线性代数04-矩阵及其运算ppt课件

1、第二章 矩阵及其运算,1,1 矩阵,一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换,2,例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.,B,A,C,D,城市间的航班图情况常用表格来表示:,一、矩阵概念的引入,3,为了便于计算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：,A B C D,A B C D,这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.,4,其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量,例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为：,这四种货物的单价

2、及单件重量也可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,一 二 三,1 2 3 4,5,由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵(matrix)这个数表 是一个整体，用括号将数表括起来，,记作,二、矩阵的定义,6,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵，,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,这 mn 个数称为矩阵 A 的元素，简称为元. 其中数 称为矩阵的第 行第 列的元素.,7,行数不一定等于列数 共有mn个元素 本质上就是一个数表,行数等于列数 共有n2个元素 本质上就是一个数,矩阵,行列式,8,2

3、矩阵的运算,9,例 某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店 发送货物的数量可用数表表示：,试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量,其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量,10,解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量,11,一、矩阵的加法,定义：设有两个 mn 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB，规定为,说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,12,知识点比较,13,矩阵加法的运算规则,设 A、B、C 是同型矩阵,设矩阵

4、A = (aij) ，记 ，称为矩阵 A 的负矩阵 显然,14,例如,15,16,设工厂向某家商店发送四种货物各 l 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量,例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,17,解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量,其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量,18,二、数与矩阵的乘法(矩阵的数乘),定义：数 l 与矩阵 A 的乘积记作 l A 或 A l ，规定为,一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元

5、素,19,例如,20,数乘矩阵的运算规则,设 A、B是同型矩阵，l , m 是数,矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.,21,例,设,求,解,22,知识点比较,23,例（续） 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物 数量可用数表表示为：,24,这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：,试求：工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少？,25,26,三、矩阵的乘法,定义：设 ， ，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 ，其中,并把此乘积记作 C = AB,说明： 的 元 就是 的第 行元素与 的 第 列元素对应乘积之和.,27,例：设,则,28,特别注意:

6、 乘积不可交换,可乘的前提是 的列数等于 的行数，否则不可乘.,没有意义.,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,29,乘积一般不可以交换，,例如,30,例,得出 或 的结论.,矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵相乘时必须注意顺序,31,矩阵乘法的运算规律,(1) 乘法结合律,(3) 乘法对加法的分配律,(2) 数乘和乘法的结合律 （其中 l 是数）,(4),左分配律,右分配律,32,定义 若 A 是 n 阶方阵，定义,性质,四、矩阵的幂,特别注意,若A与B可交换(即AB=BA), 则以上不等式将变成等式.,33,五、矩阵的转置,定义：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到

7、的新矩阵，叫做 的转置矩阵(Transpose)，记作AT .,例,设A= ( ) ，AT= ( ) ,则 = （=,;=,）,34,转置矩阵的运算性质,35,例：已知,解法1,36,解法2,37,3 几种特殊的矩阵,38,同型矩阵与矩阵相等的概念,两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,两个矩阵 与 为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .,39,注意：不同型的零矩阵是不相等的.,例如,40,行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵可记作 . 只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量) . 只有一列的矩阵 称为列矩阵(

8、或列向量) . 元素全是零的矩阵称为零距阵可记作 O .,例如：,一、特殊的矩阵,41,形如 的方阵称为对角阵 特别的，方阵 称为单位阵,记作,记作 ,对于单位矩阵，有,42,5. 数量矩阵(纯量矩阵)：不在对角线上的元素都是0， 对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩阵， 又称纯量矩阵，用 表示， 即,43,6. 如果n阶矩阵 中的元素满足条件，,则称A为n阶上三角形矩阵，即,如果n阶矩阵 中的元素满足条件，,则称B为n阶上三角形矩阵，即,44,7. 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 ，即 那么 A 称为对称矩阵.,如果满足 A = AT，那么 A 称为反对称矩阵.,对称矩阵,反对称矩阵,4

9、5,两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵吗？,两个对称矩阵的乘积不一定还是对称矩阵,结论：A和B是两个对称矩阵，AB是对称的当且仅当A与B 可交换(即AB = BA)。,46,例：设列矩阵 X = ( x1, x2, , xn )T 满足 X T X = 1，E 为 n 阶单位阵，H = E2XXT，试证明 H 是对称阵，且 HHT = E.,证明：,从而 H 是对称阵,47,二、方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式(determinant)，记作|A|或detA.,设,则,48,运算性质,转置后，行列式不变。 行列式的基本性质,(2)设A是n阶矩阵，则,49,(2)设A是