静电场：原理与方法

1、高斯定理推证,点电荷电场,球面上各处场强大小均为,从该球面穿出的电通量,根据电场线的性质在电场中没有电荷处电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷q的任意封闭曲面S上的电通量也是,根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为,返回,高斯定理的应用求场强,均匀带电球面的电场,由高斯定理有,由高斯定理有,均匀带电球体的电场,由高斯定理有,由高斯定理有,无限大均匀带电平面的电场,由高斯定理有,两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板间电场由电场叠加原理可得为,例:半径为r的圆板，在与其中心O距离为d处置一点电荷q，试求板上电通量,球冠面上的电通

2、量与圆板的电通量相同！,距q为R处电场强度大小为,球冠面积为,例:在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及 求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 ,无限长均匀带电导线的电场,由高斯定理有,例:如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为，试求其场强，并作E（r）图 ,例:如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为，求在平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 ,例:一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过立方体一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？,点电

3、荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为,点电荷位于立方体顶点时，,通过立方体一个表面的电通量为,静电场的原理与方法,静电场的两大外观表现,力,对引入电场的任何带电体产生力的作用.,能,当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电场具有能量.,描述静电场的基本规律,电荷守恒定律,对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变原来为零的始终为零，原来为某一量Q的，则始终为Q，此即电荷守恒定律,库仑定律,高斯定理,场叠加原理,唯一性原理,在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理,等效处理方法,等效

4、对称替代法,等效电像变换法,球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为(Q-q),球与板这一系统中的总电量是按比例,分配到球上与板上的,当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电量达到最大:,例:一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一次与板接触后带电量为q，求球可获得的最大电量.,例: 如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，C球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然后又与电池正极

5、接触，重复上述过程，反复不已已知C球第一次与电池接触后的带电量为q，第一次与A球接触后A球的带电量为Q1，求A球与B球最后的带电量Q与Q；设 ，至少经过几次与C球接触后，A球的带电量可达最后带电量的一半？,设A、B球半径为R,C球半径为r,C球与A球第1次接触后有,电荷不再从C球移向A球，故,C球与B球接触最终亦有,由式及题给条件,若第次C与A接触后A又获电量Q2，,n次C、A接触后有,返回,库仑力与万有引力,r2,r1,m,O,M,Q,q,带电球壳内场强为零!,r,点电荷q在两侧场强等值反向!,q,整个带电球内部场强为0;,外表面场强大小为,设球壳除A外其余部分在A处的场强为EA,A,在A内

6、侧有,在A外侧有,例:均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在球面上划出很小一块，它所带电量为q试求球壳的其余部分对它的作用力,例: 一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图试求球上感应电荷的电量 ,O点O1点电势均为0;,环上电荷在O点的总电势为U0,球上感应电荷在O1点引起的电势Ub,O点O1点电势均由环上电荷及球上感应电荷共同引起！,环上电荷在O1点的总电势为,例:正点电荷1和正点电荷2分别放置在A、B两点，两点间相距L现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置P，设PA与AB的夹角为，则 （用三角函数表

7、示）,切向场强为0位置为电势最小的位置！,例:电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于E0两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中分出一部分球面，如图所示试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O处的电场强度E,E,半球面均匀分布电荷在O点引起的场强可视为“小瓣”球面电荷与“大瓣”球面电荷在O点引起的电场的矢量和.,由对称性及半球几何关系可知E大与E小垂直，如图所示:,例:有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离为d试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ,-q,nq,以小电量电荷所在位置为坐标原点，建立直角坐标

8、,-q与nq在坐标为（x、y）的点电势迭加为零，即有,零等势面为球面,球心坐标,球半径,例:半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为1和2，试求大的半球面所对应底面圆直径AOB上电势的分布 ,A,B,大半球面上电荷量为,大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球面上电荷引起电势的一半,即,小半球面上电荷量为,小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球面上电荷引起电势的一半,即,根据电场叠加原理,直径AB上电荷分布为:,小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半,即,例: 一半径为R、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面张

9、力系数，定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 ,R,在球面上取一面元,面元受力如示,面元周边所受张力合力大小为,面元处于平衡,则,返回,例:如图，电场线从正电荷q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线成角，则该电场线进入负点电荷q2的角度是多大？,以点电荷+q1与-q2为中心，取一半径r很小的球面，可视为其上电场线均匀分布，穿出2角所对的球冠面的电场线应完全穿入2角所对的球冠面，两面上电通量相等：,例:准确地画出两点电荷q及4q的电场线分布示意图.,若两电荷相距a，场强为零的点在两点电荷连线延长线距+q为x远处:,由上题，从+q出发，与两电荷连线所成角度在0,之间的电场线进入-4q终止时

10、与两电荷连线夹角在0,/3之间，如图:,O点电势为0：,由高斯定理知,例:如图，两个以O为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是r、R现在离O为l（rlR）的地方放一个点电荷q问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？ .,例:如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小 ,若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定，现正四面体ABCD各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定.,例:如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘已知带电后四个面的静电势分别为、和,求四面体中心

11、点的电势0 ,进行等效替代：另有同样的三个四个面的静电势分别为1、 2 、 3和4的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为1+2 +3+4 ，中心点O共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心O点电势40=1+2 +3+4,例:如图所示，在半径为R、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为r的一个小球，小球球心与大球球心O相距为a，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀 ,r1,O,r2,带电球内半径为r处场强,a,B,A,P处带宽设为,带面积为,均匀带电球电荷面密度为,P处带上电荷量为,P处弧上电荷线密度为,例:如图所示，在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为Q，AB是它的

12、一条直径，如果要使AB上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何分布？,均匀带电金属球表面每一个面元受到整个球面其余部分电荷对它的静电力大小是,则单位面积静电力,设想另半球对此半球的作用力与压强亦为P的气体作用在半球上的压力相平衡，则,例:两个半球合在一起组成一个完整的金属球，球的半径为R，如图所示，求两个半球间的静电斥力.,E,例:在强度为E的均匀电场中放着一个均匀的金属球，其半径为R，由于感应，在球上产生了表面密度为的电荷，与图中标出的角有关系求关系式(),例:如图所示，平面上有一段长为l的均匀带电直线AB，在该平面取直角坐标Oxy，原点O为AB中点，AB沿x轴试证明该平面上任一点P的电场线

13、方向沿APB的角平分线；试求该平面上的电场线方程试求该平面上的等势线方程.,P,C,EP,B,A,h,元电荷在P点引起的场强,各点合场强均沿该点对AB张角的角平分线 !,利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲线两焦点夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线切线沿各点对A、B张角平分线，则电场线为一簇焦距为l /2的双曲线,利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿各点对A、B张角平分线，而等势线与电场线处处垂直，则其等势线即为一簇焦距为 l /2的椭圆,返回,例:如图，无限大的接地导体板，在距板d处的A点有一个电量为Q的正电荷，求板上的感应电荷

14、对点电荷Q的作用力,由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q的作用下，板的右侧出现感应电荷.,由于导体为一等势面，从点电荷Q出发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布大致如图所示,联想到等量异种电荷的电场：,导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对Q的作用亦等效于像电荷-Q对Q发生的作用,由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q的作用力大小为,R,O,r,由导体表面感应电荷总电量在O点引起的电势与点电荷q在O点引起的电势之和为零得,根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为,像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电

15、势与q在同一点电势叠加为零，即满足,对任意角位置等式均成立必有,例:如图所示，设在一接地导体球的右侧P点，有一点电荷q，它与球心的距离为d，球的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电场力为多大？,例:半径为R2的导电球壳包围半径为R的金属球，金属球原来具有电势为U，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？,U,金属球上电量设为Q,球壳接地后设感应电荷的像电荷电量为q，由高斯定理,壳接地后球的电势为Q与q引起的电势叠加,Ec,q,a,b,q,Ea,Eb,像电荷在c点引起的场强大小,例:两个电量q相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且与板的距离均为d，两点电荷之间的距离为2

16、d求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向,例:如图所示，质子加速器使每个质子得到的动能为E很细的质子束从加速器射向一个远离加速器的半径为r的金属球，并留在球上球中心并不处在加速器发射出的质子运动方向的直线上，而与该直线的垂直距离为d，且dr，加速器工作足够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取E=2keV，,设质子初速度为v0，当金属球充电到电势为U时，质子与金属球相切而过，设此时速度设为v，由于质子在向球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心O，冲量矩为零，质子角动量守恒：,U,由动能定理：,例:需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可利用这样一个事

17、实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置 第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高h1 m，半径R0.1 m，如图示）放在场强E11104 V/m的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经时间t1120 s后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部 第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装置的场强值1104 V/m已知在这种情况下场强E1/r，r为离轴线的距离 假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程动

18、态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力,解答,第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有,第二个装置中，在距离轴心r处尘粒速度设为vr，则,读题,电容器相关研究,电容器中的电介质,电介质的介电常数定义为,平行板电容器电容,电容与电压电量,电容器充放电,电容器的能量,到例,到例6,示例,由高斯定理,无限大均匀带电平面的电场由,两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板间电场由电场叠加原理可得为,平行板电容器,两板间电势差,球形电容器,由高斯定理,在距球心ri处场强,在距球心ri处,其上场强视作恒定,则元电势差为,电容器两极间电势差为,例:两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此

19、孤立导体的电容,解题方向: 若能确定系统电势为U时的电量Q,可由定义求得C,考虑其中1球,电势为U时,电量,引入同样的第2球,1球将电势叠加,为维持U,对称地,为维持球2电势U,亦设置像电荷予以抵消,为抵消像电荷引起的电势,再设置下一级像电荷,例:半径分别为a和b的两个球形导体，相距很远地放置，分别带有电荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容.,解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势,可由定义求得C,设连接后两球各带电,由电荷守恒有,由等势且相距很远,解得,返回,解题方向: 不平行电容器等效为无穷多个板间距离不等的平行板电容器并联!,用微元法,

20、若无穷均分b,若无穷均分C,等式两边取n次方极限得,例:如图，两块长与宽均为a与b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为（dh），且h d，试求该空气电容器的电容 ,例:如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C14F，C26F，C10F，求AB间的总电容,设在A、B两端加一电压U，并设UMUN,M(N)处连接三块极板总电量为,则有,解得,于是有,五电容连接后的等效电容为,五电容连接直观电路如图,例:如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求A、B两点间的总电容,设n个网格的电容为Cn,则有,整理得,该无穷网络等效电容为,n,返回,例:如图，一平行板电容器，充以三

21、种介电常数分别为1、2和3的均匀介质，板的面积为S，板间距离为2d试求电容器的电容 ,等效于C1与串联的C2、C3 并联:,例:在极板面积为S，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？如果在3和1、2之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？,a,b,c,d,将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分,所求等效电容为a与b串联、c与d串联后两部分并联而成，由C可得,插入导体薄片,所求等效电容为1与2并联与3串联，由C可得,例:球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为R，其间一半充满介电常数

22、为的均匀介质，如图所示，求电容.,球形电容器的电容,本题电容器等效于介电常数为和的两个半球电容器并联，每个半球电容各为,该球形电容器的等效电容为,R,r,例:如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长l、半径分别为r和R两圆筒间充满介电常数为的电介质求此电容器的电容,圆柱面电容器,设圆柱面电容器电容为C，它由n个电容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱面电容器可视为平行板电容器，第i个元电容为,ri,ri-1,1,2,3,4,+q1,-q2,+q2,-q1,解题方向:利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约,例:四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2各板彼

23、此相距为d，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板1、板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差 ,例: 如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一板上电荷面密度1=3C/m2，另一板上电荷面密度2=6C/m2 ，在两板之间平行地放置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数=2求两金属板之间的电压 ,如果在每个金属板上附加面密度为-4.5C/m2的电荷，电容器的带电就成为“标准状况”了两板带等量异种电荷:,附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不会改变电容器的电势,等效电容为:,例:电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量q，而另一个极板上有电量+4q，

24、求电容器两极板间的电势差,如果在每个金属板上附加-2.5q的电荷，电容器的带电就成为两板带等量异种电荷1.5q 的“标准状况”：,例:三个电容分别为C1、C 2、C 3的未带电的电容器，如图方式相连，再接到点A、B、D上这三点电势分别为A、UB、D则公共点O的电势是多大？,解题方向:考虑电容器电容、电压与电量之间的关系,设三个电容带电量分别为,例:如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板之间放入点电荷q，使它距A板r，距B板R求A、B两板上的感应电荷电量各如何？,解题方向:与设想将q均匀细分n份，均匀分布在距板r处的平面M后等效,M,这是两个电容并联!,两电容器电容之比,并联电容总电

25、量,每个电容带电量,设三块板上电量依次为q1、q2、 q3，由电荷守恒：,1、2两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加：,3、2两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：,例:三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距d1和d2起初板1上带有电量Q，而板2和板3不带电然后将板、分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为U若板1、3用导线连接如图，求1、2、3各板所带电量 ？,返回,S4断开， S1、S2、S3接通的条件下，三电容器并联在电源上，电路情况如图所示：,C1,C2,C3,S4,S2,S3,R,S1,每个电容器电量为,断开 S1、S2、S3接通S4的条件下，三电容器串联在电源上，电路情况如图所示：,由电荷守恒：,q1,-q2,q2,-q1,q3,-q3,由电势关系：,例:如图所示的电路中，C14C0，C22C0，C3C0，电池电动势为，不计内阻，C0与为已知量先在断开S4的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给三个电容器充电；然后断开S1、S2