多自由度自由振动.ppt

1、工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析,单层工业厂房,水塔,有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进行分析,多层房屋、高层建筑,不等高厂房排架和块式基础,10-5 多自由度体系的自由振动,按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各有其适用范围。多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。,1、刚度法：（建立力的平衡方程） 两个自由度的体系,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,质点动平衡方程:,即:,设:,结构位移形状保持不变

2、的振动形式称为主振型或振型.,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).,振型计算公式,频率计算公式,频率方程,振型方程,与2相应的第二振型：,因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求与1相应的第一振型：,2 的两个根均为实根；,矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主 子式全部大于零。,故矩阵k为正定矩阵。,k11k22-k12k210,2 的两个根均为正根；,与2相应的第二振型：,求与1相应的第一振型：,多自由

3、度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应。,几点注意： 12必具有相反的符号。 多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振频率由特征方程求出。 每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 自振频率和主振型是体系本身的固有特性。,一般解：,在这种特定的初始条件下出现的 振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。, 0, 0,例,质量集中在楼层上m1、m2 ，,层间侧移刚度为k1、k2,k21,k11,解：求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22,k12,k22=k2 ,

4、k12=k2,1)当m1=m2=m,k1=k2=k,代入频率方程：,求振型：,1第一主振型：,Y21=1.618,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,Y22=0.618,Y12=1,第二主振型,2)当m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2,求频率：,求振型：,如n=90时,当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,例 试求图示体系的频率和振型,解,(1)求刚度系数,(2)求频率,解得,(3)求振型,例 求图所示两层刚架的自振频率和振型。已知横梁为刚性，各立柱的抗弯刚度，立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1= m2=

5、5000 kg，每层的高度5 m。,解：两个自由度体系，设m1的位移为y1，m2的位移为y2,2、柔度法,建立振动微分方程：（建立位移协调方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力,作用下所产生的静力位移。,柔度法建立的振动微分方程,频率方程,振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全为零。,求得频率：,频率方程和自振频率：,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动,Y1 ，Y2是质点位移幅值,体系频率的数目总等于其自由度数目,主振型(normal mode shape),不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。,第一主振型,第二 主振型,频率的数目总

6、等于其自由度数目,主振型是体系由此主振型惯性力幅值,所引起的静力位移。,例 求简支梁的自振 频率和主振型。,解：1）求柔度系数,求得频率：,求得主振型：,例 求简支梁的自振 频率和主振型。,另解：如果结构本身和质 量分布都是对称的，则主 振型不是对称就是反对称。 故可取半边结构计算 ：,对称情况：,反对称情况：,例 求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI =常数。,解 ：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。,，,当=1时，振型为正对称，则,当=2时，振型为反对称，则,例：求图示体系对称振动情况下的频率。,2,1,0.5,1,1,0.875,0.25,Yij为正时表示质量mi

7、的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,例 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,例 试求结构的自振频率和振型.,解,(1)求柔度系数,(2)求频率,(3)求振型,例 求图示体系的频率、振型,解:,令,y1,yi,yn,ri,动平衡方程：,ri,ri 应满足刚度方程,kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。,.,.,多自由度体系,或：,设解为： y=Ysin(t+),得振幅方程： ( K2 M )Y=0,得频率方程： K2 M0,可求出个频率,与相

8、应的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。,.,.,.,例：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。求自振频率,解：1）求刚度系数：,k,k33=k/5,刚度矩阵K和质量矩阵M：,展开得：234222252250 解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027,2）求频率：代入频率方程： K2 M0,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式： （令Y3i=1）,（a）,Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。,利用刚度法的方程

9、间接导出柔度法方程：,由刚度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0 令=1/2 ( M I )Y=0 得频率方程： M I =0 其展开式:,是关于的n次代 数方程,先求出i 再求出频率i,将i代入 ( M i I )Y(i)=0 可求出n个主振型.,可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。,例：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。=1/k,11=,解：1）求柔度系数：,k,柔度矩阵和质量矩阵M：,21,31,32=4,22=

10、4,13=,23=4,33=9,12=,展开得:,解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151,三个频率为：,3）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前两式：,2）求频率：,解得：,同理可得第二、 第三振型,例 试求结构的自振频率和振型.EI=常数,m,m,l/4,l/4,l/4,l/4,m,解,(1)求柔度系数,(2)求频率,(3)求振型,令每个振型的第一个元素为1，得,几点说明：,1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。,2)发生按振型的自由振动是有条件的.,4)N自由度体系有N个频率和N个振型,频率方程,解频率方程得 ,从小到大排列,依次称作第一频率,第二频率.