高考数学一轮复习题库：第八章立体几何8_7空间向量的应用练习

1、课时作业课时作业 41空间向量的应用空间向量的应用 一、选择题 1平面 经过三点 A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面 的法向 量不垂直的是() A. B(6，2，2) ( 1 2，1，1) C(4,2,2) D(1,1,4) 2已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且 BP平AB BC AB BC BP 面 ABC，则实数 x，y，z 分别为() A.，4 B.，4 33 7 15 7 40 7 15 7 C.，2,4 D4， ，15 40 7 40 7 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 A1C1的中点，则异面直线

2、CE 与 BD 所成 的角为() A30B45C60D90 4已知 a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4，1)若 c 与 a 及 b 都垂直， 则 m，n 的值分别为() A1,2 B1，2 C1,2 D1，2 5如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的 点，A1MAN，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是() 2a 3 A相交 B平行C垂直 D不能确定 6在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n(2，2,1)，已知点 P( 1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于()

3、 A4 B2 C3 D1 7如图，平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩形， 且 AF ADa，G 是 EF的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为() 1 2 A. B. C. D. 6 6 3 3 6 3 2 3 二、填空题 8已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小 为_ 9如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，ABBCAA1，ABC 90，点 E，F 分别是棱 AB，BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成角的大小是_ 10已知 PD正方形 ABCD 所在平面，

4、PDAD1，则点 C 到平面 PAB 的距离 d _. 三、解答题 11 (2013 届湖南师大附中月考)如图， 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD 底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点 (1)证明：PA平面 BDE； (2)在棱 PB 上是否存在点 F，使 PB平面 DEF？证明你的结论 12(2012 课标全国高考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC AA1，D 是棱 AA1 1 2 的中点，DC1BD. (1)证明：DC1BC； (2)求二面角 A1BDC1的大小 参考答案参考答案 一、选择题 1D解析：解析：(2,1,1)，(3，1，1)

5、，AB uu u r AC uuu r 设平面 的法向量为 n(x，y，z) 20, 30, ABxyz ACxyz n n uu u r uuu r 得Error! 取 y1，则 n(0,1，1) D 选项中(1,1,4)(0,1，1)1430.故选 D. 2B解析：解析：352z0，z4.AB uu u r BC uu u r AB uu u r BC uu u r 又 BP平面 ABC， x15y60，BP uur AB uu u r 3x3y3z0，BP uur BC uu u r 由得 x，y. 40 7 15 7 3D解析：解析：以 D 点为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长

6、为 1，则相关点的坐标为 C(0,1,0)，E，B(1,1,0)，D(0,0,0)， ( 1 2， 1 2，1) ，CE uur ( 1 2， 1 2，1) (1，1,0)BD uuu r 00.CE uur BD uuu r 1 2 1 2 ，即 CEBD.来源:Zxxk.ComCE uur BD uuu r 4A解析：解析：c(m，m，m)(0,2n，n)(4，4,1)(m4，m2n4，mn 1) c 与 a 及 b 都垂直， Error! 即Error! 即Error!解得Error! 5B解析：解析：分别以 C1B1，C1D1，C1C 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标 系

7、A1MANa， 2 3 M，N. (a， 2 3a， a 3) ( 2 3a， 2 3a，a) .MN uuu r ( a 3，0， 2 3a) 又 C1(0,0,0)，D1(0，a,0)， (0，a,0) 11 C D uuuu r 0.MN uuu r 11 C D uuuu r MN uuu r 11 C D uuuu r 是平面 BB1C1C 的法向量， 11 C D uuuu r 且 MN平面 BB1C1C，来源:学*科*网 Z*X*X*K MN平面 BB1C1C.来源:Z,xx,k.Com 6B解析：解析：(1,3,2)，|，OP uu u r OP uu u r 19414 |c

8、os，n|.d2.OP uu u r | | OP OP n n uu u r uu u r | 262 14 3| 14 7 14 7 14 7C解析：解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，(a，a,0)，AG uuu r AC uuu r (0,2a,2a)，(a，a,0)，(0,0,2a)，BG uuu r BC uu u r 设平面 AGC 的法向量为 n1(x1，y1,1)， 由Error!Error!n1(1，1,1) 1 1 0, 0 AG AC n n uuu r uu

9、u r sin . 1 1 | BG BG n n uuu r uuu r 2a 2a 3 6 3 二、填空题 845或 135解析：解析：cosm，n， mn |m|n| 1 2 2 2 m，n45.二面角为 45或 135. 960解析 ：解析 ： 分别以 BA，BC，BB1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设 AB 1， 则 B(0,0,0)，E，F，C1(0,1,1)， ( 1 2，0，0) (0，0， 1 2) ，(0,1,1)EF uu u r ( 1 2，0， 1 2) 1 BC uuu r cos， ，EF uu u r 1 BC uuu r 1 1 | EF BC

10、 EFBC uu u r uuu r uu u ruuu r 1 2 2 2 2 1 2 直线 EF 和 BC1所成角的大小为 60. 10.解析：解析：以 D 为原点，以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如 2 2 图所示的空间直角坐标系 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)， (1,0,1)，(0,1,0)，(1,1,0)，(0，1,1)AP uu u r AB uu u r AC uuu r CP uur 设平面 PAB 的法向量为 n(x，y，z)， 即Error! 0, 0, AP AB n n uu u r uu u

11、 r 令 x1，则 z1，n(1,0,1) d. |ACn n uuu r |1| 2 2 2 三、解答题 11解：解法一：(1)连结 AC，设 AC 与 BD 交于 O 点，连结 EO. 由底面 ABCD 是正方形，知 O 为 AC 的中点， 又 E 为 PC 的中点， OEPA.来源:学_科_网 OE平面 BDE，PA平面 BDE， PA平面 BDE. (2)作 EFPB 于点 F， 则 RtPEFRtPBC，. PE PB PF PC 设 PDa， PFPBPEPCaaa2，连结 DF， 2 2 2 在PBD 中，PDB90，PFPBa2PD2， PBDF. 从而 PB平面 DEF，此时

12、 PFa PB，来源:学。科。网 Z。X。X。K a2 PB a2 3a 3 3 1 3 即在棱 PB 上存在点 F，PF PB，使得 PB平面 DEF. 1 3 解法二：(1)以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系， 设 PDDC2，则 A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，(2,0，2)，PA uu r DE uuu r (0,1,1)，(2,2,0)，DB uuu r 设 n1(x，y，z)是平面 BDE 的一个法向量， 则由得Error! 1 1 0, 0 DE DB n n uuu r u

13、uu r 取 y1，得 n1(1，1,1) n1220，PA uu r n1.PA uu r 又 PA平面 BDE， PA平面 BDE. (2)(2,2，2)，(0,1,1)，PB uur DE uuu r 0220，PB uur DE uuu r PBDE. 假设棱 PB 上存在点 F，使 PB平面 DEF， 设(01)，PF uu u r PB uur 则(2，2，2)，(2，2，22)，PF uu u r DF uuu r DP uuu r PF uu u r 由0 得 42422(22)0，PF uu u r DF uuu r (0,1)，此时 PF PB，即在棱 PB 上存在点 F，

14、PF PB，使得 PB平面 1 3 1 3 1 3 DEF. 12解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形 由于 D 为 AA1的中点，故 DCDC1. 又 AC AA1，可得 DC12DC2CC12， 1 2 所以 DC1DC. 而 DC1BD，DCBDD，所以 DC1平面 BCD. BC平面 BCD，故 DC1BC. (2)由(1)知 BCDC1，且 BCCC1， 则 BC平面 ACC1， 所以 CA，CB，CC1两两相互垂直 以 C 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间CA uu r CA uu r 直角坐标系 Cxyz. 由题意知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2) 则(0,0，1)，(1，1,1)，