南通市2015届高三三模数学试题含答案

1、.南通市2015届高三第三次调研测试一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合A=3.m.B=3m.3.且A=B.则实数m的值是 2已知复数z=(i为虚数单位).则z的实部为 3已知实数x.y满足条件则z=2x+y的最小值是 （第5题）开始输入xy5x4yx2-2x+2输出y结束YN（第4题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251504为了解学生课外阅读的情况.随机统计了n名学生的课外阅读时间.所得数据都在50.150中.其频率分布直方图如图所示已知在中的频数为100.则n的值为 5在如图所示的算法流

2、程图中.若输出的y的值为26.则输入的x的值为 6从集合1.2.3.4.5.6.7.8.9中任取一个数记为x.则log2x为整数的概率为 7在平面直角坐标系xOy中.点F为抛物线x2=8y的焦点.则F到双曲线的渐近线的距离为 8在等差数列an中.若an+an+2=4n+6（nN*）.则该数列的通项公式an= 9给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“coscos”的必要不充分条件；“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（xR）为奇函数”的充要条件其中正确命题的序号为 10已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm.其表面展开图如图所示.则该空间几何体的体积（第10

3、题）ABCDEF（第11题）PV= cm311如图.已知正方形ABCD的边长为2.点E为AB的中点以A为圆心.AE为半径.作弧交AD于点F若P为劣弧上的动点.则的最小值为 12已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点.则实数m的取值范围为 13在平面直角坐标系xOy中.过点P（-5.a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线.切点分别为M(x1.y1).N(x2.y2).且.则实数a的值为 14已知正实数x.y满足.则xy的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题.共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDA1B1C1（第15题）E

4、15（本小题满分14分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.B1CAB.侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D.E分别为A1C1.BB1的中点.求证：DE平面ABC1xyO2-2（第16题）16（本小题满分14分）已知函数（其中A.为常数.且A0.0.）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的解析式； （2）若.求的值17（本小题满分14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆(ab0)的两焦点分别为F1(.0).F2(.0).且经过点(.)（1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点B.C.D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点.点B与点D关于原点O对称设直线C

5、D.CB.OB.OC的斜率分别为k1.k2.k3.k4.且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17题）D求k1k2的值；求OB2+OC2的值18（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活.市政府计划在一块半径为200 m.圆心角为120的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区.其中A.B分别在半径OP.OQ上.C.D在圆弧上.CDAB；OAB区域为文化展示区.AB长为m；其余空地为绿化区域.且CD长不得超过200 mABCDPQ（第18题）O（1）试确定A.B的位置.使OAB的周长最大？（2）当OAB的周长最大时.设DOC=.试将运动休闲区ABCD的面积S表示为

6、的函数.并求出S的最大值19（本小题满分16分）已知数列an.bn中.a1=1.nN*.数列bn的前n项和为Sn（1）若.求Sn；（2）是否存在等比数列an.使对任意nN*恒成立？若存在.求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在.说明理由；（3）若a1a2an.求证：0Sn220（本小题满分16分）已知函数（aR）（1）若a=2.求函数在(1.e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点.求a的取值集合；（3）若有两零点x1.x2(x1x2).求证：2x1+x2-121【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两题.并在相应的答题区域内作答 若多做.则按作答的前

7、两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）CABOP（第21（A）题）H如图.BC为圆O的直径.A为圆O上一点.过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P.AHPB于H求证：PAAH=PCHBB选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中.已知点A（0.0）.B（2.0）.C（1.2）.矩阵.点A.B.C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为.求的面积C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为（为参数.r为常数.r0）以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的

8、极坐标方程为若直线l与曲线C交于A.B两点.且.求r的值D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数a.b.c.d满足abcd.求证：【必做题】第22、23题.每小题10分.共计20分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出ABCDA1B1C1D1（第22题） 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上.若二面角E-BD-C1的余弦值为.求的值23（本小题满分10分）袋中共有8个球.其中有3个白球.5个黑球.这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球.如果取出白球.则把它放回袋中；如果取出黑球

9、.则该黑球不再放回.并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后.袋中白球的个数记为Xn （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式南通市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1【答案】0 2【答案】3 3【答案】-3 4【答案】1000 5【答案】-46【答案】 7【答案】 8【答案】2n+1 9【答案】 10【答案】11【答案】 12【答案】（-5.0） 13【答案】3或-2 14【答案】1.二、解答题：本大题共6小题.共计90分请

10、在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDA1B1C1（第15题）E15（本小题满分14分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中.B1CAB.侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D.E分别为A1C1.BB1的中点.求证：DE平面ABC1解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形.故B1CBC12分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF又B1CAB.且AB.BC1为平面ABC1内的两条相交直线.故B1C平面ABC1 5分因B1C平面BCC1B1.故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如图.取AA1的中点

11、F.连DF.FE又D为A1C1的中点.故DFAC1.EFAB因DF平面ABC1.AC1平面ABC1.故DF面ABC1 10分同理.EF面ABC1因DF.EF为平面DEF内的两条相交直线.故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF.故DE面ABC114分xyO2-2（第16题）16（本小题满分14分）已知函数（其中A.为常数.且A0.0.）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的解析式； （2）若.求的值解：（1）由图可知.A=2.2分T=.故.所以.f(x) =4分又.且.故于是.f(x) =7分（2）由.得9分所以.12分=14分17（本小题满分14分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆

12、(ab0)的两焦点分别为F1(.0).F2(.0).且经过点(.)（1）求椭圆的方程及离心率；yxOF1F2BC（第17题）D （2）设点B.C.D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点.点B与点D关于原点O对称设直线CD.CB.OB.OC的斜率分别为k1.k2.k3.k4.且k1k2=k3k4 求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一依题意.c=.a2=b2+3.2分由.解得b2=1(b2=.不合.舍去).从而a2=4故所求椭圆方程为： 离心率e=5分方法二由椭圆的定义知.2a=4.即a=22分又因c=.故b2=1下略（2）设B(x1.y1).C(x2.y2).则D(-x1.-y1).于是

13、k1k2=8分方法一由知.k3k4=k1k2=.故x1x2=所以.(x1x2)2=(-4y1y2)2.即(x1x2)2=.所以.=411分又2=.故所以.OB2+OC2 =514分方法二由知.k3k4=k1k2=将直线y=k3x方程代入椭圆中.得9分同理.所以.=411分下同方法一18（本小题满分16分）ABCDPQ（第18题）O为丰富市民的文化生活.市政府计划在一块半径为200 m.圆心角为120的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区.其中A.B分别在半径OP.OQ上.C.D在圆弧上.CDAB；OAB区域为文化展示区.AB长为m；其余空地为绿化区域.且CD长不得

14、超过200 m（1）试确定A.B的位置.使OAB的周长最大？（2）当OAB的周长最大时.设DOC=.试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数.并求出S的最大值解：（1）设.在中.即.2分所以.4分所以.当且仅当m=n=50时.取得最大值.此时周长取得最大值ABCDPQ（第18题答图）OEF答：当都为50 m时.的周长最大6分（2）当AOB的周长最大时.梯形ACBD为等腰梯形过作OFCD交CD于F.交AB于E.则分别为AB.CD的中点.所以.由.得8分在中.又在中.故10分所以.=.12分（一直没有交代范围扣2分）令.又y=及y=在上均为单调递减函数.故在上为单调递减函数因0.故0在上恒成立.

15、于是.在上为单调递增函数 14分所以当时.有最大值.此时S有最大值为答：当时.梯形面积有最大值.且最大值为 m216分19（本小题满分16分）已知数列an.bn中.a1=1.nN*.数列bn的前n项和为Sn（1）若.求Sn；（2）是否存在等比数列an.使对任意nN*恒成立？若存在.求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在.说明理由；（3）若a1a2an.求证：0Sn2解：（1）当an=时.bn=2分所以.Sn=4分（2）满足条件的数列an存在且只有两个.其通项公式为an=1和an=证明：在中.令n=1.得b3=b1设an=.则bn=6分由b3=b1.得若q=.则bn=0.满足题设条件此时

16、an=1和an=8分若q.则.即q2 =1.矛盾综上.满足条件的数列an存在.且只有两个.一是an=1.另一是an=10分（3）因1=a1a2an.故.01.于是01所以.0.n=1.2.3.所以.Sn=b1+b2+bn013分又.=故.Sn=b1+b2+bn=2所以.0Sn216分20（本小题满分16分）已知函数（aR）（1）若a=2.求函数在(1.e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点.求a的取值集合；（3）若有两零点x1.x2(x1x2).求证：2x1+x2-1解：（1）由题设.=.故在(1.e2)上单调递减2分所以在(1.e2)上至多只有一个零点又0.故函数在(

17、1.e2)上只有一个零点4分（2）=.令=0.得x=1当x1时.0.在上单调递减；当0x1时.0.在(0.1)上单调递增.故=f(1)=a-16分当=0.即a=1时.因最大值点唯一.故符合题设；8分当0.即a1时.f(x)0恒成立.不合题设；当0.即a1时.一方面.1.0；另一方面.1.2a-ea0(易证：exex).于是.f(x)有两零点.不合题设综上.a的取值集合为110分（3）证：先证x1+x22依题设.有a=.于是记=t.t1.则.故于是.x1+x2=x1(t+1)=.x1+x2-2=记函数g(x)=.x1因0.故g(x)在上单调递增于是.t1时.g(t)g(1)=0又lnt0.所以.

18、x1+x2213分再证x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0.故x1.x2也是h(x)的两零点由=a-1-lnx=0.得x=(记p=)仿（1）知.p是h(x)的唯一最大值点.故有 作函数h(x)=.则0.故h(x)单调递增故.当xp时.h(x)h(p)=0；当0xp时.h(x)0于是.ax1-1=x1lnx1整理.得0.即.0同理.0 故.于是.综上.2x1+x2-116分21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两题.并在相应的答题区域内作答 若多做.则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）C

19、ABOP（第21（A）题）H如图.BC为圆O的直径.A为圆O上一点.过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P.AHPB于H求证：PAAH=PCHB证：连AC.AB因BC为圆O的直径.故ACAB又AHPB.故AH2=CHHB.即5分CABOP（第21（A）题答图）H因PA为圆O的切线.故PAC=B在RtABC中.B+ACB=90在RtACH中.CAH+ACB=90所以.HAC=B所以.PAC=CAH.所以.即所以.即PAAH=PCHB10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中.已知点A（0.0）.B（2.0）.C（1.2）.矩阵.点A.B.C在矩阵M对应的变换作用下

20、得到的点分别为.求的面积解：因.即6分故10分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为（为参数.r为常数.r0）以原点O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C交于A.B两点.且.求r的值解：由.得.即直线l的方程为3分由得曲线的普通方程为.圆心坐标为.6分所以.圆心到直线的距离.由.则10分D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数a.b.c.d满足abcd.求证：证：因abcd.故a-b0.b-c0.c-d0 故.6分所以.10分【必做题】第22、23题.每小题10分.共计20分请在答题卡指

21、定区域内作答.解答时应写出ABCDA1B1C1D1（第22题） 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上.若二面角E-BD-C1的余弦值为.求的值解：（1）以为原点.DA.DC.DD1分别为轴.轴.轴.ABCDA1B1C1D1（第22题答图）xyz建立如图所示空间直角坐标系D-xyz设.则D（0.0.0）.A（1.0.0）.B（1.1.0）.C（0.1.0）.D1（0.0.2）.A1（1.0.2）.B1（1.1.2）.C1（0.1.2） 2分（1）设与面所成角的大小为.设平面的法向量为n=（x.y.z）.则.即令.则.所以.所以与平面所成角的正弦值为6分（2）设E(1.0.).02设平面的法向量为n1=（x1.y1.z1）.平面的法向量为n2=（x2.y2.z2）.由.得.令.则.由.得.令z2=1.则x2