附录 截面的几何性质

1、Appendix Properties of Plane Areas,附录 截面的几何性质,附录 截面的几何性质 (Appendix Properties of plane areas),1-1 截面的静矩和形心(The first moments of the area & centroid of an area),1-4 转轴公式 (Rotation of axes),1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia),1-3平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem

2、),1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of an area),一、静矩(The first moment of the area ）,截面对 y , z 轴的静矩为,静矩可正，可负，也可能等于零.,y,z,O,y,z,二、截面的形心(Centroid of an area),（2）截面对形心轴的静矩等于零.,（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.,三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area),由几个简单图形组成的截面称为组合截面.

3、,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.,其中 Ai 第 i个简单截面面积,1.组合截面静矩(The first moments of a composite area),2.组合截面形心(Centroid of a composite area),第 i个简单截面的形心坐标,解：组合图形，用正负面积法解之. 方法1 用正面积法求解. 将截面分为1，2 两个矩形.,例题1 试确定图示截面形心C的位置.,取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘 重合,10,10,120,90,图(a),矩形 1,矩形 2,所以,方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)

4、,1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia),二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）,一、惯性矩(Moment of inertia),所以,y,z,O,三、惯性积 (Product of inertia),（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可 能为正值，负值，也可能等于零；,（2）若y，z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y，z轴的惯性积 一定等于零.,四、惯性半径(Radius of gyration of the area),解：,b,h

5、,y,z,C,例题2 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩.,解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为,例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩.,所以,y,z,O,C(a,b),b,a,一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia),(a , b ) 形心C在 yOz坐标系下的坐标,1-3 平行移轴公式 (Parallel-axis theorem),y,z 任意一对坐标轴,C 截面形心,C(a,b),b,a,yC , zC 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴）,Iy , Iz , Iyz 截面对 y, z 轴的惯

6、性矩和惯性积.,已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式,IyC , IzC , IyCzC 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩 和惯性积.,二、组合截面的惯性矩 、惯性积( Moment of inertia & product of inertia for composite areas ）,组合截面的惯性矩，惯性积,第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩，惯性积.,例题4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩.,解：将截面分成两个矩形截面.,截面的形心必在对称轴 zC 上.,取过矩形 2 的形心且平行于底边的 轴

7、作为参考轴记作 y轴.,所以截面的形心坐标为,20,140,100,20,2,一 、转轴公式 (Rotation of axes),1-4 转轴公式 (Rotation of axes),yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系,y1Oz1为yOz 转过 角后形成的新坐标系,已知截面对坐标轴轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积求截面对 y1，z1 轴惯性矩和惯性积.,转轴公式为,显然,二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principal axes & principal moment of inertia),主惯性轴(Principal axes )：总可以找到一个特定的角0 , 使截面 对新坐标轴y0

8、 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴.,主惯性矩(Principal moment of inertia) ：截面对主惯性轴y0 , z0 的惯性矩.,形心主惯性轴(Centroidal principal axes) ：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.,形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对形心主惯性轴的惯性矩., 求出后，就确定了主惯性轴的位置.,（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角,则有,由此,（2）主惯性矩的计算公式,（3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴.,过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴. 截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即,求形心主惯性矩的方法,（1）确定形心的位置,（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z, 计算 Iy , Iz , Iyz,（3）确定形心主惯性轴的方位,（4）计算形心主惯性矩,例题5 计算所示图形的形心 主惯性矩.,解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.,过形心C选一对座标轴 y z 轴，计算其惯性矩(积).,在第三象限,分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 11