高考数学复习练习第3部分专题一第二讲“4道”保分题专练卷（一～四）

1、“4 道”保分题专练卷(一) 1已知ABC 为锐角三角形，向量 m(3cos2A，sin A)，n(1，sin A)，且 mn. (1)求 A 的大小； (2)当pm，qn(p0，q0)，且满足 pq6 时，求ABC 面积的最大值AB AC 解：(1)mn，3cos2Asin2A0. 3cos2A1cos2A0， cos2A . 1 4 又ABC 为锐角三角形， cos A ， 1 2 A . 3 (2)由(1)可得 m，n. ( 3 4， 3 2 )( 1， 3 2 ) |p，|q.AB 21 4 AC 7 2 SABC |sin Apq. 1 2 AB AC 21 32 又pq6，且 p0

2、，q0， ，pq pq 2 即3.pq pq9. 故ABC 的面积的最大值为9. 21 32 189 32 2某工厂有 120 名工人，且年龄都在 20 岁到 60 岁之间，各年龄段人数按20,30)， 30,40)，40,50)，50,60分组，其频率分布直方图如图所示工厂为了开发新产品，引进了 新的生产设备，要求每名工人都要参加 A、B 两项培训，培训结束后进行结业考试已知各 年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示 假设两项培训是相互独立的， 结业考 试也互不影响 年龄分组A 项培训成绩优秀人数B 项培训成绩优秀人数 20,30)3018 30,40)3624 40,50)129

3、50,6043 (1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 40 的样本，求各年龄段应分别抽取的 人数； (2)随机从年龄段20,30)和30,40)内各抽取 1 人，设这两人中 A、B 两项培训结业考试成 绩都优秀的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段20,30)，30,40)，40,50)，50,60内的人数的频 率分别为 0.35,0.4,0.15,0.1. 0.354014,0.44016,0.15406,0.1404， 在年龄段20,30)，30,40)，40,50)，50,60内应抽取的人数分别为 14,16,6,4. (2)在年龄段2

4、0,30)内的人数为 1200.3542(人)，从该年龄段任取 1 人，由表知，此 人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为 ， 30 42 5 7 18 42 3 7 此人 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为 . 5 7 3 7 15 49 在年龄段30,40)内的人数为 1200.448(人)， 从该年龄段任取 1 人， 由表知， 此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为 ，此 36 48 3 4 24 48 1 2 人 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为 . 3 4 1 2 3 8 由题设知，X 的

5、可能取值为 0,1,2， P(X0)， ( 115 49)(1 3 8 ) 85 196 P(X1) ， 15 49 ( 13 8 ) ( 115 49) 3 8 177 392 P(X2) ， 15 49 3 8 45 392 X 的分布列为 X012 P 85 196 177 392 45 392 X 的数学期望为 E(X)012. 85 196 177 392 45 392 267 392 3设正项数列an的前 n 项和是 Sn，若an和都是等差数列，且公差相等Sn (1)求an的通项公式； (2)若 a1，a2，a5恰为等比数列bn的前三项，记 cn，数列cn的前 1 log34bn1

6、log34bn2 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)设an的公差为 d，则 Snna1， nn1d 2 即 ，Sn d 2n 2 ( a1d 2)n 由是等差数列，得到Error!Sn 则 d 且 d2a10， d 2 所以 d ， 1 2 a1 ， d 2 1 4 an (n1) . 1 4 1 2 2n1 4 (2)由 b1a1 ，b2a2 ，b3a5 ，得等比数列bn的公比 q3， 1 4 3 4 9 4 所以 bn 3n1， 1 4 所以 cn ， 1 log33nlog33n1 1 nn1 1 n 1 n1 Tn1 1. 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 n1 n

7、n1 4.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，CD (R) 1 CC (1)当 时，求证：AB1平面 A1BD; 1 2 (2)当二面角 AA1DB 的大小为 时，求实数 的值 3 解：(1)证明：取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC平面 CBB1C1，且ABC 为正三角形，所以 AOBC，AO平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 A(0,0，)， B1(1,2,0)， D(1,1,0)， A1(0,2，)， B(1,0,0) 所33 以(1,2， )， (1,1，)，(2，1,

8、0) 1 AB 3 1 DA 3DB 因为1230，220， 1 AB 1 DA 1 AB DB 所以 AB1DA1，AB1DB，又 DA1DBD， 所以 AB1平面 A1BD. (2)由(1)得 D(1,2，0)，所以(1,22，)，(2，2，0)，(1， 1 DA 3DB DA 2，)3 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1(x，y，z)，平面 AA1D 的一个法向量为 n2(s，t，u)， 由Error!得平面 A1BD 的一个法向量为 n1. ( ，1，2 3 ) 同理可求得平面 AA1D 的一个法向量为 n2(，0，1)，3 由|cosn1，n2| ，解得 ， |n1n2| |n1

9、|n2| 1 2 1 4 故 的值为 . 1 4 “4 道”保分题专练卷(二) 1已知函数 f(x)4sin xcos(0)的最小正周期为 . ( x 3) 3 (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值 4， 6 解：(1)f(x)4sin x ( cos xcos 3sin xsin 3) 3 2sin xcos x2sin2x33 sin 2xcos 2x3 2sin. ( 2x 3) T，1. 2 2 f(x)2sin. ( 2x 3) (2) x ， 2x . 4 6 6 3 2 3 sin1，即1f(x)2， 1 2 ( 2x 3

10、) 当 2x ，即 x 时，f(x)min1； 3 6 4 当 2x ，即 x时，f(x)max2. 3 2 12 2已知正方形 ABCD 的边长为 2，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中 点 (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P，求|PH|的概率；2 (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距 离为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 E() 解：(1)这是一个几何概型所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部，其面积是 224.满足|PH|的点 P 构成的平面区域2 是以 H 为圆心，为半径的圆的内部与正方形

11、 ABCD 内部的公共部分，2 它可以看作是由一个以 H 为圆心，为半径， 圆心角为 的扇形 HEG 的2 2 内部(即四分之一个圆)与两个直角边为 1 的等腰直角三角形(AEH 和DGH)的内部构成的， 其面积是 ()22 11 1. 1 4 2 1 2 2 所以|PH|的概率为 .2 21 4 8 1 4 (2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中，任意选取两个点，共可构成 C 28 条 2 8 不同的线段 其中长度为 1 的线段有 8 条，长度为的线段有 4 条，长度为 2 的线段有 6 条，长度2 为的线段有 8 条，长度为 2的线段有 2 条52 所以 所有可能的取值为 1

12、， ，2， ，2.252 P(1) ，P() ，P(2)，P() ，P(2) 8 28 2 7 2 4 28 1 7 6 28 3 14 5 8 28 2 7 2 . 2 28 1 14 所以随机变量 的分布列为 12252 2 P 2 7 1 7 3 14 2 7 1 14 随机变量 的数学期望为 E()1 2 2. 2 7 2 1 7 3 14 5 2 7 2 1 14 52 22 5 7 3.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AC AA12AB2，BAC90， 点 D 是侧棱 CC1延长线上一点， EF 是平面 ABD 与平面 A1B1C1的 交线 (1)求

13、证：EFA1C； (2)当平面 DAB 与平面 CA1B1所成锐二面角的余弦值为时，求 DC1的长 26 26 解：(1)证明：三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱， 平面 ABC平面 A1B1C1. 又平面 ABC平面 ABDAB，平面 A1B1C1平面 ABDEF， EFAB. 三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，且BAC90， ABAA1，ABAC. 而 AA1ACA，AB平面 ACC1A1. 又 A1C平面 ACC1A1， ABA1C. EFA1C. (2)建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 设 C1Dt(t0)， 则 B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,2t)，A

14、1(0,0,2)，B1(1,0,2) (1,0,0)，(0,2，2) 11 AB 1 AC 设平面 CA1B1的一个法向量为 n(x1，y1，z1)， 则Error!得Error!令 z11，则 y11， n(0,1,1) 同理可求得平面 DAB 的一个法向量为 m. ( 0，1， 2 t2) 由|cosn，m|，| 1 2 t2| 2 1( 2 t2 ) 2 26 26 得 t1 或 t (舍去) 2 3 DC11. 4已知数列an的前 n 项和 Snan n12(nN*)，数列bn满足 bn2nan. ( 1 2 ) (1)求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式； (2)设 cnl

15、og2，数列的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn(nN*)的 n 的最大值 n an 2 cncn2 25 21 解：(1)在 Snan n12 中，令 n1，可得 S1a112a1，即 a1 . ( 1 2 ) 1 2 当 n2 时，Sn1an1 n22， ( 1 2 ) anSnSn1anan1 n1， ( 1 2 ) 2anan1 n1，即 2nan2n1an11. ( 1 2 ) bn2nan， bnbn11，即当 n2 时，bnbn11. 又 b12a11， 数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列 于是 bn1(n1)1n2nan，an. n 2n (2)cnlog2log22nn

16、， n an ， 2 cncn2 2 nn2 1 n 1 n2 Tn1 . ( 11 3 ) ( 1 2 1 4 ) ( 1 3 1 5 )( 1 n1 1 n1) ( 1 n 1 n2) 1 2 1 n1 1 n2 由 Tn，得 1 ， 25 21 1 2 1 n1 1 n2 25 21 即. 1 n1 1 n2 13 42 设 f(n)(nN*)， 1 n1 1 n2 则 f(n)单调递减， 1 n1 1 n2 f(4)，f(5)， 11 30 13 42 n 的最大值为 4. “4 道”保分题专练卷(三) 1 (2013陕西五校联考)已知向量 m(sin x，sin x)， n(sin

17、x， cos x)， 设函数 f(x)3 mn，若函数 g(x)的图像与 f(x)的图像关于坐标原点对称 (1)求函数 g(x)在区间上的最大值，并求出此时 x 的值； 4， 6 (2)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，A 为锐角，若 f(A)g(A) ，b 3 2 c7，ABC 的面积为 2，求边 a 的长3 解：(1)由题意得 f(x)sin2xsin xcos xsin 2x sin，3 1cos 2x 2 3 2 1 2 ( 2x 6) 所以 g(x) sin. 1 2 ( 2x 6) 因为 x，所以 2x . 4， 6 6 2 3 ， 6 所以当 2x ，即 x 时， 6 2 6 函数 g(x)在区间上的最大值为 . 4， 6 1 2 (2)由 f(A)g(A) ，得 3 2 1sinsin ， ( 2A 6) ( 2A 6) 3 2 化简得 cos 2A ， 1 2 又因为 0A0)，则 A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(1,0,0)，E，P(0，t)3 ( 0，0， t 2) 3 由(1)知，平面 PBD 的一个法向量为 n1(1,0,0)，设平面