传递过程基本方程.ppt

1、第二章,传递过程基本方程,动量传递 热量传递 质量传递,模型化,共同规律,化工单元 操作,传递过程的 主要理论基础,质量守恒 动量守恒 能量守恒,现象方程,描述系统的状态,描述过程的速率,传递现象理论,使化学工程从经验与技艺发展成为一门工程科学,衡算体系,控制体（control volume）与控制面,守恒原理的运用都是针对一定体系而言,控制体,控制体通过控制面与环境（环绕控制体的流体或相界面）进行质量、动量和能量交换。,控制体：流动空间任一坐标位置处具有一定几何形状与大小的开放体系。 控制面：围成控制体的空间曲面。,衡算体系,控制体的大小,控制体的取法,(1) 代表性：基于控制体建立的传递过

2、程微分方程应该在整个流动空间连续可积 (2) 对称性与正交性：尽可能使控制面的法线与坐标轴平行或正交，使其模型简化、减小求解的难度。,宏观：例，一段管道、一台设备、甚至整个生产装置 宏观衡算只能得到空间平均的结果 微观：数学意义上的微元体积V,微观(或微分)衡算建立微分方程，才能表达流体内部传递现象的规律，求得流场的分布函数。 空间平均的结果很容易从分布函数求平均得到,不同坐标系下的微元控制体,常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系,(x,y),(y,z),uy,uz,ux,直角坐标系（Cartesian coordinates）：x，y，z,柱坐标系（Cylindrical coord

3、inates）：r，z,r,uz,u,ur,z,球坐标系（ Spherical coordinates）：r，,r,ur,u,u,质量守恒与连续性方程,质量守恒定律 （Mass conservation）,控制体内生成的质量速率和消耗的质量速率相等,传递过程与化学反应过程都必须服从质量守恒定律。若控制体内的流体包含 n 个组分，则任一组分 i 的质量衡算为：,流体的速度和密度是空间与时间的连续函数,连续性方程（ Equation of continuity ）,(ux)x,(ux)x+x,(uy)y,(uz)z,(uz)z+z,(uy)y+y,连续性方程（ Equation of contin

4、uity ）,代表空间任意点处由流体质量通量 u 的空间变化率引起该点处流体密度随时间的变化率。,(u) 代表的流体质量通量的空间变化率又被称作质量通量的散度，其物理意义可以理解为空间某点处单位体积内流体质量的流散速率。,流体密度的随体导数,体积通量(或速度矢量) u 的散度，物理意义为空间某点处单位体积流体的体积形变（扩张或收缩）速率,连续性方程（ Equation of continuity ）,连续性方程是传递过程最基本的方程之一，推导过程未加假设，因此对各种流体在各种情况下都适用。,直角坐标系 (x, y, z),球坐标系 (r, , ),柱坐标系 (r, , z),不同坐标系中的连续

5、方程,【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程,高斯（Gauss）定理,【例2-1】 变直径管道中流体流动的连续性方程,不稳定流动系统的连续性方程,稳定流动系统的连续性方程,不可压缩流体的连续性方程,圆管流动的连续性方程,动量守恒定律,动量守恒与流体运动微分方程,动量是矢量，将其在三个坐标方向分解，对每一个分量都可以独立地进行动量衡算 控制体受力分为 体积力：由外力场决定 表面力：压力和粘性力,牛顿第二定律,流体运动微分方程,对流传递的动量通量（x 分量）,x,z,y,流体运动微分方程,扩散传递的动量通量（x 分量）,x,z,y,流体运动微分方程,对流从六个面元输入控制体的 x 方向的动

6、量分量的净流率为：,扩散从六个面元输入控制体的 x 方向的动量分量的净流率为：,流体运动微分方程,x 方向的动量分量在控制体内的累积速率为 ：,作用于控制体的所有外力在 x 方向的分量的总和为 ：,表面力 流体的压力,体积力（质量力） gx代表单位质量流体所受的质量力（例如重力、离心力等）在 x 方向的分量,流体运动微分方程,x 方向：,y 方向：,z 方向：,流体运动微分方程,连续性方程,流体运动微分方程,x 方向：,y 方向：,z 方向：,流体运动微分方程的矢量形式,上式以牛顿第二定律的形式表达了单位微元体积中的流体受合力的作用获得的加速度，是运动微分方程的另一种形式。,流体运动微分方程全

7、面反映了流体内部各种不同方式的动量传递和作用力对改变流体运动状态的贡献，是流体力学的基本方程之一，对所有流体都适用。,流体运动微分方程的矢量形式,三个方程所含变量多达14个，只有在针对流动体系的具体性质、补充足够的方程之后，才能使方程组封闭。,本构方程：流体的粘性应力(或动量扩散通量)与速度梯度(或形变速率)之间的关系，随流体种类与流动结构而异。,对于层流流动的牛顿流体，三维条件下的牛顿-斯托克斯粘性应力-形变方程如下：,奈维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程,对密度和粘度均为常数的牛顿流体作层流运动,方程式可以展开为仅以三个速度分量为变量的奈维-斯托克斯(Navier-Stokes

8、)方程 ，简称 N-S 方程,欧拉（Euler）方程,当粘性的作用影响较小以至可以不计，或 = 0 时，上式进一步简化为：,由该方程出发可以导出流体力学上一系列重要的结论,N-S 方程,欧拉(Euler)方程 理想流体运动微分方程,2 拉普拉斯算符,奈维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的矢量微分形式：,流体运动微分方程的应用,流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ),静止是运动的一种特殊形式、即流体内部各处的速度以及所受合力都为零的一种平衡状态。 对于密度为常数的流体，根据奈维-斯托克斯方程或欧拉方程都可以得到,展开为三个分量方程

9、,静止流体所受合力以及三个坐标方向的分力都为零,流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ),假设流体有一微小位移,上式表示体积力对流体作功与压力作功相抵消，所以流体保持静止,则合力在此微小位移上作功（力矢量与位移矢量的点乘积）也为零,压强的全微分 d p,流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ),重力场中的静止流体，取 z 轴垂直向上为正,p0,1,2,H,z2,z1,体积力作功 gdz 是单位质量流体位能的增量，压力作功dp/为压强能增量。表明静止流体中压强能随位能的增加而等量减少。,流体静

10、力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ),流体中任意两个垂直位置 2 和 1 之间对上式作定积分,由于 和 g 是常数,总势能保持不变,同一静止流体中 虚拟压强处处相等,kJ/kg,Pa,流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid statics ), 流体静力学基本方程,流体静力学原理： 重力场中静止流体总势能不变，静压强仅随垂直位置而变，与水平位置无关，压强相等的水平面称为等压面； 静止液体内任意点处的压强与该点距液面的距离呈线性关系，也正比于液面上方的压强； 液面上方的压强大小相等地传遍整个液体。,问题：1 at

11、m = 760 mmHg = 10.33 mH2O = 101325N/m2(Pa),液柱压差计（Manometers）,普通 U 型管压差计（Simple manometer） 倒置 U 型管压差计（Up-side down manometer） 倾斜 U 型管压差计（Inclined manometer） 双液体 U 型管压差计（Two-liquid manometer）,普通 U 型管压差计（Simple manometer）,p0,p0,0,p1,p2,R,a,b,U 型管内位于同一水平面上的 a、b 两点在相连通的同一静止流体内，两点处静压强相等,由指示液高度差 R 计算压差 若被测

12、流体为气体，其密度较指示液密度小得多，上式可简化为,倒置 U 型管压差计（Up-side down manometer）,用于测量液体的压差，指示剂密度 0 小于被测液体密度 ， U 型管内位于同一水平面上的 a、b 两点在相连通的同一静止流体内，两点处静压强相等,由指示液高度差 R 计算压差 若 0,倾斜 U 型管压差计（Inclined manometer）,采用倾斜 U 型管可在测量较小的压差 p 时，得到较大的读数 R1 值。,压差计算式,双液体 U 型管压差计（Two-liquid manometer）,微差压计，支管顶端有一个扩大室。扩大室内径一般大于U型管内径的10倍。压差计内装

13、有密度分别为 01 和 02 的两种指示剂。 有微压差p 存在时，尽管两扩大室液面高差很小以致可忽略不计，但U型管内却可得到一个较大的 R 读数。,对一定的压差 p，R 值的大小与所用的指示剂密度有关，密度差越小，R 值就越大，读数精度也越高。,【例2-2】,如图所示密闭室内装有测定室内气压的U型压差计和监测水位高度的压强表。指示剂为水银的U型压差计读数 R 为 40mm，压强表读数 p 为 32.5 kPa 。 试求：水位高度 h。,解：根据流体静力学基本原理，若室外大气压为 pa，则室内气压 po 为,【例2-3】,用复式U型压差计检测输水管路中孔板元件前后A、B两点的压差。倒置U型管段上

14、方指示剂为空气，中间U型管段为水。水和空气的密度分别为 = 1000 kg/m3 和 0 = 1.2 kg/m3。在某一流量下测得R1 = z1 - z2 = 0.32 m，R2 = z3 - z4 = 0.5m。 试计算A、B两点的压差。,【例2-3】,忽略空气柱的重量，p1 p2 ，p3 p4 ，有,不可压缩流体在圆管内的流速分布,层流流动,在柱坐标系中，流动为沿管轴线的一维轴对称流动,以虚拟压强的形式将压力梯度与重力合并表达为直管流动的平均推动力,可完全通过理论求解流速分布,不可压缩流体在圆管内的流速分布,运动微分方程简化为,在柱坐标系中，由不可压缩流体的连续性方程,二阶常微分方程,边界

15、条件,r = R, uz = 0 r = 0, uz = 定值,不可压缩流体在圆管内的流速分布,直接积分两次并利用上述边界条件即可得到流速 uz 沿管半径 r 方向的分布函数,圆管内不可压缩牛顿流体层流速度分布呈抛物线 最大速度在管中心（r = 0）处,哈根-泊谡叶(HagenPoisseuille)方程,半径为R 的圆管内不可压缩牛顿流体稳定层流的体积流率为,不可压缩流体在圆管内的流速分布,根据体积流率相等的原则，定义流体平均速度（称为体积平均流速）,与最大速度相比,管内层流的流速分布,不可压缩流体在圆管内的流速分布,1/n 次方规律,湍流流动,湍流速度分布难于象层流一样解析表达 湍流速度分

16、布只能就时间平均而言，真实速度围绕时均值波动（包括大小和方向）。湍流波动加剧了管内流体的混合与传递，使时均速度在截面上、尤其是在管中心部位分布更趋平坦。,不可压缩流体在圆管内的流速分布,式中 n 的取值范围与 Re 有关 4104 3.2106 n = 10 在上述 Re 范围内,湍流流动,平均速度与最大速度之比,流体机械能守恒与柏努利方程 (Conservation of mechanical energy and Bernoulli equation ),奈维-斯托克斯方程表达了单位微元体积的流体在压力、粘性力和质量力作用下沿流线的加速度。 流体运动中，这些力对流体作功因此而发生能量转换。

17、 流体所具有的能量分为机械能（动能与势能之和）和内能（或热能）两大类。 功与能之间的转换服从能量守恒原理即热力学第一定律。 “摩擦生热”使流体的机械能转换为内能的过程是不可逆的，称为机械能损耗或阻力损失、粘性耗散，机械能不一定守恒。 对于理想流体而言，由于不存在粘性力，因此无粘性耗散，不仅能量守恒，机械能也守恒。,流体机械能守恒与柏努利方程,对不可压缩理想流体， = constant， = 0,代表单位质量流体在压力和质量力的作用下产生的沿流线的加速度,欧拉方程,代表压力与质量力对单位质量流体作功而使其动能沿着流线的变化率。换言之，即 dt 时间内功与能的转换量,用速度点乘各项,流体机械能守恒

18、与柏努利方程,也可写成,重力场中的稳态流动，取 z 轴正方向与重力方向相反,严格说柏努利方程只有沿流线才成立。 对稳态流动，流线与迹线重合，因此同一迹线上的流体也服从柏努利方程。,柏努利（Bernoulli）方程,实际流体流动的柏努利方程,对同一管道上任意两个与流线垂直的截面,实际流体存在流动阻力，部分机械能不可逆地转换为内能，称为阻力损失 hf 。 尽管机械能不守恒，但总能量是守恒的。,在工程实际中，为了克服阻力损失，使用流体输送机械补充机械能。对单位质量流体而言补充的机械能为 he,J/kg,动能校正系数（Kinetic energy correction factor）,与理想流体柏努利

19、方程相比，除了两截面间的阻力损失和机械功而外，还应注意流体的动能应该使用截面上的平均值,反映截面上动能分布不均匀的程度,工程上习惯使用平均速度,动能平均值,动能校正系数 Kinetic energy correction factor,完整的柏努利方程,圆管内层流，截面上平均动能为,完整的柏努利方程,【例2-4】,水由高位水槽流入下圆盘，从圆盘上方一环隙流出。已知水槽液面到圆盘底面距离为1.5m，圆盘厚度为25mm，水槽直径0.5m，环隙中心距1.0m，环隙宽20mm。如不计流动摩擦阻力，试求（1）水由环隙流出的流量；（2）A 点处的压强。,解：（1） 在 1-1 与 2-2 截面间列柏努利方

20、程,式中：z1 = 1.5m，z2 = 0.025m ， p1 = p2 = pa, ，,【例2-4】,【例2-4】,（2）取A点处水流通道（垂直的圆周面）为3-3截面，在1-1与3-3间列柏努利方程,根据连续性方程可求得 A 点的流速为,式中：z1 = 1.5m，z3 = 0.0125m ， p1 = pa, ，,直管阻力损失与摩擦因子,流体在管路系统中流动的阻力损失包括： 直管阻力损失：流经直管时由于流体的内摩擦产生。 局部阻力损失：流经管件阀件时，流道突变产生的。由管件的阻力特性决定。,直管内层流,L 管段内维持流体稳定流动的推动力为P ，该管段内的直管阻力损失为,哈根-泊谡叶方程,流体

21、在壁面处的剪应力,Pa,范宁摩擦因子 f （Fanning friction factor）,摩擦因子的定义：流体在壁面处的剪应力与管内单位体积流体的平均动能之比,摩擦系数 Blasius or Darcy friction factor,摩擦因子的物理意义,这个比值隐含了流体流动结构对传递特性的影响，在传热与传质问题中具有重要的类比意义。,包含了所有因素对直管阻力损失的影响,直管摩擦阻力的实验研究（因次分析法）Dimensional analysis,流体流动与传递过程是十分复杂的现象，许多问题难于完全通过理论解析表达。 由于影响过程的因素很多，单独研究每一个变量不仅使实验工作量浩繁，且难以

22、从实验结果归纳出具有指导意义的经验方程。,一个正确的物理方程，等号两端的因次（或量纲）必须相同。,问题,解决方法,因次分析法,依据,基本因次：时间T，长度L，质量M，和温度K； 导出因次：由基本因次组成，如速度的因次LT-1，密度的因次ML-3等。,直管摩擦阻力的实验研究（因次分析法）Dimensional analysis,直管摩擦阻力损失的影响因素,直管摩擦阻力,L,d,u,P1,P2,绝对粗糙度,直管摩擦阻力的实验研究（因次分析法）Dimensional analysis,将式中各物理量的因次用基本因次表达，根据因次分析法的原则，等号两端的因次相同。,幂函数形式,虚拟压强差： MT-2L

23、-1 Pa (N/m2) 管径（Diameter） ： L m 管长（Length） ： L m 平均速度（Average velocity） ： LT-1 m/s 密度（Density） ： ML-3 kg/m3 粘度（Viscosity） ： ML-1T-1 Pa s 粗糙度（Roughness parameter）： L m,直管摩擦阻力的实验研究（因次分析法）,问题全部物理量涉及三个基本因次M、T、L,这一组方程说明，6 个指数中只有三个是独立的，例如任意确定 b，e，f 为独立指数，可以解出另外三个指数,根据因次一致性原理，等号两端同名因次指数相等,直管摩擦阻力的实验研究（因次分析法

24、）,通过因次分析的方法，将 7 个变量的物理方程变换成了只含 4 个无因次数群的准数方程。,将上式中指数相同的物理量组合成为新的变量群，即无因次数群（dimensionless groups）或称准数,欧拉准数,雷诺准数,相对粗糙度,伯金汉（Buckingham）定理,一个物理方程可以变换为无因次准数方程，独立准数的个数 N 等于原方程变量数 n 减去基本因次数 m。,根据实验结果，直管层流摩擦阻力损失与管长成正比，指数 b = 1,系数 K 和指数 e、g 都需要通过实验数据关联确定,摩擦系数曲线图（Friction factor chart）,穆迪（Moody）图：以 Re 和 / d 为

25、参数，在双对数坐标中标绘测定的摩擦系数 值,摩擦系数曲线图（Friction factor chart）,层流（滞流）区（Re2000） 摩擦系数 与相对粗糙度无关，与 Re 数的关系符合解析结果,层流摩擦阻力与平均流速成正比，即与泊谡叶方程结论相同。,过渡区（2000Re4000） 由于过渡流常常是不稳定的，难于准确判定其流型，工程应用上从可靠的观点出发一般按湍流处理。,湍流区（Re4000） 随 / d 增加而上升，随 Re 增加而下降。有一个转折点，超过此点后与 Re 无关。转折点以下（即图中虚线以下）粗糙管的曲线可用下式表示,摩擦系数曲线图（Friction factor chart）

26、,对光滑管，在 Re = 3000 100000 范围,完全湍流区（阻力平方区） 湍流区中虚线以上区域。该区 与 Re 无关而只随管壁粗糙度变化，对一定的管道而言， 即为常数。摩擦阻力正比于流体平均动能，因此称为阻力平方区。,柏拉修斯（Blasius）公式,对光滑管，在 更高Re 范围,柯尔本（Colburn）公式,管壁粗糙度对摩擦系数的影响,层流时，阻力损失主要由流体内摩擦引起，取决于流体的粘度和速度梯度。圆管内牛顿流体层流速度梯度在整个半径范围并不因管壁粗糙度的局部影响而发生明显改变，所以粗糙度对摩擦系数的值无影响。,u, ,管壁粗糙度对摩擦系数的影响,u, ,湍流速度梯度仅存在于管壁附近

27、。 阻力损失 = 粘性阻力 + 惯性阻力 Re 越大，层流内层越薄，更多的壁面粗糙物暴露于湍流主体中加剧旋涡运动和流体质点的碰撞，增加惯性阻力。 Re 增大到一定值以后，层流内层已经薄得使粗糙物几乎完全进入湍流主体成为流动阻力的控制性因素，而粘性阻力所占的比重可以忽略不计，从而进入所谓阻力平方区。,【例2-6】,用倒U型管压差计测量L管段的阻力损失。 已知管内流体密度 = 900 kg/m3，粘度 = 1.510-3 Pas；指示剂为空气 0 = 1.2 kg/m3；管内径 d = 50mm，管壁绝对粗糙度 = 0.3mm。试推导：,解：(1) 根据流体静力学基本原理，1、2 两测点间静压差为

28、,(1) 管路条件（L,d, ）和流速 u 一定时，倾角 a 与两测点静压差 p 的关系以及 a 与 R 读数的关系； (2) 流速为 2 m/s 时，R 读数的预测值。,【例2-6】,p 与 sin 成线性关系。 = 90时（垂直管）静压差最大, = 0时（水平管）静压差最小,在1-1、2-2两截面间列柏努利方程,【例2-6】,R 实际上是直管阻力损失 hf 的度量,当管路的 L、d、 、u 一定时，hf 是定值，因此 R 也一定，与管路的倾斜角 a 无关,(2)在题设条件下,流体动力学相似准则（运动方程无因次化）Similarity rule and dimensionless equat

29、ion,如何恰当地将经验方程应用于生产装置、或者根据实验结果正确地进行工程放大设计，是化学工程理论与实践相结合的一个关键环节。,问题：在直径为 d1 的实验管道中测定的摩擦系数在什么条件下才可以用于直径为 d2 的工业大管道？ 解决方法：相似准则。,动力学相似准则,几何相似，准数相等，无因次边界条件相同 动力学相似体系的无因次微分方程数学上全等 服从该微分方程的所有无因次量都对应相等,流体动力学相似准则（运动方程无因次化）Similarity rule and dimensionless equation,雷诺数,弗鲁德数,流体动力学相似准则（运动方程无因次化）Similarity rule

30、and dimensionless equation,例：直管中的摩擦系数（或摩擦因子 f ） 用管径 d 和体积平均流速将摩擦因子 f 改写为以雷诺准数和无因次速度梯度表示的形式,满足流体动力学相似准则的体系若雷诺数 Re 相等，无因次速度分布函数及在边界上的导数值相等，则摩擦因子必然相等。 摩擦系数图,能量守恒与传热微分方程Conservation of energy and differential equation for heat transfer,能量守恒定律,体系在某过程中从环境吸收的热 Q 与对环境所作的功 W 之差等于该体系在过程前后的能量改变 E, 热力学第一定律,应用于具

31、有开放体系性质的控制体，在 dt 时间内控制体内能量的改变速率为：,能量守恒定律,功和能具有等价性。对控制体内的流体进行能量衡算，把与力有关的项都以功的形式表示。因此，流动流体“携带”的能量仅为动能与内能之和，对单位质量流体而言为,J/kg,能量微分方程 Differential equation for energy,作用力对控制体作功的速率（功率）等于力矢量与所在作用面的流体速度矢量的点乘积。力与速度方向一致则功率为正，反之为负。,在直角坐标系下就三个对称的坐标方向之一，详细地列出控制体与外界的能量、热量和功的交换速率“清单”，有助于理解流体内部的能量转换过程。,扩散进入控制体的净的热量流

32、率为：,x 方向体积力对控制体作功的速率：,以 x 方向为例 对流进入控制体的净的能量流率为：,J/s=W,能量微分方程 Differential equation for energy,x 方向的表面力对控制体作功的速率：,对 y、z 两个方向上控制体与外界进行的能量、热量和功的交换速率“清单”，可以完全对称地列出。,控制体内的能量累积速率为：,压强作功,正应力,剪应力,剪应力,能量微分方程 Differential equation for energy,将 x、y、z 三个方向的所有项目按能量守恒式汇总，以 xyz 通除各项并取其趋于零的极限,全面反映了运动流体内部各种不同形式的能量转换

33、关系，是传递现象理论中最重要的基本微分方程之一。 工程实际中，不同的领域侧重于不同的能量形式，故有必要将上式拆分为单独以机械能或内能表达的形式。, 单位体积流体的能量微分方程,能量微分方程 Differential equation for energy,连续性方程,动能微分方程 Differential equation for kinetic energy,用速度矢量点乘矢量形式的运动微分方程，可以得到与上式具有对称形式的动能微分方程或称机械能方程,热能微分方程 Differential equation for heat energy,从总能量微分方程中减去动能微分方程，即得到内能或称热

34、能微分方程,内能变化率,热扩散,压强，体积功,粘性应力,流体膨胀,粘性应力的存在总是使流体的动能减少，其中一部份不可逆地转换成了流体的内能，粘性耗散,为正值,粘性耗散（Viscous dissipation）,单位质量不可压缩流体流经一段等径直管产生的阻力损失,水：当 P = 1105Pa 时，水温升高 T 仅为约 0.024 。 故传热问题中粘性耗散引起的流体内能增加可以忽略不计 将不可压缩（体积功为零）流体的内能方程简化为,傅里叶定律,不可压缩流体的内能微分方程,直角坐标系（x, y, z）,柱坐标系（r, , z）,球坐标系（r, , ）,传热微分方程的应用,圆管内层流传热温度分布,常物

35、性牛顿流体在长直圆管中稳态层流。设管内流体通过管壁稳定地向外放热的热通量为 qs 。 假设流体进入传热段（z=0）以前具有均匀温度T0，z 0 以后，由于传热，流体的温度在 r 和 z 两个方向都有改变 应用传热微分方程求解这种情况下流体的二维温度分布。,Le,H,qs,uz T0,T(r,z),圆管内层流传热温度分布,假定流体经过充分长的传热进口段之后其温度的改变正比于传热量，换言之即正比于流动距离 z，而温度分布在半径方向已不再随 z 而改变，因此温度分布函数可以表示为：,注意流动已充分发展，轴向的流速分布不再随管长变化，将流速分布代入,柱坐标系下稳态（T/t为零）和轴对称（T/为零）一维

36、流动（ur、u 都为零）的传热微分方程简化为,圆管内层流传热温度分布,代入可得,两次积分上式,C2 则由从传热段进口 z = 0 到任意轴向位置 z 的管道内流体的热衡算来确定,圆管内层流传热温度分布,温度函数的定义式,两次积分,圆管内充分发展的稳定层流时流体温度的二维分布函数,圆管内层流传热温度分布,对流传热流体的温度分布既受壁面传热情况影响，也与流体速度分布直接有关，即温度场建立在速度场基础之上。 如果温度场的变化足以影响到流体的密度、粘度等性质，则速度场会因此改变，使流动与传热问题相互耦合更趋复杂。,圆管内层流传热温度分布,从传热进口端开始，壁面热通量使管内流体温度改变从管壁处开始，随着

37、流动和传热的进行，逐渐向管中心部位发展直至充满全管，这一段距离称为热进口段。 管内流体受传热影响、温度有所改变的区域称为热(温度)边界层。管内流体与管壁之间的对流传热必须穿过热边界层。 热边界层越厚，传热的阻力就越大，可见热进口段内热阻不断增加直至热边界层充满全管而达到稳定的热阻值，此时称为充分发展的对流传热。,圆管内的对流传热膜系数,若准确掌握了热边界层的温度分布，可由傅立叶定律直接计算壁面热通量,湍流：求其温度分布很困难，解析的方法仅针对简单的层流传热体系，对湍流传热问题的研究方法主要是在机理分析的基础上提出简化模型，通过实验确定模型参数、关联经验方程。,假想管壁面上有一层当量厚度为H 的

38、虚拟膜集中了全部传热阻力，虚拟膜内温度为线性分布，其内缘温度为粘附在固体壁面上的流体温度Ts，外缘温度 Tb 定义为流体按质量流率平均的主体温度,虚拟膜模型,T(r),Ts,Tb,dH,将管内流体与固体壁面的对流传热以分子扩散的形式（即傅立叶定律）表达为通过虚拟膜的热传导,式中的虚拟导热系数 kH 和虚拟膜厚都受边界层内流型的影响，而不仅仅是流体物性的函数。,牛顿冷却定律,对流传热膜系数,对流传热膜系数的实验测取,利用牛顿冷却定律来研究湍流传热可以简化实验并使传热模型简洁化，即使没有流体温度场的信息也可以获得对流传热系数，,圆管内层流的对流传热膜系数,代入上式积分,对管内层流传热膜系数 h 的

39、解释： 外缘温度为 Tb 的虚拟膜的厚度为管半径的11/24，虚拟膜内的导热系数就是流体的导热系数 k，与流动状态无关。,鲁塞尔数（Nusselt number）,管内层流传热,传热膜系数的因次分析和相似准则,本问题中7个参数所含的独立基本因次数为4个： 质量M、温度K、时间T和一维线性尺度L。 由 定理可知，独立准数的个数为3 因次分析的结果得到以下面3个数群表达的准数方程,充分发展的光滑圆管内湍流传热膜系数h 的影响因素： 流速 u、密度 、粘度 、导热系数 k、比热 cp 以及管径 d,以幂函数的形式表达为,Nusselt number,Reynolds number,Prandtl n

40、umber,/,传热膜系数的因次分析和相似准则,n 取不同值是由于流体被管壁加热和被壁管冷却时速度边界层与温度边界层厚度之比不同的原因。,对粘度不大于水的 2 倍的牛顿流体在光滑圆管内充分发展湍流条件下（长径比L/d 3040， 0.7Pr160，Re10,000）的传热实验数据进行关联，得到的经验方程是,u0 , T0,u(y),Q,T(y),Q,T(y),H,无因次传热微分方程,对流传热相似准则可以阐述为： 任何两个几何相似的对流传热体系，只要代表流动与传热特征的准数、即传热微分方程的系数 Re 和 Pr 对应相等，则无因次传热微分方程相同； 若两体系无因次传热边界条件和初始条件也对应相同

41、，则无因次温度分布函数在数学上全等，由之确定的其它无因次参数（包括 Nu 数）也对应相等。 这就是工程上应用传热经验方程的数学物理基础和限制条件。,除与流体动力学相关的所有无因次变换而外，还需增加一个无因次剩余温度,【例2-7】,有一10m长的套管换热器，在套管环隙用低压蒸汽加热内管中流动的液态苯。苯的质量通量为200kg/m2s ，平均温度为45，内管内壁温度为55，内管内径为45mm，试计算 (1) 对流传热的热通量； (2) 若苯的流量增加50%，在其他条件相同的情况下，对流传热的热通量提高的倍数。,冷溶液进,热溶液出,低压蒸汽,冷凝水,【例2-7】,解：该例的传热热阻集中在内管一侧。查

42、物性数据手册，45时苯的物性常数为,(1) 苯的质量通量为 200 kg/m2 s 时,【例2-7】,根据题设条件，苯被加热，n 取 0.4，则,取流体平均温度与壁温之差为传热推动力，则热通量为,(2) 其它条件相同，苯的流量增加50%，即Re2/Re1=1.5，则,对流传热膜系数与摩擦因子的类比关系,对流体系热量传递与动量传递具有机理上的类比性 本质：无论分子扩散还是流体微团尺度上的涡流扩散，在同一个局部位置、同一个传递方向上的热量交换与动量交换都依赖于同一质量的流体在该方向上的迁移运动,s 和 qs 又可由 Fanning 摩擦因子定义和牛顿冷却定律表达为,直管内湍流传热,位于湍流核心区的

43、流体微团由于湍动而垂直向壁面迁移 假设迁移质量通量为 m、其初始轴向流速为 u、温度为Tb 到达壁面时与壁面粘附流体同时发生动量交换和热量交换，流速变为零，温度变为Ts 与壁面粘附流体之间的动量交换通量 s 和热量交换通量 qs 为,对流传热膜系数与摩擦因子的类比关系,由两个通量之比可得,注意到上式分母中的平均热通量是以壁温为基准温度的，因此代表了管内流体所具有的向管壁传热的能力或容量。 将上式写为斯坦顿准数（Stanton number）St 的形式,对比 Fanning 摩擦因子 f /2 在动量传递中的物理意义,传热雷诺类比律,上式建立了通过摩擦因子推算传热 Nu 准数的类比关系,对流传

44、热膜系数与摩擦因子的类比关系,将光滑管摩擦因子经验方程代入上式即可得到,St 数的形式,类比过程没有考虑速度边界层和热边界层的不同厚度 对Pr=1的流体，动量扩散系数与热量扩散系数相等，两个边界层厚度也相等；对一般的流体， Pr 数的影响不容忽视 柯尔本（Colburn）等通过实验研究了对流传热 Nu 数与摩擦因子 f 之间的关系,柯尔本类比律,对Pr=1的流体，柯尔本类比律与雷诺类比律一致 用途：根据流体动量传递的研究结果获取热量传递的信息，反之亦然。,传热 j 因子,【例2-8】,用下式定义圆管内对流传热膜系数 h,式中 qs 为通过管壁的热通量，Ti 和 Ts 分别为流体在管中心处和管壁

45、处的温度。 按此定义，试确定圆管内充分发展的层流传热鲁赛尔数(Nu)i,解：由圆管内充分发展的层流传热的温度分布函数及对流传热膜系数的定义求得的管内层流传热 Nu 数为,注意： h 传热推动力：（平均温度Tb - 壁面温度 Ts） hi 传热推动力：（流体温度 Ti - 壁面温度 Ts）,【例2-8】,Nu 与 (Nu)i 之间的关系为：,本例说明：对流传热膜系数或 Nu 数的值与传热温差的定义密不可分。工程上使用传热膜系数的经验公式或实验结果时应注意到这一点。,热传导与固体壁内的温度分布Conduction and temperature distribution in solid wall

46、,传热微分方程的展开式中所有与速度有关的项为零（即物质内部无宏观运动）而成为导热微分方程,导热系数 k：是物质的基本性质，表征物质导热能力的大小，数值上等于在单位温度梯度推动下传导的热通量。 金属：良导体，依靠自由电子迁移传导热能，导热能力大。 非金属：依靠晶格振动传导热能，导热能力远小于金属。 液体：主要依靠分子热振荡导热，通常导热系数远小于固体 （液态金属除外）。 气体：导热机理主要是分子随机热运动，导热系数在三种物质形态中最小。,流体中只要有温度差就会产生自然对流(natural convection)，故严格地说，所有速度项为零的假设条件不能成立，因此导热微分方程对于流体是近似的。,通

47、过平壁的稳定热传导Steady-state conduction through a flat wall,固体稳态导热问题可通过导热微分方程求解 通过平壁的一维稳态导热,平壁稳态导热的温度分布是线性函数 由付立叶定律可知热通量为常数 若 x=0 和 x=b 处的温度分别为 T1 和 T2，则,平壁稳定导热的热流量正比于内外壁面的温差和传热面积，反比于壁厚。,b,x,o,Q,A,T1,T2,通过圆筒壁的稳定热传导Steady-state conduction through a cylinder,通过圆筒壁的一维稳态导热为工程传热问题所常见,圆筒壁稳态一维导热问题在半径方向的温度分布是对数函数,

48、使用柱坐标系，将轴对称的导热微分方程简化为,u,Q,通过圆筒壁的稳定热传导,积分常数 C1、C2 若由圆筒内、外壁面 R1、R2 处的温度T1 、 T2 确定，则,圆筒壁内不同半径位置处的热通量 qr 反比于半径 r,R1,R2,T1,T2,L,Q,通过圆筒壁的稳定热传导,圆筒壁稳定导热的热流量正比于内外壁面的温差和圆筒的对数平均传热面积，反比于壁厚,对数平均传热面积 (logarithmic mean area),热流率 Q 在任意 r 处是常数,【例2-9】,1705mm的蒸汽管外包有一层厚度为80mm的石棉保温材料，钢管和石棉保温材料导热系数分别为k1=45 W/mK和k2=0.21 W

49、/mK。当管内输送的饱和蒸汽温度为180时，测得保温层内壁温度为177，外壁温度为40，试求： (1) 每米管长的热损失； (2) 蒸汽管内壁面温度TW； (3) 保温层距内壁为40 mm 处的温度及温度梯度。,解：(1) 根据已知的保温层材料的导热性质和几何条件，每米管长的热损失为,80,5mm,80mm,177 oC,40 oC,180 oC,TW,【例2-9】,(2) 管壁与保温层系串联导热，通过二者的热流量必相等，设蒸汽管内壁温度为TW ，有,(3) 保温层内 r =170/2+40 = 125 mm 处的温度和温度梯度为,多组分体系的质量守恒与传质微分方程Mass conservat

50、ion and mass transfer differential equation of multicomponent system,总体流动：体系中的各组分以相同速度的流动，由对流引起 质量扩散：由于体系中各组分的浓度不同而引起的各组分的扩散，迭加在总体流动（bulk flow）之上。,质量通量：n kg/(m2s) 组分 i 的质量通量：ni kg/(m2s) 扩散通量：j kg/(m2s) 组分 i 的扩散通量：ji kg/(m2s),对流：wi(u),扩散：ji,通量：ni,质量守恒（Mass conservation）,二元体系中组分 A 的质量通量,费克定律,流动体系的传热与传

51、质是类似的现象，有着类似的机理。 类比于非等温体系传热微分方程的分析方法，对多组分非均匀体系的任意组分 i 进行微分质量衡算，可以导出 i 组分的传质微分方程。,质量守恒（Mass conservation）,i 组分通过对流与扩散与外界净的质量交换速率,x 方向：,y 方向：,z 方向：,i 组分在控制体内的质量累积速率为 ：,i 组分因化学反应而生成的质量速率 ：,x,z,y,z,y,x,o,(x,y),(y,z),uy,uz,ux,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,以 x y z 通除上式并取其趋于零的极限,传质微分方程（Mass t

52、ransfer differential equation）,若以摩尔数为基准，即摩尔浓度 ci，摩尔通量 Ni，摩尔生成速率 Ri ，同样得到 i 组分基于摩尔通量 Ni 的传质微分方程,如果体系内质量扩散只是在浓度梯度推动下发生，则可通过费克定律将传质微分方程表达为浓度梯度的形式。 以A、B两组分体系为例，假定扩散系数DAB为常数，得：,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,以质量浓度为基准的两组分流动体系的传质微分方程,以摩尔浓度为基准的 A 组分传质微分方程：,注意：两种不同浓度基准的传质微分方程中总体流动的流速有不同的含义。 体系中各

53、组分的速度，是体系的总体流速与该组分在体系中的扩散速度两者之和。,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,按质量平均定义的体系总体流速为：,按摩尔平均定义的体系总体流速为：,在传质问题分析中，必须弄清楚所采用的浓度基准以及扩散运动究竟是相对于哪一个总体流速。 如上述两组分体系，A 组分的质量通量和摩尔通量分别为,费克第一扩散定律,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,jA 是相对于总体质量平均速度 u 的质量扩散通量， JA则是相对于总体摩尔平均速度 uM 的摩尔扩散通量。,由于两个总体平均流速物

54、理意义上的差别，不能将基于质量守恒定律推出的结论不加分析地用在基于摩尔浓度的传质微分方程，因为有化学反应的体系总摩尔数不一定守恒。,对于密度 为常数的体系一定有 ，但 却未必等于零。仅当体系的摩尔浓度 c 为常数，即无化学反应或化学反应的结果不改变体系的摩尔数时，根据,由于xA+xB = 1且 RA+RB = 0，上两式相加才有,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,当化学反应速率等于零时，上两式形式上与传热微分方程相同，由此说明了常物性流体内部的传热与传质现象具有类比性，这个性质具有重要的实用意义。,密度 为常数的体系,摩尔浓度 c 为常数的

55、体系,对于无化学反应且总体流速等于零的扩散体系（固体或静止液体中的扩散、等摩尔反方向的气体扩散等）,扩散方程（费克第二定律）,传质微分方程（Mass transfer differential equation）,直角坐标系（x, y, z）,柱坐标系（r, , z）,球坐标系（r, , ）,传质微分方程的应用,常物性二元体系中的一维稳态分子扩散问题,对无化学反应的常物性、稳态、一维分子扩散体系，扩散过程的传质微分方程,由于质量扩散本身有可能使体系产生扩散方向上的总体流动（对流），使 uz0，因此不能像分析导热问题一样令流速全部为零而从传质微分方程推出 2cA = 0 的结论。 当分子扩散方向

56、上的总体流动可以忽略不计，分子质量扩散与固体中的稳态导热问题 2T = 0 才可以类比。 传质问题更加具有多样性。一般需针对体系的传递与化学反应特性，找出传质通量与总体流动的关系，才能求解传质微分方程。,等摩尔反方向分子扩散（Equimolal counterdiffusion）,密闭容器两侧装有温度与压强均相同的A、B两种气体。抽掉隔板后，在浓度梯度的推动下两种气体分子在垂直于隔板的方向上相互扩散。,无总体流动,A,B,AB,AB,P,T = const.,分子扩散,总压相等,两组分混合物恒压蒸馏,z = 0，xA= xA0 z = ，xA= xA,1 摩尔 A 分子由汽相主体通过液面上假想

57、厚度为 的汽膜扩散到液相表面冷凝，放出的热量正好使 1 摩尔 B 分子汽化并反方向通过气膜扩散到汽相主体，汽膜内总体摩尔流率等于零。,如果汽相可视为理想气体,A 组分的浓度分布,o,z,A,B,xA0,xA ,xA(z),假设颗粒表面滞止膜的厚度 远小于颗粒的曲率半径，可简化为平面膜。膜内过程是A和B的等摩尔反方向扩散。稳态下：,若操作控制步骤为A从颗粒表面扩散穿透一层薄液膜到达液体主流，A在液体主流中的浓度为cA 。 试求：浸取操作的速率WA。,【例2-10】,在直径为 D 的浸取装置中用溶剂 B 提取直径为 d 的固体颗粒颗粒中的溶质 A。固定床充填高度 H 内的空隙率为 。A 物质在溶剂

58、 B 中的溶解度为 cA0，扩散系数为 DAB。,边界条件： z = 0，cA= cA0 z = ，cA= cA,H,D,溶剂 B,溶质 A,o,z,A,B,cA0,cA,cA(z),【例2-10】,A 组分的浓度分布,膜内摩尔扩散通量,减小颗粒直径、增加流体的湍动减薄颗粒表面滞止液膜的厚度可提高浸取操作的效率。,空隙率定义,管内任一截面上二元混合物摩尔浓度 c 为常数，A 组分摩尔通量为 NA，B 组分为 NB=0 总体流动通量 N = NA + NB = NA,组分 A 通过静止组分 B 的分子扩散,恒温恒压下，液体 A 以稳定的速率从液面蒸发并通过管内静止的气体组分 B 扩散至管口被稳定流动的干燥气流B带走。,边界条件：z=0，xA=xA0 z=，xA=xA,补充液体A,z = 0,液体A,dz,气流B,组分 A 通过静止组分 B 的分子扩散,直接积分可以确定,组分A的浓度分布函数,令静止组分B的对数平均浓度为,根据 xA+xB1 的关系，xA 和 xB 沿传质方向的分布,气-液相界面,z = 0,z = ,0,1.0,xA,0,1.0,xB,xB,xB0,xB(z),xA(z),xA,xA0,组分 A 通过静止组分 B 的分子扩散,对于理想气体,共同点为无论以何种推动力的形式表达，传质