高考数学专题复习（精选精讲）练习3-数列通项公式习题精选精讲

1、数列通项公式的求法数列通项公式的求法 几种常见的数列的通项公式的求法 一 观察法一 观察法 例例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）, 17 16 4, 10 9 3, 5 4 2, 2 1 1, 5 2 , 2 1 , 3 2 , 1, 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 解：（1）变形为：1011，1021，1031，1041， 通项公式为：110 n n a （2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数 n 的关系。 ; 1 2 2 n n nan; 1 2 n an 1 ) 1( 1 n n a n n

2、二、公式法二、公式法 例例 2： 已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1)2，且 a1 = f (d 1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； 解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又 b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，bn

3、=bqn1=4(2)n1 2 2 1 3 )2( q q b b 例例 1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） n a 432 aaa 432 aaa (A) (B) (C) (D) 122 nan42nan122 nan102 nan 解析解析：设等差数列的公差位 d，由已知， 123 48)()( 3 333 a daada 解得，又是递减数列， ， ，故选(D)。 2 4 3 d a n a2d8 1 a)2)(1(8nan102 n 例例 2. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 n a1 1 a10 q n b 21 nnn a

4、ab n b 解析解析：由题意，又是等比数列，公比为 321 nnn aab n aq ，故数列是等比数列， q aa aa b b nn nn n n 21 321 n b) 1( 2 11321 qqqaqaaab) 1() 1( 1 qqqqqb nn n 点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法叠加法 例例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。 解 易知 , 12 1 naa nn , 3 12 aa, 5 23 aa , 7 34 aa, 12 1 naa nn 各式相加得) 12(753

5、1 naan)(5 2 Nnnan 点评 ： 一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。)( 1 nfaa nn )()2() 1 (nfff 例例 4. 若在数列中，求通项。 n a3 1 anaa nn 1n a 解析解析：由得，所以，naa nn 1 naa nn 1 1 1 naa nn 2 21 naa nn 1 12 aa 将以上各式相加得：，又所以 =1)2() 1( 1 nnaan3 1 a n a3 2 ) 1( nn 四、叠乘法四、叠乘法 例例 4：在数列中， =1, (n+1) =n，求的表达式。 n a 1 a 1n a n a n a 解：由(

6、n+1)=n得，= = 所以 1n a n a 1 1 n n a a n n 1 a an 1 2 a a 2 3 a a 3 4 a a 1n n a a nn n11 4 3 3 2 2 1 n an 1 例 4. 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。 n a 3 1 1 an n S n a nn annS) 12( n a 解析：首先由易求的递推公式： nn annS) 12( 12 32 ,)32() 12( 1 1 n n a a anan n n nn 将上面 n1 个等式相乘得： 5 1 12 52 1 2 2 1 a a n n a a n n . ) 12( 1

7、2( 1 ) 12)(12( 3 57)32)(12)(12( 13)72)(52)(32( 1 nn a nnnnn nnn a a n n 点评：一般地，对于型如=(n)类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。 1n af n a)()2() 1 (nfff 五、五、Sn法法利用 (2) 1 nnn SSan 例例 5：已知下列两数列的前 n 项和 sn的公式，求的通项公式。 （1）。 （2） n a n a 1 3 nnSn 1 2 nsn 解： （1）=3111 11 Sa n a 1 nn SS1) 1() 1() 1( 33 nnnn23 2 nn 此时，。=3为所求数列的通

8、项公式。 11 2Sa n a23 2 nn （2），当时 0 11 sa2n12 1) 1() 1( 22 1 nnnssa nnn 由于不适合于此等式 。 1 a )2(12 ) 1(0 nn n an 点评：要先分 n=1 和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。2n 六、待定系数法：六、待定系数法： 例例 6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式 cn n c 解：设 1 ) 1( n n bqdnac 1 3 2 2 1 1 1 2 123 72 4 2 n n nc a b d q bqda bqda bqd

9、a ba 例 6. 已知数列中， n c b b c 1 1 b b cbc nn 1 1 其中 b 是与 n 无关的常数，且。求出用 n 和 b 表示的 an的关系式。1b 解析：递推公式一定可表示为 的形式。由待定系数法知： )( 1 nn cbc b b b 1 ) 1 ( 1 , 1 , 1 2 1 22 b b cb b b c b b b nn 故数列是首项为，公比为的等比数列，故 2 1b b cn 11 2 2 2 1 b b b b cb 1 111 2 1 2 1 1 2 2 2 b bb c b b b b b b b c n n n n n 点评：用待定系数法解题时，常

10、先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则 n a ，（b、为常数） ，若数列为等比数列，则，。cbnancnbnsn 2 n a 1 n n Aqa) 1, 0(qAqAAqs n n 七、辅助数列法七、辅助数列法 例例 7：已知数的递推关系为，且求通项。 n a12 1 nn aa1 1 a n a 解： 令则辅助数列是公比为 2 的等比数列12 1 nn aa) 1(21 1 nn aa1 nn ab n b 即 1 1 n n qbb nn n qaa2) 1(1 1 1 12 n n a 例例5.在数列中，求。 n a1 1 a2 2 a nnn aa

11、a 3 1 3 2 12 n a 解析解析：在两边减去，得 nnn aaa 3 1 3 2 12 1n a)( 3 1 112nnnn aaaa 是以为首项，以为公比的等比数列，由累加法得 nn aa 1 1 12 aa 3 1 1 1 ) 3 1 ( n nn aa = = n a 112211 )()()(aaaaaaa nnnn 2 ) 3 1 ( n 3 ) 3 1 ( n 11) 3 1 ( 3 1 1 ) 3 1 (1 1 n 1) 3 1 (1 4 3 1 n1 ) 3 1 ( 4 3 4 7 n 例例 8： 已知数列中且（） ，求数列的通项公式。 n a1 1 a 1 1 n

12、n n a a aNn 解： ， 设，则 1 1 n n n a a a1 111 1 nn n n aa a a n n a b 1 1 1 nn bb 故是以为首项，1 为公差的等差数列 n b1 1 1 1 a bnnbn) 1(1 nb a n n 11 点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。 利用递推关系求数列通项的九种类型及解法利用递推关系求数列通项的九种类型及解法 1.形如型1.形如型)( 1 nfaa nn （1）若 f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.daa nn 1n adna) 1( 1 （2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.

13、 方法如下： 由 得：)( 1 nfaa nn 时，2n) 1( 1 nfaa nn ，)2( 21 nfaa nn )2( 23 faa ) 1 ( 12 faa 所以各式相加得 ) 1 ()2()2() 1( 1 ffnfnfaan 即：. 1 1 1 )( n k n kfaa 为了书写方便，也可用横式来写： 时，2n) 1( 1 nfaa nn 112211 )()()(aaaaaaaa nnnnn =. 1 ) 1 ()2()2() 1(affnfnf 例 1. （2003 天津文） 已知数列an满足,)2(3, 1 1 1 1 naaa n n n 证明 2 13 n n a 证明

14、：由已知得：故,3 1 1 n nn aa 112211 )()()(aaaaaaaa nnnnn = . 2 13 1333 21 n nn 2 13 n n a 例 2.已知数列的首项为 1，且写出数列的通项公式. 答案： n a * 1 2 () nn aan nN n a1 2 nn 例 3.已知数列满足，求此数列的通项公式. n a3 1 a)2( ) 1( 1 1 n nn aa nn 答案： n an 1 2 评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.aa 1 )( 1 nfaa nn n a 若 f(n)是关于 n 的一次函数

15、，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。 例 4.已知数列中, 且,求数列的通项公式. n a0 n a)( 2 1 n nn a n aS n a 解:由已知得,)( 2 1 n nn a n aS)( 2 1 1 1 nn nnn SS n SSS 化简有,由类型(1)有,nSS nn 2 1 2 nSSn32 2 1 2 又得,所以,又, 11 aS 1 1 a 2 ) 1( 2 nn Sn0 n a 2 ) 1(2 nn

16、 sn 则 2 ) 1(2) 1(2 nnnn an 此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如型2.形如型)( 1 nf a a n n （1）当 f(n)为常数，即：（其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列，=.q a a n n 1 n a 1 1 n qa （2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由得 时，)( 1 nf a a n n 2n) 1( 1 nf a a n n =f(n)f(n-1). 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 1 ) 1 (af 例 1.设是首项为 1 的正项数列，且（=1，2， 3，） ，则它的通

17、项公式是=_. n a01 1 22 1 nnnn aanaann n a 解：已知等式可化为：0) 1()( 11 nnnn naanaa ()(n+1), 即0 n a * Nn0 1 nn naa 1 1 n n a a n n 时，2n n n a a n n 1 1 =. 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 1 2 1 1 21 n n n n n 1 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求 n a 1n a n a 1n a 出. n a 例 2.已知,求数列an的通项公式.1

18、, 1 11 annaa nn 解：因为所以, 1 1 nnaa nn ,1 1 nnaa nn 故又因为,即，),1(1 1 nn ana1 1 a01 1 a 所以由上式可知,所以,故由累乘法得 01 n an a a n n 1 1 1 ) 1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1 1 a a a a a a a a a a n n n n n =) 1()!1() 1(12)2() 1( 11 anann 所以-1. n a) 1()!1( 1 an 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为, 1 1 nnaa nn 若令,则问题进一步转化为形式，进而

19、应用累乘法求出数列的通项公式.),1(1 1 nn ana1 nn ab nn nbb 1 3.形如型3.形如型)( 1 nfaa nn （1）若（d 为常数） ，则数列为“等和数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;daa nn 1n a （2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)( 1 nfaa nn ，分奇偶项来分求通项.) 1()( 11 nfnfaa nn 例 1. 数列满足, ,求数列an的通项公式. n a0 1 anaa nn 2 1 分析 1：构造 转化为型)( 1 nfaa

20、nn 解法 1：令 n n n ab) 1( 则.naaaabb n nn n n n n n nn 2) 1()() 1() 1() 1( 1 1 1 1 1 1 时,2n 0 12) 1( )2(2) 1( ) 1(2) 1( 11 2 12 1 21 1 ab bb nbb nbb n nn n nn 各式相加:1) 1(2) 1()2() 1() 1() 1(2 231 nnb nn n 当 n 为偶数时，.n n nbn 2 2 ) 1() 1(2 此时nba nn 当 n 为奇数时，1) 2 1 (2 n n bn 此时,所以. nn ab1 nan 故 ., , 1 为偶数 为奇

21、数 nn nn an 解法 2：naa nn 2 1 时，2n) 1(2 1 naa nn 两式相减得：. .2 11 nn aa 构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列;, 531 aaa 1 a 构成以,为首项，以 2 为公差的等差数列, 642 aaa 2 a 22) 1( 112 kdkaa k .kdkaa k 2) 1( 22 ., , 1 为偶数 为奇数 nn nn an 评注：结果要还原成 n 的表达式. 例 2.（2005 江西卷）已知数列an的前 n 项和 Sn满足 SnSn2=3求数列an的通项公式., 2 3 , 1),3() 2 1 ( 21 1 SSn n 且 解

22、：方法一：因为),3() 2 1 (3 1 112 naaaaSS n nnnnnn 所以 以下同例 1，略 答案 .,) 2 1 (34 ,) 2 1 (34 1 1 为偶数 为奇数 n n a n n n 4.形如型4.形如型)( 1 nfaa nn （1）若(p 为常数)，则数列为“等积数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;paa nn 1n a （2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.) 1( 1 nfaa nn 例 1. 已知数列,求此数列的通项公式.满足 n a)( ,) 2 1 (, 3 * 1

23、1 Nnaaa n nn 注：同上例类似，略. 5形如,其中)型5形如,其中)型0( , 1 cdcaa nn aa 1 （1）若 c=1 时，数列为等差数列; n a （2）若 d=0 时，数列为等比数列; n a （3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.01且dc n a 方法如下：设,)( 1 nn aca 得,与题设比较系数得) 1( 1 ccaa nn , 1 dcaa nn ,所以dc) 1()0( , 1 c c d 所以有：) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn 因此数列构成以为首项，以 c 为公比的等比数列， 1c d an 1 1

24、 c d a 所以 1 1 ) 1 ( 1 n n c c d a c d a 即：. 1 ) 1 ( 1 1 c d c c d aa n n 规律：将递推关系化为,构造成公比为 c 的等比数列从而求得通项公式dcaa nn 1 ) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn 1 c d an ) 1 ( 1 1 1 1 c d ac c d a n n 有时我们从递推关系中把 n 换成 n-1 有,两式相减有从而化为公比dcaa nn 1 dcaa nn 1 )( 11 nnnn aacaa 为 c 的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较

25、 1nn aa )( 121 aacaa n nn 复杂. 例 1已知数列中，求通项. n a, 2 1 2 1 , 2 11 nn aaa n a 分析：两边直接加上,构造新的等比数列。 1c d 解：由得, 2 1 2 1 1 nn aa) 1( 2 1 1 1 nn aa 所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列1 n a11 1 a 2 1 所以,即 . 1 ) 2 1 (1 n n a1) 2 1 ( 1 n n a 方法二：由 , 1 dcaa nn 时，2n, 1 dcaa nn 两式相减得 )( 11 nnnn aacaa ,c aa aa nn nn 1 1 数列是以=为首项

26、，以 c 为公比的等比数列. 1 nn aa 12 aa dac 1 ) 1( 1212 1223 3 1221 2 121 )( )( )( aaaa caaaa caaaa caaaa n nn n nn )1)( 2121 nn ccaaaa =( . c c aa n 1 1 ) 1 12 1 ) 1 ( 1 c d c c d aa n n 方法三：迭代法 由 递推式, 1 dcaa nn 直接迭代得) 1()( 2 2 21 cdacddcacdcaa nnnn = )1 ( 2 3 3 ccdac n )1 ( 22 1 1 nn cccdac =. 1 ) 1 ( 1 c d

27、c c d a n 方法四：归纳、猜想、证明. 先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明. 321 ,aaa n a 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 6.形如型6.形如型)( 1 nfpaa nn .(1)若(其中 k,b 是常数，且)bknnf)(0k 方法：相减法 例1.在数列中，求通项. n a,23, 1 11 naaa nn n a 解：， ,23 1 naa nn 时，2n) 1(23 1 naa nn 两式相减得 .令,则2)( 3 11 nnnn aaaa nnn aab 1 23 1 nn bb 利用类型 5 的方法知235 1 n n b 即 135

28、 1 1 n nn aa 再由累加法可得. 2 1 3 2 5 1 na n n 亦可联立 解出. 2 1 3 2 5 1 na n n 例 2. 在数列中，,求通项. n a362 , 2 3 11 naaa nnn a 解：原递推式可化为ynxayxna nn ) 1()(2 1 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 1 2 nn bb 所以是一个等比数列，首项,公比为. n b 2 9 96 11 nab 2 1 即： 1 ) 2 1 ( 2 9 n n b n n na) 2 1 (996 故.96) 2 1 (9na n n (2)若(其中 q 是常数，且 n0,1) n qnf

29、)( 若 p=1 时，即：，累加即可. n nn qaa 1 若时，即：，1p n nn qapa 1 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以. 1n p 即： ,令，则, n n n n n q p pq a p a )( 1 1 1 n n n p a b n nn q p p bb)( 1 1 然后类型 1，累加求通项. ii.两边同除以 . 即： , 1n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 令,则可化为.然后转化为类型 5 来解， n n n q a b q b q p b nn 1 1 iii.待定系数法： 设. .通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项

30、.)( 1 1 n n n n papqa 例 1.（2003 天津理） 设为常数，且 0 a)(23 1 1 Nnaa n n n 证明对任意1，；n 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 aa nnnnn n 证法 1：两边同除以（-2）,得 nn n n n n aa ) 2 3 ( 3 1 )2()2( 1 1 令,则 n n n a b )2( n nn bb) 2 3 ( 3 1 1 112211 )()()(bbbbbbbb nnnnn = 2 ) 2 3 () 2 3 () 2 3 ( 3 1 121 a nn =)21 ( 2 1 ) 2 3 (1 ) 2 3 (1 ) 2

31、 3 ( 3 1 0 12 a n = 0 1) 2 3 ( 5 1 a n . n n n ba)2( 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 a nnnnn 证法 2：由得 .)(23 1 1 Nnaa n n n 1 1 33 2 3 1 3 n n n n aa 设，则 b. 即：, n n n a b 3 3 1 3 2 1 nn b) 5 1 ( 3 2 5 1 1 nn bb 所以是以为首项，为公比的等比数列. 5 1 n b) 5 1 ( 3 2 5 1 01 ab 3 2 则=, 1 0 ) 3 2 )( 5 1 ( 3 2 5 1 n n ab( nn a) 3 2 ()

32、1)( 5 1 1 0 即：, 5 1 ) 3 2 () 1)( 5 1 ( 3 1 0 nn n n n ab a 故 . 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 aa nnnnn n 评注：本题的关键是两边同除以 3，进而转化为类型 5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项 n 问题. 证法 3：用待定系数法 设, 即:,)3(23 1 1 n n n n aa 1 1 352 n nn aa 比较系数得：,所以 所以,15 5 1 )3 5 1 (23 5 1 1 1 n n n n aa 所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 5 3n n a 5 3

33、1 a 即 . ).()2)( 5 3 21 ( 5 3 1 0 Nnaa n n n 0 1 2) 1(2) 1(3 5 1 aa nnnnn n 方法 4：本题也可用数学归纳法证. （i）当 n=1 时，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假设当 n=k（k1）等式成立，则,2) 1(2) 1(3 5 1 0 1 aa kkkk k 那么 0 11 1 2) 1(2) 1(3 5 2 323aaa kkkkkk k k k .2) 1(2) 1(3 5 1 0 1111 a kkkkk 也就是说，当 n=k+1 时，等式也成立. 根据（i）和（ii） ，可知等式对任何 nN，成立.

34、 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.)( 1 nfpaa nn 1n p 7.形如型7.形如型 sra qpa a n n n 1 （1）即 取 取倒数法.0, 0,qsrp sra pa a n n n 1 1 例 1. 已知数列中，求通项公式。 n a2 1 a)2( 12 1 1 n a a a n n nn a 解：取倒数： 2 11 1nn aa 2 11 1 nn aa . 34 2 2 3 22) 1( 11 1 n a nn aa n n 例 2.（湖北卷） 已知不等式为大于 2 的整数，表示不超过的最大整数.设数列nn n 其中,log 2

35、11 3 1 2 1 2 log2nn 2 log 的各项为正，且满足 n a , 4 , 3 , 2,),0( 1 1 1 n an na abba n n n （）证明, 5 , 4 , 3, log2 2 2 n nb b an 分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题. 证：当, 111 , 0 , 2 11 1 1 1 nana an aan na an nn n nn n n 时 即 于是有 , 111 1 naa nn . 111 , 3 111 , 2 111 12312 naaaaaa nn 所有不等式两边相加可得 . 1 3 1 2 111 1 naan 由已知不等式

36、知，当 n3 时有，.log 2 111 2 1 n aan . log2 2 . 2 log2 log 2 111 , 2 2 21 nb b a b nb n ba ba n n 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得. 2.形如型),( 1 为定值qpm qa pma a n n n 方法：不动点法: 我们设,由方程求得二根x,y,由有 qx pmx xf )(xxf)( qa pma a n n n 1 qa xa qx pmq qx pmx qa pma xa n n n n n 1 同理,两式相除有,从而得 qa ya qy pmq qy pmy qa

37、 pma ya n n n n n 1 ya xa qx qy a xa n n yn n 1 1 ,再解出即可. ya xa qx qy ya xa n n n 1 11 1 1 )( n a 例 1. 设数列an满足,求an的通项公式. 72 45 , 2 11 n n n a a aa 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数 t,得： , 72 52 47 )52( 72 7)52( 72 45 1 n n n n n n n a t t a t a tat t a a ta 令, 解之得 t=1,-2 代入得 52 47 t t t 72 )52( 1 n

38、n n a ta tta , 72 1 31 1 n n n a a a 72 2 92 1 n n n a a a 相除得,即是首项为， 2 1 3 1 2 1 1 1 n n n n a a a a 2 1 n n a a 4 1 2 1 1 1 a a 公比为的等比数列, =, 解得. 3 1 2 1 n n a a n 1 3 4 1 134 234 1 1 n n n a 方法 2：, ， 72 1 31 1 n n n a a a 两边取倒数得， 1 3 3 2 ) 1( 3 9) 1(2 ) 1( 3 72 1 1 1 nn n n n n aa a a a a 令 b，则 b,转化为类型 5 来求. 1 1 n n a nn b3 3 2 , 8.形如(其中 p,q 为常数)型8.形如(其中 p,q 为常数)型 11 nnn qapaa （1）当 p+q=1 时 用转化法 例 1.数列中，若,且满足,求. n a2, 8 21 aa034 12 nn