北京高考理科数学试题及(word)

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） （北京卷） 本试卷共 5 页，150 分，考试时长120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 0， 1，B x|1x 1，则AI B （1）已知集合A1， 开始 i=0, S=1 S2+1 2S+1 A00C0， 1D1， 0， 1B1， 2 （2）在复平面内，复数2i对应的点位于（） S= A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 （3）“”是“曲线y

2、 sin2x过坐标原点”的（） A充分而不必要条件 C充分必要条件 2 3 i=i+1 i2 是 输出S 结束 否B必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A1BC 13610 D 21987 （5）函数fx的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线y ex关于y轴对称，则fx Aex1Bex1Cex1Dex1 x2y2 （6）若双曲线 2 2 1的离心率为3，则其渐近线方程为 ab Ay 2x 1 By 2xCy x 2 Dy 2 x 2 （7）直线l过抛物线C:x2 4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于 A 4 3 8 B

3、2C 3 D 16 2 3 2x y 1 0， （8）设关于x，y的不等式组x m 0，表示的平面区域内存在点Px 0 ，y 0 ，满足x 0 2y 0 2，求得m的取 y m 0 值范围是 4 1 2 A， B， C， 333 5 D， 3 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （9）在极坐标系中，点2， 到直线sin 2的距离等于 6 B （10）若等比数列an满足a 2 a 4 20，a 3 a 5 40，则公比q；前n项和 O S n （11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3， A D P PD:

4、DB 9:16，则PD，AB （12）将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少1 张，如 果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 rrrrrr （13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c a b，R R， 则 a a b b c c A1 D1 B1 D A P B E C1 （14）如图，在棱长为 2 的正方体ABCD A 1B1C1D1 中，E为BC的中点，点P在线段D 1E 上，点P到直线CC 1 的距离的最小值为 三、解答题共 6 小题，共 50 分解答应写出文字说明，演算步骤 （15）本小题共（13 分） 在ABC中，a

5、 3，b 2 6，B 2A （）求cosA的值； （）求c的值 （16） （本小题共 13 分） C 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指 数大于 200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留2 天 空 气 质 量 指 数 250 200 150 100 50 25 86 57 220 160 143 217 160 158 121 86 40 79 37 日期 0 1日2日 3日 4日5日6日 7日 8日 9日10日11日12日13日14日 （）求此人到达当日空气重

6、度污染的概率； （）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17） （本小题共 14 分） 如图，在三棱柱ABC A 1B1C1 中，AA 1C1C 是边长为 4 的正方形平面ABC 平面 AA 1C1C ，AB 3，BC 5 （）求证：AA 1 平面ABC； （）求证二面角A 1 BC 1 B 1 的余弦值； （）证明：在线段BC 1 上存在点D，使得AD A 1B ，并求 BD BC 的值. 1 （18） （本小题共 13 分） 设l为曲线C : y lnx x 在点1,0处的切线 （）求l

7、的方程； A1 B1 C1 A A B B C C （）证明：除切点1,0之外，曲线C在直线l的下方 （19） （本小题共 14 分） x2 已知A,B,C是椭圆W : y21上的三个点，O是坐标原点. 4 （）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积; （）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. （20） （本小题共 13 分） 已知a n是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n项之后各项a n1,an2 L的最小值 记为B n ，d n A n B n （）若a n为 2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为 4 的数列（即对任意nN*，a n4 a n ） ，写出d 1,d2 ,d 3 ,d 4 的 值; （）设d是非负整数，证明：d n dn 1,2,3L 的充分必要条件为a n是公差为 d的等差数列; （）证明：若a 1 2，d n 1n 1,2,3,L ，则a n的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1.