高考数学专题复习（精选精讲）练习7-球习题精选精讲

1、球面距离的计算经典范例球面距离的计算经典范例 1位于同一纬度线上两点的球面距离 例 1 已知，B 两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B 的球面距离 分析：要求两点，B 的球面距离，过，B 作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图 1） ，而要求 往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离 解 作出直观图（见图 2） ，设为球心，为北纬圈的圆心，连结，由于地轴平 面 与为纬度，为二面角的平面角 （经度差） 中， 中，由余弦定理， 中，由余弦定理： ， 的球面距离约为 2位于同一经线上两点的球面距离 例 2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B

2、 的球面距离 （设地球半径为） （见图 3） 解 经过两地的大圆就是已知经线 ， 3位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例 3 地位于北纬，东经，B 地位于北纬，东经，求，B 两地之间的球面距离 （见图 4） 解 设为球心，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结， 中，由纬度为知， ， 中， ， 注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公 式 （为经度差） 中， 的球面距离约为 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题 是求地球上两点的球面距离。对于地球上过

3、 A、B 两点大圆的劣弧长由球心角 AOB 的大小确定，一般地是先求弦长 AB，然后在等腰AOB 中求AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为 负（如西经 30为经度=-30，南纬 40为纬度=-40 ） ，这样简单自然，记球面上一点 A 的球面坐标为 A（经度，纬度） ，两标定 点，清晰直观。 设地球半径为 R，球面上两点 A、B 的球面坐标为 A（1，1） ，B（2，2） ，1、2-，1、2-，如图， 2 2 设过地球 O 的球面上 A 处的经线与赤道

4、交于 C 点，过 B 的经线与赤道交于 D 点。设地球半径为 R； AOC=1，BOD=2，DOC=1- 2。 另外，以 O 为原点，以 OC 所在直线为 X 轴，地轴所在直线 ON 为 Z 轴建立坐标系 O-XYZ（如图） 。则 A（Rcos1,0,Rsin1） ,B(Rcos 2cos（1-2）,Rcos2sin（1-2）,Rsin2) cosAOB =cosOA，OBOA，OB=cos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 AOB=arcoscos1cos2cos（1-2）+sin1sin2 其中反余弦的单位为弧度。 于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式地球上两点球面距离公式：

5、 =Rarcoscos=Rarcoscos1 1coscos2 2cos（cos（1 1-2 2）+sin）+sin1 1sinsin2 2 （I） （I） AB 上述公式推导中只需写出 A，B 两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明 显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。 由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦 AB，只需两点的经纬度即可。 公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B 两点的经度或纬度相同时，有： 1、1=2=，则球面距离公式为： =Rarcoscos2cos（1-2）+sin2 （I

6、I）BA 2、1-2=，则球面距离公式为： =Rarcos（cos1cos2+sin1sin2）=Rarcoscos（1-2） （III）BA 例1、设地球半径为 R，地球上 A、B 两点都在北纬 45的纬线上，A、B 两点的球面距离是R，A 在东经 20，求 B 点的位置。 3 分析：1=20，1=2=45，由公式（II）得： R= Rarcoscos245cos（20-2）+sin245 3 cos= cos（20-2）+ 3 2 1 2 1 cos（20-2）=0, 20-2=90即：2=110或2=-70 所以 B 点在北纬 45，东经 110或西经 70 球球 1一个球的内接正方体（

7、正方体的顶点都在球面上）的表面积为 6，则球的体积为_ 由 已 知 得 正 方 体 棱 长 为 1 ， 因 球 的 直 径 等 于 正 方 体 的 对 角 线 长 ， 所 以 直 径， 球 体 积32 r 2 3 r 2 3 2 3 3 4 3 4 3 3 rV 2在赤道上，东径 140与西径 130的海面上有两点 A、B，A、B 的球面距离是_（设地球半径为 R） 设球心为O， A、B 在赤道这个大圆上， AOB（180140）+（180130）90， ， A、B 2 AOB 的球面距离为R 2 3设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） 2 cm24 A B C D

8、 3 4 3 cm 3 8 3 cm 3 32 3 cm6 3 cm A由正方体全面积为，则棱长为 2cm，内切于正方体的球的直径为 2cm，则球的半径为 1，其体积为 2 cm24 3 4 1 3 4 3 3 cm 4一个正方体的顶点都在球面上，其棱长为 2cm，则球的表面积为（） A8 B12 C16 D20 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm B球的直径与正方体的对角线长相等， ， ，球表面积232R3R12)3(4 2 S)(cm2 5设地球半径为 R，在北纬 60圈上有 A、B 两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是（） 2 R A B C DR 4 3 R 3 R

9、5 7 R2 B如图答 9-70，设北纬 60圈的圆心为，球心为 O， O 则， A、B 在纬度圈上的弧长为， 2 60cos R RBOAOR 2 则， A、B 三点共线， OAOB， 2 1 2 R R BOA O 60AOO AOB 是正三角形， ， A、B 的球面距离等于 3 AOBR 3 6一个正方体的内切球与它的外接球的体积比是（） A1 B1 C1 D133223 8 3 4 2 A设正方体的棱长为 2a，则其内切球半径为 a，外接球半径为，二球体积比为a3331 )3( 1 )3( 3 4 3 4 3 3 3 : a a 7球面上有 A、B、C 三点，ABBC2cm，球心 O

10、到截面 ABC 的距离等于球半径的一半，求球的体积cm22AC A、B、C 是球面上三点， OAOBOC设截面圆圆心为，则平面 ABC， ， 是 1 O 1 OOCOBOAO 111 1 O ABC 的外接圆圆心 ABBC2， ， ABC 是直角22AC 222 ACBCAB 在中，OAR， 有，解得，OAO190 1A OO2 1 AO 2 1 R OO 2 2 2 2 )2(R R 3 8 2 R ， 3 62 R 球体积 27 664 3 62 3 4 3 V)cm( 3 8半径为 1 的球面上有三点 A、B、C，其中 A 和 B、A 和 C 的球面距离为，B 和 C 的球面距离为，求球

11、心到平面 ABC 的距离 2 3 3设球心为 O，由球面距离的定义可知， 2 AOB 2 AOC 3 BOC OAOB，OAOC， OA平面 BOC 三棱锥 OABC 的体积 12 3 1 4 3 3 1 V 在ABC 中，, ,BC1，取 BC 中点 M，则 AMBC，2AB2AC 2 1 MB 2 7 AM 设点 O 到平面 ABC 的距离为 h， ， ， BOCAABCO VV 12 3 2 1 3 1 hBCAM 即点 O 到平面 ABC 的距离为 7 21 7 3 h 7 21 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系：， （计算公式）rRd 22 （3）

12、球的截面是圆面： 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。 9. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为 r 的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出 球后水面的高度。 解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形 ABP，设球心为 O，PC 为圆锥的高，取出球后，水面为 EF，其高度为 PH，连结 OC、OA。 则 OCrOArABrPCr，22 33VBCPCr PABC 1 3 3 23 。， 又Vr 球 4 3 3 Vr 球 4 3 3 VVV r P EFPABC锥锥球 5 3 3 PH PC V V P EF PABC 3 3 5 9 锥 锥 。 故取出

13、球后水面高为。PHPCrPHr 3333 5 9 1515，15 3 r 10. 在北纬 45的纬度圈上有 A、B 两点，它们分别在东经 70与东经 160的经度圈上，设地球的半径为 R，求 A、B 两点的球面距离。 分析：要求 A、B 两点间球面距离，要把它放到AOB 中去分析，只要求得AOB 的度数，AB 的长度，就可求球面距离。 解：设北纬 45圈的圆心为 O，地球中心 为 O，则AOB=16070=90 OBO=45，OB=R ORABRAOABB = OA = 2 2 ，连结、 则 故 A、B 两点间球面的距离为。AOBOABRAOB，60ABRR 1 6 2 1 3 1 3 R 1

14、1已知地球的半径为 ，球面上 两点都在北纬 45圈上，它们的球面距离为 ， 点在东经 30上，求 点的位置及 两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度 分析：求点 的位置，如图就是求 的大小，只需求出弦 的长度对于 应把它放在 中求解，根据球面距离概念计算即可 解：如图，设球心为 ，北纬 45圈的中心为 ， 由 两点的球面距离为 ，所以 = ， 为等边三角形于是 由 ， 即 = 又 点在东经 30上，故 的位置在东经 120，北纬 45或者西经 60，北纬 45 两点在其纬线圈上所对应的劣弧 说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案 12自半径为 的

15、球面上一点 ，引球的三条两两垂直的弦 ，求 的值 分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系， 便于将球的条件与之相联 解：以 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方 体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径 = 说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算 *例 7把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个 球的最高点与桌面的距离 分析：关键在于能根据要求构造出相应

16、的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为 两球半径之和 2 解：由题意，四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点，则正四面体的高 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径 1，且三个球心到桌面的距离都为 1，故第四个球的最高点与桌面的距离为 13. 一 个 球 的 半 径 为R ， A 、 B是 球 面 上 的 两 个 点 ， 如 果A 、 B沿 球 面 的 最 短 距 离 为 1 3 R，求过 、 两点的平面到球心的最大距离。AB 解： ABRO （设球心为 ）球面 1 3 AOB R R 1 3 3 要使 O 到平面 ABO的距离最长（O

17、为过 AB 的圆的圆心） ，只须过 A、B 的小圆最小，即 AB=2r 在中，O OBOBR 则OOOBRcos30 3 2 即所求最大距离为 3 2 R A O B O 30o 14. 设 A、B 是地球北纬 60o圈上两点，点 A、B 的经度分别是东经 40o和西经 20o，求 A、B 两点的球面距离。 解：设 O为北纬 60o圈所在圆圆心，r 为半径，地球半径为 R 在中，AO OAO OAORAOO9030 O ArR 1 2 又AO B402060 ABrR 1 2 在中，AOBAOB2 1 4 arcsin 于是 球面ABR 2 1 4 arcsin O 30oB AO 小结： 1

18、 在小圆中求的长AB 2解三角形，求AOBAOB 3用弧长公式，求 球面lRAB 15. 求棱长为 a 的正四面体内切球的体积。 解：设正四面体 ABCD 高为 AO=h，内切球心为 O，半径为 r 则O Baa 2 3 3 2 3 3 在中，Rt AO BAOABBOaaa() 2222 3 3 6 3 VV ABCDO BCD 4 即 1 3 4 3 1 4 6 12 ShSrrha Vra 内切球 4 3 6 216 33 A O D B C O 注：正四面体外接球与内切球半径之比为 3：1。 16. 在球面上有四个点 P、A、B、C，若 PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC

19、=a，求这个球的体积和表面积。 解：设过 P、A、B 三点的圆为圆 O1 【关于“球”的常见问题】【关于“球”的常见问题】 问题：问题： 地球半径为 R，A、B 两地都在北纬 45线上，且 A、B 的球面距离为 ，求 A、B 两地经度的差. 解答:分析 ：解答:分析 ： 如图，O 为球心，O1为北纬 45小圆的圆心，知 A、B 的球面距离，就可求得AOB 的弧度数，进而求得线段 AB 的长，在 AO1B 中，AO1B 的大小就是 A、B 两地的经度差. 解解 设 O1是北纬 45圈的中心，A、B 都在此圈上，O1AO1B R.A、B 的球面距离为 ， AOB ,AOB 为等边三角形. ABR，

20、在 AO1B 中，O1A2+O1B2 R2+ R2R2AB2， AO1B90.A、B 两地的经度差是 90. 评析：评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题. 问题：问题：已知圆锥的母亲长为 l，母线对圆锥底面的倾角为 ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方 体的体积. 解答:解答: 解解 设球半径为 R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接 OA，OAD ，RODADtan ,VAl,ADlcos,R lcostan ,又设正方体棱长为 x，则 3x2EG24R2,x R.V正方体 (lcostan )3. 问题：问题：如图，过半径为

21、 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥 PABC 的体积的 最大值. 解答:分析 ：解答:分析 ： 先选其中两条弦 PA、PB，设其确定的平面截球得O1，AB 是O1的直径，连 PO1并延长交O1于 D，PADB 是矩形，PD2AB2 PA2+PB2，然后只要证得 PC 和 PD 确定是大圆就可以了. 解解 (1)设过 PA、PB 的平面截球得O1，PAPB， AB 是O1的直径，连 PO1并延长交O1于 D，则 PADB 是矩形，PD2PA2+PB2. 设 O 为球心，则 OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC

22、，因此过 PC、PD 的平面经过球心 O，截球得大圆，又 PCPD.CD 是 球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值. (2)设 PA、PB、PC 的长分别为 x、y、z，则三棱锥 PABC 的体积 V xyz， V2 x2y2z2 ( )3 R6.V R3.即 V最大 R3. 评析：评析：定值问题可用特殊情况先“探求” ，如本题(1)若先考虑 PAB 是大圆，探求得定值 4R2可为(1)的证明指明方向. 球面上任一点对球的直径所张的角等于 90，这应记作很重要的性质. 问题：问题：求棱长为 a 的正四面体的外接球和内切球的半径. 解答:解解答:解 如图，作 AH底

23、面 BCD 于 H，则 AH a，设内切球的球心为 O，半径为 r，O 点与 A、B、C、D 相连，得四个锥体， 设底面为 S，则每个侧面积为 S，有 4 Sr SAH，r AH a,设外接球心为 O，半径 R，过 A 点作球的半径交底面 CD 于 H，则 H 为圆 BCD 的圆心，求得 BH a,AH a,由相交弦定理得 a(2R- a)( a)2.解得 R a. 问题：问题：球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过 3 个点的小圆的周长为 4，那么这个球的半径为 ( ) A.4 B.2 C.2 D. 解答:解解答:解 设球半径为 R，小圆半径为 r，则 2r4,r2.如图，设三点 A、B、C，O 为球心，AOBBOCCOA ，又OA OBAOB 是等边三角形同理，BOC、COA 都是等边三角形，得 ABC 为等边三角形. 边长等于球半径 R，r 为 ABC 的外接圆半径. r AB R R r2 应选 B. 问题：问题：已知球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且 ABBCCA2，则球表面积是( ) A. B. C.4 D. 解答:解解答:解 如图，过 ABC 三点的截面圆的圆心是 O，球心是 O，连结 AO