上，则存在实数 ，使得(如图所示)PC PA AB 3向量共线定理的应用 (1)证明点共线； (2)证明两直线平行； (3)已知向量共线求字母的值(或范围) (1)(2014福建，10)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所 在平面内任意一点，则等于()OA OB OC OD A. B2OM OM C3 D4OM OM (2)(2013四川， 12)如图，

7、 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 交于点 O， 则 AB AD AO _ (3)(2014江苏南京二模，10)如图，经过OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP m，n，m，nR，则 的值为_OA OQ OB 1 n 1 m 【思路导引】解题(1)的关键是判断平行四边形中点 M 的位置，点 M 为两对角线的交点，即为两 对角线的中点；题(2)应用加法的平行四边形法则；题(3)的思路是由 P，G，Q 三点共线找出等量关系PQ ，再根据恒等关系列出方程组 PG 【解析】(1)依题意知， 点 M 是线段 AC 的中点， 也是线段 BD 的中点， 所以

8、2， OA OC OM OB 2，所以4，故选 D. OD OM OA OC OB OD OM (2)在ABCD 中，由平行四边形法则得2，2.AB AD AC AO (3)设a，b，由题意知 () (ab)，nbma， OA OB OG 2 3 1 2 OA OB 1 3 PQ OQ OP PG a b，由 P，G，Q 三点共线得，存在实数 ，使得，即 nbmaa OG OP ( 1 3 m) 1 3 PQ PG ( 1 3m) b， 1 3 从而消去 得 3. m(1 3m)， n 1 3， ) 1 n 1 m 【答案】(1)D(2)2(3)3 1.向量的线性运算的解题策略 (1)进行向量

9、运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首 尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解 (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三 角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 2求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时， 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量， 注意待定系数法和方程思想的运用 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向 量共线且有公共点时，才能得到三点共线 (3)

10、若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4)直线的向量式参数方程：(1t)t(tR)OP OA OB (5)(，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.OA OB OC (1)(2012大纲全国，9)ABC 中，AB 边的高为 CD，若a，b，ab0，|a|1，CB CA |b|2，则()AD A. a b B. a b 1 3 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 3 C. a b D. a b 3 3 5 5 3 3 5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 (2)(2012四川，7)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是() a a | |a a| | b

11、b | |b b| | A|a|b|且 ab Bab Cab Da2b (1)【答案】Dab0，ACB90， AB，CD.|a|2|b|25 2 5 5 BD，AD，ADBD41. 5 5 4 5 5 ()AD 4 5AB 4 5 CB CA a b. 4 5 4 4 5 5 (2)【答案】D表示与 a 同向的单位向量， a a | |a a| | a 与 b 必须方向相同才能满足.故选 D. a a | |a a| | b b | |b b| | 考向 2平面向量基本定理及其应用 1平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

12、意向量 a，有且只有一对实 数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底 (2)平面向量基本定理的实质 平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加减运算或数乘运算 2平面向量基本定理的应用 (1)证明向量共面，如果有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，那么 a，e1，e2共面 (2)根据平面向量基本定理求字母的值(或范围) (1)(2013江苏，10)设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC. 1 2 2 3 若12(1，2为实数)，则 12的值为_DE AB AC (2)(201

13、5安徽阜阳一模，14)在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的 中点若，则 _AB AM AN 【思路导引】解题(1)的思路是先在ABC 中用和表示， 然后根据已知条件对应求出 1， AB AC DE 2；题(2)方法一利用已知转化为 ，的关系，再利用，不共线求解，方法二利用几何图形和三 AB AD AB AD 点共线求解 【解析】(1) ()， 又12， DE DB BE 1 2AB 2 3BC 1 2AB 2 3 AC AB 2 3AC 1 6 AB DE AB AC 1 ，2 .12 . 1 6 2 3 1 2 (2)方法一 ： 由，得 () ()

14、，则 AB AM AN AB 1 2 AD AC 1 2 AC AB ( 2 1)AB 2AD ( 2 2) 0，得0，得0. AC ( 2 1)AB 2AD ( 2 2)(AD 1 2AB )( 1 4 3 41)AB ( 2)AD 又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得 AB AD 解得 1 4 3 410， 20， ) 4 5， 8 5. ) 所以 . 4 5 方法二：如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T， 由已知易得 AB AT， 4 5 . 4 5 AT AB AM AN T，M，N 三点共线， . 4 5 【答案】(1) (2) 1 2 4 5 用平面向量基本定理解决

15、问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量 的运算 (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量 表达式 零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应 的向量 (2014山东济南质检，14)如图所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且 AN ，BN 与 CM 相交于点 E，设a，b，用基底 a，b 表示向量 1 2NC AB AC AE _ 【解析】易得 b， a，由 N，E，B 三点共线知，存在实数 m，满足 AN 1 3AC 1 3

16、 AM 1 2AB 1 2 AE m(1m) mb(1m)a. AN AB 1 3 由 C，E，M 三点共线知存在实数 n，满足n(1n) n a(1n)b. AE AM AC 1 2 所以mb(1m)a n a(1n)b. 1 3 1 2 由于 a，b 为基底，所以 1m 1 2n， 1 3m 1n，) 解得 m 3 5， n 4 5. ) 所以 a b. AE 2 5 1 5 【答案】 a b 2 5 1 5 考向 3平面向量坐标运算的应用 1平面向量的坐标运算 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则 ab(x1x2，y1y2) (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2

17、)，则(x2x1，y2y1)AB (3)若 a(x，y)，R，则 a(x，y) 2向量平行的坐标表示 (1)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件为 x1y2x2y10. (2)三点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)0. ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2有可能等于 0.判断三点是否共线，先求每两点对应 x1 x2 y1 y2 的向量，然后再按两向量共线进行判定 3平面向量中的重要结论 G 为ABC 的重心0GA GB GC G，其中 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x

18、3，y3) ( x1x2x3 3 ，y 1y2y3 3) (1)(2014北京，3)已知向量 a(2，4)，b(1，1)，则 2ab() A(5，7) B(5，9) C(3，7) D(3，9) (2)(2013陕西，2)已知向量 a(1，m)，b(m，2)，若 ab，则实数 m 等于() A B. 22 C或 D022 (3)(2013北京，13)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则 _ 【解析】(1)根据平面向量坐标运算法则，得 2ab(4，8)(1，1)(5，7) (2)因为 ab，所以 m22，解得 m或 m.故选 C. 22 (3)以向量 a 和 b

19、的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方 形边长为 1)，则 A(1，1)， B(6，2)，C(5，1)，a(1，1)，b(6，2)， AO OB c(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即6 BC 1，23， 解得 2， ， 4. 1 2 【答案】(1)A(2)C(3)4 【点拨】解题(1)的关键是掌握向量的坐标运算法则；解题(2)的方法是根据两向量共线的坐标表示 的充要条件列出方程，进而求解；解题(3)的关键是建立平面直角坐标系，正确写出 a，b，c 的坐标，利 用 a，b，c 之间的关系，列出方程求解 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标

20、运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完 全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算 (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段 两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用 (3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的 坐标，再用待定系数法求出线性系数 (2012重庆，6)设 x，yR，向量 a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc， 则|ab|() A. B. C2 D105105 【答案】B由 ac，

21、b bc c) 2x40， 2y40) x2， y2，) a(2，1)，b(1，2)，ab(3，1)， |ab|，故选 B.10 1(2015北京石景山一模，8)AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，(2，4)，(1，3)，则AB AC AD () A(2，4) B(3，7) C(1，1) D(1，1) 【答案】D如图，(1，1)，BC AC AB (1，1)，选 D.AD BC 2(2015山东滨州一模，3)已知向量 a(1，2)，b(x，6)，且 ab，则 x 的值为() A1 B2 C3 D4 【答案】C因为 ab，所以 162x0，解得 x3，选 C. 3(2015河北邯郸二模，

22、6)如图所示，正六边形 ABCDEF 中，()BA CD EF A0 B. C. D.BE AD CF 【答案】D由图知.BA CD EF BA AF CB BF BC CF 4(2014山西四校联考，8)在ABC 中，N 是 AC 边上一点，且，P 是 BN 上的一点，若AN 1 2NC AP m，则实数 m 的值为()AB 2 9AC A. B. C1 D3 1 9 1 3 【答案】B如图，因为，所以，mmAN 1 2NC AN 1 3AC AP AB 2 9AC AB 2 3 ，因为 B，P，N 三点共线，所以 m 1，所以 m ，故选 B.AN 2 3 1 3 5(2014皖南八校第三

23、次联考，7)已知正方形 ABCD(字母顺序是 ABCD) 的边长为 1，点 E 是 AB 上的动点(可以与 A 或 B 重合)，如图所示，则的最大值是()DE CD A1 B. C0 D1 1 2 【答案】C设a，b，AB AD 则a(01)，AE AB ab，DE AE AD ()DE CD DE DC (ab)(a) a2ab. 又 01， 的最大值为 0.故选 C.DE CD 6(2015山东淄博一模，7)定义域为a，b的函数 yf(x)的图象的两个端点为 A，B，M(x，y)是 f(x) 图象上任意一点，其中 xa(1)b(R)，向量(1)，若不等式|k 恒成立，则称ON OA OB

24、MN 函数 f(x)在a，b上“k 阶线性近似” 若函数 yx 在1，2上“k 阶线性近似” ，则实数 k 的取值范围 1 x 为() A0，) B1，) C. D. 3 2 2，) 3 2 2，) 【答案】C由题意知 a1，b2，所以 A(1，2)，B.所以直线 AB 的方程为 (2， 5 2) y (x3) 1 2 因为 xMa(1)b2(1)2， (1)(1，2)(1)，所以 xN2，M，N 的横坐标相同，ON OA OB (2， 5 2) (2， 5 2 2) 且点 N 在直线 AB 上 所以|yMyN|MN |x1 x 1 2（x3）| . | x 2 1 x 3 2| 因为 2，且

25、 ，所以| .即|的最大值为 x 2 1 x x 2 1 x 2 x 2 1 x 3 2 MN | x 2 1 x 3 2| 3 2( x 2 1 x) 3 2 2MN 3 2 ，所以 k ，选 C.2 3 2 2 7(2015湖南长沙一中月考，13)平面内给定三个向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，若 amb nc，则 nm_. 【解析】ambnc，(3，2)(m，2m)(4n，n)(m4n，2mn)， 解得 m4n3， 2mn2， ) m 5 9， n 8 9，) nm . 1 3 【答案】1 3 8(2015河南洛阳一模，13)已知向量 a(1，3)，b(2，1)，c(3，2

26、)若向量 c 与向量 kab 共线，则实数 k_. 【解析】kabk(1，3)(2，1)(k2，3k1)，因为向量 c 与向量 kab 共线，所以 2(k2) 3(3k1)0，解得 k1. 【答案】1 9 (2014吉林长春一模， 10)设 O 在ABC 的内部， 且有230， 则ABC 的面积与AOCOA OB OC 的面积之比为_ 【解析】设 AC， BC 的中点分别为 M， N， 则已知条件可化为()2()0， 即 2 OA OC OB OC OM 40，所以2，说明 M，O，N 三点共线，即 O 为中位线 MN 上的一个三等分点，SAOC ON OM ON SANC SABC SABC

27、，所以3. 2 3 2 3 1 2 1 3 S ABC S AOC 【答案】3 1(2015课标，4，易)向量 a(1，1)，b(1，2)，则(2ab)a() A1 B0 C1 D2 【答案】Ca(1，1)，b(1，2)，(2ab)a(1，0)(1，1)110(1)1. 2(2015重庆，7，易)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为() A. B. C. D. 3 2 2 3 5 6 【答案】Ca(2ab)，a(2ab)0， 2|a|2ab0， ab2|a|2. 又 cosa，b，|b|4|a|. ab |a|b| cosa，b . 2|a|2

28、|a|4|a| 1 2 又a，b0，a，b . 2 3 3 (2015 广东， 9， 中)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知四边形 ABCD 是平行四边形，(1， AB 2)，(2，1)，则()AD AD AC A5 B4 C3 D2 【答案】A四边形 ABCD 为平行四边形， (1，2)(2，1)(3，1)，(2，1)(3，1)231(1)5，选AC AB AD AD AC A. 4(2015陕西，8，中)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是() A|ab|a|b| B|ab|a|b| C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2 【答案】BA 选项中，|ab|a|b|c

29、os |a|b|恒成立(|cos |1)； B 选项中，当 a，b 反向共线或不共线时不成立； C 选项中，(ab)2|ab|2恒成立； D 选项中，(ab)(ab)a2b2恒成立 5(2015湖北，11，易)已知向量，|3，则_.OA AB OA OA OB 【解析】，|3， OA AB OA 0，()0， OA AB OA OB OA |29. OA OB OA 【答案】9 6(2015浙江，13，中)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e2 ，若平面向量 b 满足 be1be2 1 2 1，则|b|_ 【解析】e1，e2是单位向量，且 e1e2 ， 1 2 e1e2|e1|e2|co

30、se1，e2 ， 1 2 e1，e2 . 3 又be1be21， |b|e1|cosb，e1|b|e2|cosb，e2 1， 即|b|cosb，e1|b|cosb，e21， cosb，e1cosb，e2 ，b，e1b，e2 ，或b，e1b，e2 (舍) 3 5 3 b，e1b，e2 ， 6 |b|. 1 cos 6 2 3 3 【答案】 2 3 3 1(2014大纲全国，6，易)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60，则(2ab)b() A1 B0 C1 D2 【答案】B(2ab)b2ab|b|2 2|a|b|cos 60|b|20. 2(2013湖北，7，中)已知点 A(1，1)，B(1，

31、2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上AB CD 的投影为() A. B. C D 3 2 2 3 15 2 3 2 2 3 15 2 【答案】A由条件知(2，1)，(5，5)，AB CD 10515.AB CD |5，则在方向上的投影为CD 52522AB CD |cos， ，故选 A.AB AB CD AB CD |CD | 15 5 2 3 2 2 3(2014湖南，10，中)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点 D3 满足1，则的取值范围是() |CD |OA OB OD | A4，6 B1，11919 C2，2 D1，13777 【答

32、案】D设动点 D(x，y)， |1，(x3，y)，CD CD (x3)2y21，D 点的运动轨迹是以(3，0)为圆心，1 为半径的圆 又(1x，y)，OA OB OD 3 |表示圆上的点到点(1，)的距离OA OB OD （x1）2（y 3）23 又点(1，)到(3，0)的距离为 d，3437 |的范围是1，1OA OB OD 77 4(2014重庆，12，易)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|，则 ab10 _. 【解析】|a|2，（2）2（6）2 10 ab|a|b|cos 602 10. 1010 1 2 【答案】10 5(2014四川，14，中)平面向量 a

33、(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m_. 【解析】c(m4，2m2)，|a|，|b|2， 55 又cos c，a，cos c，b， ca |c|a| ca |c|b| 由题意知，即，解得 m2. ca |a| cb |b| 5m8 5 8m20 2 5 【答案】2 6(2014江西，12，中)已知单位向量 e1，e2的夹角为 ，且 cos ，若向量 a3e12e2，则|a| 1 3 _. 【解析】|a|2a2(3e12e2)29|e1|212e1e24|e2|2，又|e1|e2|1，e1，e2的夹角余弦值为 ， 1 3 上式912

34、49，|a|3. 1 3 【答案】3 7(2014江苏，12，中)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，3，CP PD AP BP 2，则的值是_AB AD 【解析】由题意，得， AP AD DP AD 1 4AB ， BP BC CP BC 3 4CD AD 3 4AB AP BP (AD 1 4AB )(AD 3 4AB ) 2 2， AD 1 2AD AB 3 16AB 即 22564， 1 2AD AB 3 16 解得22. AD AB 【答案】22 方法点拨：借助表示出是解决本题的关键所在 AP BP AD AB 考向 1平面向量的垂直与夹角 1平面向量数量积的有关

35、概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记a，b，则AOB(0180)叫作向OA OB 量 a 与 b 的夹角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量 积，记作 ab，即 ab|a|b|cos .规定：0a0. (3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 两个向量的数量积是一个数量， 而不是向量， 它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积， 其符号由夹角的余弦值确定 2平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是与 b 方向

36、相同的单位向量，是 a 与 e 的夹角，则 (1)eaae|a|cos . (2)abab0. (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|. 特别地，aa|a|2或|a|.a aa a (4)cos . ab |a|b| (5)|ab|a|b|. 3平面向量数量积的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 的夹角为 ，则 (1)abx1x2y1y2. (2)|a|.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.xyAB （x1x2）2（y1y2）2 (3)cos . x1x2y1y2 x y xy (4)abab0 x1x2y1y20.

37、 x1y2x2y10 与 x1x2y1y20 不同，前者是两向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者 是它们垂直的充要条件 (1)(2014课标，4)设向量 a，b 满足|ab|，|ab|，则 ab()106 A1 B2 C3 D5 (2)(2014山东，7)已知向量 a(1，)，b(3，m)，若向量 a，b 的夹角为，则实数 m()3 3 6 A2 B. C0 D333 【解析】(1)因为|ab|，所以|ab|210，即 a22abb210，又因为|ab|，所以 a2 106 2abb26，所以 4ab4，ab1. (2)a(1，)，b(3，m)，|a|2，|b|，ab3

38、m.又 a，b 的夹角为 ，cos 39m23 6 ab |a|b| ，即，即 3m，解得 m. 6 1 3 3m 2 9m2 3 2 339m23 【答案】(1)A(2)B 平面向量数量积的应用 (1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos (夹角公式)，abab0 等， ab |a|b| 可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直的问题 (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 (1)(2013江西，12)e1，e2为单位向量，且 e1，e2的夹角为，若

39、ae13e2，b2e1，则 3 向量 a 在 b 方向上的射影为_ (2)(2013山东，15)已知向量与的夹角为 120，且|3，|2.若，且，AB AC AB AC AP AB AC AP BC 则实数 的值为_ (1)【解析】设 a 与 b 的夹角为 ，则向量 a 在 b 方向上的射影为|a|cos ，又 ab(e1 ab |b| 3e2)2e12e 6e1e226 5，|b|2e1|2，|a|cos .2 1 1 2 5 2 【答案】5 2 (2)【解析】，0， AP BC AP BC ()0，即()() 22 0. AB AC BC AB AC AC AB AB AC AB AC A

40、C AB 向量与的夹角为 120，|3，|2， AB AC AB AC (1)|cos 120940，解得 . AB AC 7 12 【答案】 7 12 思路点拨：解题(1)的关键是弄清楚 a 在 b 上的投影为|a|cos ( 为 a 与 b 的夹角)；解题(2)的方法是 根据0 列出等量关系求出 . AP BC 考向 2平面向量的模及应用 1求平面向量的模的公式 (1)a2aa|a|2或|a|；a aa aa a2 (2)|ab|；（a b）2 2a a2 22 2a ab bb2 2 (3)若 a(x，y)，则|a|.x2y2 2重要结论 (1)|a|b|ab|a|b|. (2)|ab|

41、2|ab|22(|a|2|b|2) (1)(2013湖南，8)已知 a，b 是单位向量，ab0，若向量 c 满足|cab|1，则|c|的最 大值为() A.1 B. C.1 D.22222 (2)(2014湖北，12)若向量(1，3)，|，0，则|_.OA OA OB OA OB AB 【思路导引】解题(1)的思路是建立平面直角坐标系，设出 c(x，y)，由向量的模找出 c 的终点的 运动轨迹，数形结合求解；解题(2)的方法一是代数法用向量的数量积直接运算；方法二是几何法 【解析】(1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量， 可设a(1，0)，b(0，1)

42、，c(x，y) OA OB OC cab(x1，y1)，|cab|1， (x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1，1)为圆心，1 为半径的圆而|c|，|c|x2y2 的最大值为|OM|1，即|c|max1. 2 (2)方法一 ： 设(x，y)，由|知，又x3y0，解得 x3，y OB OA OB x2y210OA OB 1 或 x3，y1.当 x3，y1 时，|2；当 x3，y1 时，|2，则|2. AB 5AB 5AB 5 方法二：由几何意义知，|就是以，为邻边的正方形的对角线长，所以|2. AB OA OB AB 5 【答案】(1)C(2)2 5 1.求向量的模的方法

43、(1)公式法：利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算a aa a (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再 利用余弦定理等方法求解 2求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 (2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解 (2011天津，14)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|3|的最小值为_PA PB 【解析】以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线

44、为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设 DCa，DPx. D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x) (2，x)，(1，ax)， PA PB 3(5，3a4x)， PA PB |3|225(3a4x)225， PA PB 当 x时取等号 3a 4 |3|的最小值为 5. PA PB 【答案】5 思路点拨：建立合适的平面直角坐标系，将|3|表示成某个变量的函数，然后求最值 PA PB 1(2015山东省实验中学二模，6)已知向量 a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若 a2b 与 c 垂33 直，则 k() A3 B2 C1 D1 【答案】A因为 a2b

45、 与 c 垂直，所以(a2b)c0，即 ac2bc0，所以k20，333 解得 k3，选 A. 2(2015河南洛阳质检，6)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与 b 的夹角为() A. B. C. D. 2 3 4 6 【答案】Ba(ba)aba22，所以 ab3，所以 cosa，b ， ab |a|b| 3 1 6 1 2 所以a，b，选 B. 3 3(2015福建漳州五校期末，6)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等，则|ab|等于() A1 B. C. D335 【答案】C由已知得|a|cosa，b|b|

46、cos a，b 又|a|1，|b|2，所以 cosa，b0， 即 ab，则|ab|.| |a a| |2 2|b|2 22ab5 4 (2014北京朝阳二模， 4)在ABC 中， |2， |3，0， 且ABC 的面积为 ， 则BACAB AC AB AC 3 2 等于() A60或 120 B120 C150 D30或 150 【答案】C0，其图象开口向上，因此在对称轴 tcos 处取得最小值， |b| |a| 由已知 ymin 4|a|2|b|24|a|2|b|2cos2 4|a|2 |b|2|b|2cos2|b|2(1cos2)1， |b|2sin21， |b|sin 1， 若 确定，si

47、n 确定，从而|b|确定 若|b|确定，因为 0，所以 不确定 3(2014安徽，10，难)设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量 x1，x2，x3，x4和 y1，y2，y3，y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成，若 x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则 a 与 b 的夹角为() A. B. C. D0 2 3 3 6 【答案】Bx1y1x2y2x3y3x4y4的可能取值情况为|a|2|a|2|b|2|b|210|a|2或 2ab |a|2|b|25|a|22ab5|a|24|a|2cosa，b或 4ab4|a|b|cosa，b8|a|

48、2cosa，b ，代入选项 知当a，b时，8|a|2cosa，b4|a|2，符合题意 3 4(2013重庆，14，易)在以 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实OA OB 数 k_ 【解析】根据数量积的几何意义知()|29110， OA OB OA OA AB OA (3)(2)1k6k， OA OB 6k10，解得 k4. 【答案】4 5(2012北京，13，易)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为DE CB _；的最大值为_DE DC 【解析】以 A 点为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形

49、各顶 点坐标分别为 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E(a，0)，0a1. (a，1)(0，1)a0(1)(1)1. DE CB (a，1)(1，0)a(1)0a1，故的最大值为 1. DE DC DE DC 【答案】11 6(2012上海，12，中)在矩形 ABCD 中，边 AB，AD 的长分别为 2，1.若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且满足，则的取值范围是_ |BM | |BC | |CN | |CD | AM AN 【解析】以矩形的顶点 A 为原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立坐标系，如图所示， 则 B(2，0)，D(0，1)，C(2

50、，1) 设a，则 0a1，|2a，|a， |BM | |BC | |CN | |CD | CN BM M(2，a)，N(22a，1) (2，a)，(22a，1) AM AN 43a. AM AN 又 0a1，143a4， 1，4 AM AN 【答案】1，4 7(2013天津，12，中)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若 1，则 AB 的长为_AC BE 【解析】方法一：如图，. AC AB AD BE 1 2AB AD 因为1，所以()1， AC BE AB AD ( 1 2AB AD ) 则 2 21. AD 1 2AB AD 1 2AB 因为|1，BAD

51、60， AD 所以 |， AB AD 1 2 AB 因此式可化为 1 | |21. 1 4 AB 1 2 AB 解得| 或|0(舍去)， AB 1 2 AB 所以 AB 的长为 . 1 2 方法二：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立如图的直角坐标系，过 D 作 DMAB 于点 M. 由 AD1，BAD60， 可知 AM ，DM. 1 2 3 2 设|AB|m(m0)，则 B(m，0)，C，D. (m 1 2， 3 2 )( 1 2， 3 2 ) 因为 E 是 CD 的中点， 所以 E. ( m 2 1 2， 3 2 ) 所以，. BE ( 1 2 1 2m， 3 2 ) AC (m 1 2，

52、 3 2 ) 由1，AC BE 可得 1， (m 1 2)( 1 2 1 2m) 3 4 即 2m2m0， 所以 m 或 m0(舍去) 1 2 故 AB 的长为 . 1 2 【答案】1 2 思路点拨：方法一利用平面向量运算，将，用已知向量表示，然后求解；方法二建立合适 AC BE AB 的坐标系用坐标法求解，准确写出点的坐标是关键 8(2011浙江，15，中)若平面向量 ，满足1，1，且以向量 ，为邻边的平行 | | | | 四边形的面积为 ，则 和 的夹角 的取值范围是_ 1 2 【解析】 以向量 ，为邻边的平行四边形的面积为 ，即 2 |sin ，|1，|1， 1 2 1 2 1 2 si

53、n .又 0， 1 2 . 6， 5 6 【答案】 6 ，5 6 9(2013辽宁，17，12 分，中)设向量 a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.3 0， 2 (1)若|a|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值 解：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x， 3 |b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得 4sin2x1. 又 x，从而 sin x ， 0， 2 1 2 所以 x . 6 (2)f(x)absin xcos xsin2x 3 sin 2x cos 2x 3 2 1 2 1 2

54、sin ， (2x 6) 1 2 当 2x ， 6 2 即 x 时，sin取最大值 1. 3 0， 2 (2x 6) 所以 f(x)的最大值为 . 3 2 考向 1平面向量在平面几何中的应用 平面向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，常用向量平行(共线)的充要条件：ababx1y2x2y10. (2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0 x1x2y1y20. (3)求夹角问题，常用公式： cos . ab |a|b| x1x2y1y2 x y xy (4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 |a|或a aa ax2y2 |AB|.AB （x2x1）2（y2y1）2

55、 (1)(2013福建，10)在四边形 ABCD 中，(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积AC BD 为() A. B2 C5 D1055 (2)(2014天津，13)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC 3BE，DCDF.若1，则 的值为_AE AF 【解析】(1)(1，2)(4，2)0，故.故四边形 ABCD 的对角线互相垂直，面积 S AC BD AC BD | 25，故选 C. 1 2 AC BD 1 2 5 5 (2)如图，由题意可得|cos 120222，在菱形 ABCD AB AD AB AD ( 1 2) 中，易知， ，所以， AB DC AD BC AE AB BE AB