Loeb乘积空间及Keisler′s Fubini定理-论文

1、 西 安 工 程 大 学 学 报 J o u r n a l o f Xi a n Po l y t e c h n i c Un i v e r s i t y 第 2 8卷第 3 期 ( 总 1 2 7期) 2 0 1 4年 6月 Vo 1 2 8 ， No 3 ( S u m No 1 2 7 ) 文章编 号 ： 1 6 7 4 6 4 9 X( 2 0 1 4 ) 0 3 0 3 8 1 - 0 4 L o e b乘积 空间及 Ke i s l e r S F u b i n i 定理 史艳维 ( i N安培 华学 院 基础部 ， 陕西 西安 7 1 0 1 2 5 ) 摘 要 ： 在

2、 非标 准 多饱 和模 型 下 ， 研 究 了 L o e b乘 积 空 间及 Ke i s l e r S F u b i n i 定 理 首先 ， 应 用 L o e b 构造 方 法分 别构 造 了 L o e b乘 积 空 间 L( Y z )和 乘积 L o e b空 间 L( y ) L ( Y 2 ) ， 并得 到 了 L( ) L( ) L( ) 其 次 ， V A E L( 鲳 ) ， 证 明 了如 果 ( 1 ) ( 奶 一 0 ， 则对 于 几乎所有的 Y Y ， 截 口 A 是 L( ) 一可测的 最后， 在 L o e b乘积空间上证 明 了 Ke i s l e r

3、 s F u b i n i 定 理 关键词 ： 非标准多饱和模 型； 内有 限可加测度空间； L o e b乘积空间； Ke i s l e r S F u b i n i 定理 中 图分类 号 ： O 1 4 1 4 1 文献标 识码 ： A 1 引言 与预备知识 自 2 0世纪 6 O年代 ， A Ro b i n s o n L 1 创立非标准分析理论以来 ， 非标准测度就一直是研究的热点之一 1 9 7 5 年， L o e b 在文献 2 中， 基于C a r a t h e o d o r y 扩张定理口 ， 将一个在内代数上的内有限可加测度扩张到 由这个 内代数生成的 代数上

4、， 成为一个标准测度 ， 称之为 L o e b测度 之后 ， L o e b 测度被广泛地应用于测 度论、 概率论、 随机分析 、 控制论 、 数理经济等方面的研究 中 本文在非标准多饱和模型下 ， 研究 L o e b乘积 空间及 Ke i s l e r S F u b i n i 定理 对于内有限可加测度空间( y ， 姐 ， )和( Y 2 ， ， 。 ) ， 分别构造 L o e b 乘积空 间 L( y Y z )和乘积 L o e b空间 L ( Y )L( Y ) ， 并给出两者之间的联系 讨论 L( ) 一可测集截 口 的可测性 在 L o e b 乘积空间上证明了 Ke

5、i s l e r S F u b i n i 定理 本文的讨论假设在非标准多饱和模型下进行 ， 详细的内容可以参见文献 5 9 定 义 l 设 y是非空内集 ， 2 是y上的内代数 ， 称( y， s 1 ) 为内可测空间 如果内映射 v ： 一 R +U 0 ) 满 足 可加性 ( 即 V A， B ， 若 A n B一 ， 则 v ( A U B )一 v ( A) + ( B) ) ， 那 么称 ( y， ， )是 内有 限 可加测度空间 若( y， ， ) 是 内有限可加测度空 间且 ( y )有限， 定义映射 ， ： 2 一 R U 0 ) 为 ， V B 2 ， ( B)= =

6、=i n f 。 v ( A) ： B A E 奶 ， v ( B)一 s u p 。 v ( A)： B A E ， 其中 。 ( A)表示 v ( A)的标准部分 令 L( s sO一 ( B 2 1 ( B)一 v ( B) ) ， V BL( 奶 ， 定义映射 ： L( 奶 收稿 日期 ： 2 0 1 3 1 1 0 3 基金项 目： 陕西 省 自然科学基金资助项 目( 2 0 0 7 A 1 2 ) ； 陕西省教育厅专项科学研究 资助项 目( 2 o 1 3 J K0 5 7 4 ) ； 西安培华学 院科研基 金资助项 目( P HKT 2 O l 3 O 6 O g ) 作者简介

7、： 史艳维 ( 1 9 8 0 一 ) ， 女 ， 陕西省 西安市人 ， 西安培华学 院讲 师 E ma i l ： s h i _ _ y a n we i 1 6 3 c o rn 3 8 2 西安工程大学学报 第 2 8卷 一 l U 0 ) 为 ， ( B)一 ( B)一 v ( B) 引理 1 2 L ( 奶 是 代数， 是 L( 奶 上完备的 可加测度 定义 2 设 ( y， ， v ) 是内有限可加测度空间且 ( y) 有限， 称标准测度空间( y， L( 奶 ， I F L )为关 于( y， ， v )的 L o e b空 间 ， 简称 为 L o e b空间 引理2 3 设

8、 是代数 上的一个有限可加测度 ， 如果对于 中任意的互不相交的可数集列 A ) ， 当 U A 时 ， 都有 v (U A ) 一 v ( A ) ， 那么 有一个 可加扩张 若 v 是有限的， 则扩张是唯一的 ” t 七 1 4 ， 定义 3 设 x与 y是两个集合， E XY， 令 E x一 yY： ( z， )E) ， E 一 zx： ( z ， Y ) E ， 称 及E 分别为E在x及 Y处的截 口 设 f ( x， ) 为 xy上的函数 ， 为方便起见 ， 记 ( )一f ( x， )一 尸 ( z) 引理 3 L 2 设 ( y ， 媚 ， ) 和( y。 ， ， ) 是两个内测

9、度空间， ( y y ， 霸 ， ) 是乘积 内空间， F为 妈 x 一 可测的 S有界的内函数 ， 则 ( 1 )对于 V y Y ， F在 Y 处的截 口F 是 一可测的内函数 ； ( 2 )对 于 V Y 。 Y 2 ， F在 Y 2 处 的截 口 F 2 是 一 可测 的 内函数 ； ( 3 J Y 2 ) ( J 1 ， ) 1 J y ( J y 1 ，) 1 ) 1X Y 2 F d ( J Y 1 F ( y y 2 ) d r 2 d F ( y y 2 dx Y Y 9 2 1 J ， J y J y ， 2 主要结果 设 ( y ， 媚 ， y )和( y 。 ， ， i

10、,J2 )是两个 内有 限可 加测度 空 间 ， 且 v ( y )和 ( Y 2 )有 限 ， 可 以构造相 应 的 L o e b空间的乘积 ： L( y ) L ( Yz )一( Y1 Y 2 ， L( 媚 ) L( ) ， ( ) ( ) ) ， 其 中L ( 姐 ) L( ) 一 A A2 l A1 L( A1 ) ， A2 L( A2 ) ) ， 任取A1 A2L( A1 ) L( A2 ) ， ( y 1 ) L ( ) L ( A1 xA2 )= = = ( 1 ) L ( A1 ) ( y 2 ) L ( A ) 由C a r a t h e o d o r y 扩张定理 ，

11、 可以得到 ( L( 媚 ) X L( 鲳) ) 上 的乘积测度 ， 仍记为( ) L x( ) ， 令L( 鲳)L( )是 d ( L( 鲳 ) X L ( ) ) 关于乘积测度( v ) ( y ) 的完备化 也可以先构造乘积内有限可加测度空间( y y ， ， 。 ) ， 其中 斯 一 ( A A I A ，A ) 是 由珥 和 生成 的乘积内代数 ， 对于 VA A 媚 ， v x z ( A Az )一 v ( A ) v ( A ) 则 v 也可以扩张成 ( 珥 ) 上的测度， 通过这个测度 的完备化， 得到相应 的 L o e b乘积空 间 ： L( y 1 Y 2 )一 ( y

12、 1 Y 2 ， L ( d l ) ， ( v 1 v 2 ) L ) 定理 1 设 ( y ， 媚 ， )和 ( Y 2 ， ， ld 2 )是两个 内有 限可加测度空 间， 且 ( y )和 v ( Y 2 )有 限， 则 L l L( M z ) L( A1 A ) ， 并且在一L ( M z ) L )上 ， ( v 1 ) 与 ( ) ( 2 ) L是 一致 的 证明 首先 ， ) ) L( 媚 ) ， 其 中 ( 鲳 ) ( ) 是 ( ) ( ) 关于( v ) ( ) 的完备化 事实上 ， 任取 A ， 由于 A ( 鲳)I A A ( ) ) 是一个 代数且 A ( ) I

13、 A A2 ( 姐 ) ) A ， 则 A ( 鲳 )l A1 Az ( ) )一 ( 姐 ) 同理， 任取 A ( ) ， 可得 A。 ( )l A A ( 鲳 ) )一d ( ) ， 从而 d ( ) ( ) ( 霸 ) 由 C a r a t h e o d o r y扩张定 理 可知 ， ( 1 IJ 2 ) L l ( A 2 )一 ( V 1 ) L ( 2 ) L 1 ( A ) 因此 ， 口 ( 蝎 ) ( ) L( ) 其次 ， _ L = = = ， 其 中 是 L( ) L( ) 关于( ) ( 。 ) 的 完 备化 这 是 因为 ， 一 方 面 ， 由 于 L( M I

14、 ) X L( )是 L( 媚 ) L( )关 于 ( ) ( v ) 的 完 备 化 ， 则 L( L( ) ( 西 )X a ( d ) 另 一方 面 ， 对 于 V A x A L( ) L( ) ， 则 cD 姐 ， 使得( 1 ) L ( AA C )一 ( 2 ) L ( B D)= = = 0 ， 于是 ( 1 ) L ( ) L ( ( A1 A2 ) ( CD) ) ( V 1 ) L ( V 2 ) L ( ( A1 c ) ( A：U D)U ( A U c ) ( A A D) )一 0 所以A A 是 可测的 故 L ( ) L( ) _X ， 因此LI ) ) ，

15、从而L( d 1 ) x L ( d z )= = = ( 西) d ( ) ， 即 L( ) L( ) L( ) 定理 2 对于 V A L( 鲳 ) ， 如果( V 13 2 ) L ( A)一 0 ， 则对于几乎所有的 Y Y ， 截 口 A 是 L( 蝎 ) 一 可测 的 ， R ( v z ) ( A )= 0 第 3期 L o e b乘积空间及 Ke i s l e r S F u b i n i 定理 3 8 3 证明 设 y x 中的递减内子序列 B )满足 B ， A n B 且( ) ( B ) 一 0 令 B一 n B ” ， 由 于B n A x A z ， 由 引 理

16、3 ， 对于V E Y ， ( B ) E ， 则B 一 ( B ) E L ( ) 对 于 每一 个 N， l, J2 ( ( B ) )是 一 可测 的 ， 所 以( ) ( B )一 l i ra。 z ( ( B ) ) 是 L( ) 一 可测 的 由于 ( B )一 I ( ( B ) ) d v ， 且由L o e b 测度的定义， 得出 ( l v 2 ) L ( B ) 一。 ( 1 2 ) ( B ) 一。 I V 2 ( ( B ) 1 ) d r 1 一 I 。 2 ( ( B ) 1 ) d ( 1 ) L I ( 2 ) L ( ( B ) 1 ) d ( v 1 )

17、 L 由单调收敛定理 ， 则 I ( V 2 ) L ( B 1 ) d ( v 1 ) L l iraI ( V 2 ) L ( ( B ) 1 ) d ( V 1 ) L l i ra ( v l x V 2 ) L ( B ) 一0 因此 ， 对 于几 乎所 有 的 E Y ， ( ) ( B ) 一 0 又 因为 A B， 故对 于几 乎所 有的 Y 1 ， A 是 L( 妈 ) 一 可测 的 ， 且 ( v z ) L ( A )一 0 定理 3 设 ( y ， ， v )和( y ， ， ) 是 两个 内有 限可 加测度 空 间 ， 且 V ( y ) 和 z ( y z )有 限

18、 ， 厂 ： y y 。 一 R是 L( ) 一 可测函数， 则 ( 1 )对几 乎所 有 的 Y ， 是 L( ) 一可测 的 ； ( 2 )若 厂是 可积 的 ， 则 (i )对 几乎 所有 的 y ， 在 y 上是 L o e b可积 的 ； ( ii )函数 g ( y ) 一 I f ( y ， 。 ) d ( v 。 ) L 在 y 上是 L o e b可积的； J 2 ( iii ) I -厂 ( l ， 2 ) d ( 1 ) L I y ( -厂 ( l ， Y zY ) d ( ) L ) d ( 1 ) L J y 。 J y J y 证明 对函数 ，是有界或无界分两种情

19、况进行讨论 若 厂是有界L( ) 一 可测函数 ， 则存在 厂的S有界提升F， 令 A一 ( ， Y z )J 。 F( - ， 弛) f ( y ， 。) ) ， 则 A是零测度集 由定理 2 ， 对于几乎所有的 E Y ， A 是 L( ) 一 可测的， 且 ( V z ) ( A )： 0 ， 于 是对于几乎所有的 E Y ， 。 F = ， 即 是 的提升 由引理 3 可知 ， 是 Az 一 可测的， 从而对 几乎所有的 E Y 1 ， 是L ( ) 一 可测的 令G ( y 1 ) = = ： I ， F ( y l ， y z ) d v z ， 由引理3 ， 则G ( y 1 )

20、 是西一 可测 的 又因为 g ( y 1 )一 I f ( y ， 2 ) d ( 2 ) L 一 ( 1 ) ， 所以g ( y ) 是 L ( A ) 一 可测的， 且 J Y2 J g ( y 1 ) d ( i ) L I DG ( 1 ) d ( ) L 一。 I G ( y 1 ) d r l ： J Y1 y1 1 。 I F ( y 1 ， 2 ) d ( v 1 x V 2 ) = =I f ( y 1 ， 3 ， 2 ) d ( v 1 V 2 ) L J y 1y2 y1 y2 又 I f I f ( y ， Y z ) d ( v 2 ) L 1 d ( v ) L

21、=I g ( y ) d ( ) ， 故 J y J y J y J Y ，) d ( V z ) L 一 ( j 。 ， z ) d ( 。 ) ) d) 1 2 f ( y Y z J 1 f ( y( vlY y 。 ， 若 _厂 无界 ， 对于每一个有限数 ， f 是有界L( 鲳 ) 一 可测 函数 ， 由有界情形可得 ， 对几乎所有的 E Y ， ( -厂 ) 是 L( ) 一 可测的， 令 一 。 。 ， 由单调收敛定理 ， 则 是 L( ) 可测 的 同理可证 是 L o e b 可积的， 及 g ( Y )一 I f ( y ， 。 ) d ( v ) 是 L o e b 可积

22、的 由单调收敛定理， J Y2 I f C y 1 ， 2 ) d ( v 1 2 ) L = = = l iral ( ， ) d ( v 1 V 2 ) L J y1 y 2 一 。 。 J Y1 2 J y _ ( 厂 AY Y ” ) d ( z ) ) d ( V ) L = o。J 1 0 ， J ( J 。 d ( ) fJ ) d ( 3 8 4 西安工程大学学报 第 2 8卷 通 过对 L o e b乘积 空 间和 Ke i s l e r s F u b i n i 定 理 的讨 论 ， 不仅 为非 标准 测 度论 拓宽 了研 究 范 围 ， 而 且 为 测度理论 的探索提

23、供了一种新的思路和方法 参考 文献 ： E l i 2 3 4 5 6 7 8 9 R O B I N S ON A N o n s t a n d a r d a n a l y s i s M Ams t e r d a m： N o r t h Ho l l a n d ，1 9 6 3 ： 3 1 - 3 7 L OE B P A C o n v e r s i o n f r o m n o n s t a n d a r d t o s t a n d a r d me a s u r e s p a c e s a n d a p p l i c a t i o n s i n

24、p r o b a b i l i t y t h e 0 r y j Tr a n s Ama r M a t h S oc， 1 9 75， 2l1：11 3 一 l 2 2 C OHN D L Me a s u r e t h e o r y M B o s t o n ： B a s e l S t u t t g a r t B i r k h a u s e r ， 1 9 8 0 ： 2 3 2 5 严加安 测度论讲 义 M 北京 ： 科学 出版社 ， 2 0 0 4 ： 7 - 1 0 D AVI S M Ap p l i e d n o n s t a n d a r d a

25、 n a l y s i s M N e w Y o r k ： Wi l e y ， 1 9 7 7 ： 2 2 2 8 C u t l a n d N J N o n s t a n d a r d me a s u r e t h e o r y a n d i t s a p p 1 i c a t i o n s J B u l l L o n d o n Ma t h S o c ， 1 9 8 3 ( 1 5 ) ： 5 2 9 5 8 9 刘普寅 ， 金治 明 R a n d o n概率空 间中随机过程到 L o e b概率空间中的转换 J 高校应用数学学报 ， 1 9 9 8

26、 ， 1 3 ( 4 ) ： 1 4 1 7 陈东立 ， 马春晖 ， 史艳维 单 子集 映射 m 与标准部分逆映射 s t 的同态性l- J 数学进展 ， 2 0 1 2 ， 4 1 ( 1 ) ： 1 2 0 1 2 4 史艳维 ， 马春晖 模糊拓扑空间中有限覆盖性质 的非标准刻 画 J 纺织高校基础科学学报 ， 2 0 1 2 ， 2 5 ( 3 ) ： 3 2 4 3 2 6 Lo e b p r o d u c t s pa c e a n d Ke i s l e r S Fu b i ni t he o r e m SH J Y 一 we i ( De p a r t me n t

27、 o f B a s i c Co u r s e s ，Xi a n P e i h u a Un i v e r s i t y ，Xi a n 7 1 0 1 2 5 ，Ch i n a ) Ab s t r a c t ： I n no ns t a n da r d po l y s a t u r a t e d mo d e l ，t he pr o pe r t i e s o f Loe b p r o duc t s p a c e a nd Ke i s l e r s Fu bi n i t h e o r e m a r e s t u d i e d Fi r s

28、t l y ，b y Lo e b S me t h o d s ，Lo e b p r o d u c t s p a c e L( Y1 Y2 )a n d p r o d u c t o f Lo e b s p a c e s L( Y1 ) L( Y2 )a r e c o n s t r u c t e d ，a n d i t i s o b t a i n e d t h a t L( ) L( ) L( ) Th e n ，f o r e a c h AE L( )，i t i s S h O WP s t h a t ，i f( V l V 2 ) L ( A) 一Q，t

29、h e s e c t i o n A 1 i s L( ) 一 me a s u r a b l e f o r a l m o s t e ve r y Y 1 Y1 At l a s t ，Ke i s l e r S Fub i ni t h e o r e m i s pr o ve d i n Lo e b pr o du c t s pa c e Ke y wo r d s ：no ns t a nd a r d po l y s a t ur a t e d mo de l ；i n t e r n a l f i n i t e l y a dd i t i ve me a s u r e s pa c e；Loe b p r o duc t s p a c e； Ke i s l e r S Fu bi ni t he or e m ( 上接 第 3 8 0页) 编辑 ： 武晖 ； 校 对 ： 赵放 ，】 一