§_7_空间解析几何与向量代数习题与答案

1、第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6, 7 , 6(=a的单位向量为_. 2、 设已知两点)2 , 0 , 3() 1 ,2, 4( 21 MM和，计算向量 21M M的模，方向余弦和方向角. 3、 设kjipkjinkjim45,742,853+=+=，求向量pnma+=34在 x 轴 上的投影，及在 y 轴上的分向量. 二、 1、设kjibkjia+=2,23，求(1)babababa23)2)(2(及；及(3)a a、b b 的 夹角的余弦. 2、知)3 , 1 , 3(),1 , 3 , 3(),2 , 1, 1 ( 321 MMM，求与 3221 ,MMMM

2、同时垂直的单位向量. 3、设)4 , 1 , 2(),2, 5, 3(=ba，问与满足_时，轴zba+. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为_. 2、方程0242 222 =+zyxzyx表示_曲面. 3、1)将xOy坐标面上的xy2 2 =绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为 xyx2 22 =+ _ _，曲面名称为_. 2)将 xOy 坐标面上的绕 x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _，曲面名称为_. 3)将 xOy 坐标面上的3694 22 = yx绕 x 轴及 y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_，曲面名称为_. 4）在平面解析几何中 2 xy =表示_图形。在

3、空间解析几何中 2 xy =表示_图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1)(4 222 yxz+= (2)(4 22 yxz+= 四、 1、指出方程组 = =+ 3 1 9 y 4 x 22 y 在平面解析几何中表示_图形，在空间解 析几何中表示_图形. 2、求球面9 222 =+zyx与平面1=+ zx的交线在 xOy 面上的投影方程. 3、求上半球 222 0yxaz与圆柱体)0( 22 +aaxyx的公共部分在 xOy 面及 xOz 面上的投影. 五、 1、求过点(3,0,-1)且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程. 2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量 a a=

4、(2,1,1)和 b b=(1,-1,0)的平面方程. 3、求平行于 xOz 面且过点(2,-5,3)的平面方程. 4、求平行于 x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 六、 1、求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1 1 3 2 = = zyx 的直线方程. 2、求过点(0,2,4)且与两平面12 =+ zx,23 = zy平行的直线方程. 3、求过点(2,0,-3)且与直线 =+ =+ 01253 0742 zyx zyx 垂直的平面方程. 4、求过点(3,1,-2)且通过直线 12 3 5 4zyx = + = 的平面方程. 5、求直线 = =+ 0 03 zyx

5、zyx 与平面01=+zyx的夹角. 6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系 1)直线 =+ =+ 72 72 zyx zyx 与直线 11 3 2 1 = = zyx ; 2)直线 4 3 1 2 3 2 = + = zyx 和平面 x+y+z=3. 7、求点(3,-1,2)到直线 =+ =+ 042 01 zyx zyx 的距离. B 1、已知0=+cba（cba,为非零矢量） ，试证:accbba=. 2、),(,1 , 1 , 1, 3bababa=求. 3、 已 知a和b为两非零向量 ，问t取何值时， 向量模|tba +最小？并证明此时)(tbab+. 4、求单位向量n，使an且

6、xn轴，其中)8 , 6 , 3(=a. 5、求过z轴，且与平面052=+zyx的夹角为 3 的平面方程. 6、求过点)2 , 1 , 4( 1 M，) 1, 5 , 3( 2 M，且垂直于07326=+zyx的平面. 7、求过直线 =+ =+ 022 012 zyx zyx ，且与直线 2 l： 211 zyx = =平行的平面. 8、求在平面:1=+zyx上，且与直线 = = 1 1 z y L：垂直相交的直线方程 10、求曲线 = =+ 3 02 22 z xzy 在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲 线？ 11、已知kjOBkiOA3,3+=+=，求OAB的面积 12

7、、.求直线 = =+ 0923 042 zyx zyx 在平面14=+zyx上的投影直线方程. C 1、设向量cba,有相同起点,且0=+cba，其中0=+，,不全为零, 证明:cba,终点共线. 2、求过点) 1, 2 , 1 ( 0 M，且与直线L： 1 2 1 1 2 2 = = +yx 相交成 3 角的直线方程. 3、 过)4 , 0 , 1(且平行于平面01043=+zyx又与直线 21 3 1 1zyx = = + 相交的直线方 程. 4、求两直线 1 L： 110 1 = = zyx 与直线 2 L： 0 2 36 + = = zyx 的最短距离. 5、柱面的准线是xoy面上的圆

8、周（中心在原点，半径为 1） ，母线平行于向量1 , 1 , 1=g， 求此柱面方程. 6、设向量 a,ba,b 非零， 3 ),( , 2 =bab，求 x axba x + 0 lim. 7、求直线 = = ) 1( 2 1 2 : yz yx L绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程. 第七章 空间解析几何与向量代数 11 6 , 11 7 , 11 6 习 题 答 案 A 一、1、 2、 21M M=2, 2 1 cos, 2 2 cos, 2 1 cos=, 3 , 4 3 , 3 2 = 3、a在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、1、1）3) 1()2(2) 1(

9、13=+=ba kji kji ba75 121 213+= = （2）18)(63)2(=baba，kjibaba14210)(22+= （3） 212 3 ),cos( = = ba ba ba 2、2 , 2, 0,1, 4 , 2 3221 =MMMM kji kji MMMMa446 220 142 3221 = = 172 4 , 172 4 , 172 6 = a a 即为所求单位向量。 3、=2 三、1、14)2()3() 1( 222 =+zyx 2、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 3、1) xzy2 22 =+,旋转抛物面 xzyx2)2 222 =+,球面 3

10、)绕 x 轴：36994 222 =zyx旋转双叶双曲面 绕 y 轴：36944 222 =+yzx旋转单叶双曲面 4、抛物线，抛物柱面 5、 四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平 面的交线。 2、 = =+ 0 822 22 z yxx 3、在 xoy 面的投影为： = + 0 ) 2 ( 222 z ay a x 在 xOz 面的投影为： = + 0 222 y azx 五、1、04573=+zyx 2、0) 1(3) 1(1) 1(1=+zyx 3、05=+y 4、029= zy 六、1、 5 3 1 2 2 1 = = zyx 2、 1 4

11、3 2 2 = = zyx 3、065111416=zyx 4、0592298=zyx 5、0 6、1）垂直 2）直线在平面上 7、 2 23 B 1、证明思路：0=+cba，0)(=+cbaa 即0=+cababa，又0=aa， accaba= 同理得 cbba= 2、思路：),sin(bababa=),cos(bababa=。答案： 6 ),( =ba 3、思路)(2|)()(| 2222 batbtatbatbatba+=+=+ 该式为关于t的一个 2 次方程，求其最小值即可。答案： 2 |b ba t = 4、思路：取ib =，则bnan ,。 答案：)68( 10 1 kjn= 5、

12、思路：平面过z轴，不妨设平面方程为0=+ ByAx，则 0 , ,BAn =，又（BA, 不全为0） 答案：所求平面方程为03=+ yx或0 3 1 =yx 6、法一： ，所求平面法向量 21M Mn，且3 , 2, 6 1 =nn 取10, 3 , 6 326 347 121 = = kji nMMn 又平面过点)2 , 1 , 4( 1 M，则平面方程为071036=+zyx 解法 2. 在平面上任取一点),(zyxM，则 211 MMMM和3 , 2, 6 1 =n 共面，由三向量 共面的充要条件得0 347 326 214 = zyx ，整理得所求平面方程 7、思路：用平面束。设过直线

13、 1 l的平面束方程为0)22(12=+zyxzyx 答案：平面方程为0114311=+zyx 8、思路：求交点) 1, 1 , 1 (，过交点) 1, 1 , 1 (且垂直于已知直线的平面为01=x。 答案： =+ = 1 01 zyx x 9、思路：重力的方向可看作与向量k方向相反 答案：JggMMFW5880600)6()100(3 . 0)2(0 21 =+= 10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为 = =+ 0 092 2 z xy 。原曲线是由旋转抛物面02 22 =+xzy被3=z平面所截的抛物线。 11、思路：| 2 1 OBOAS OAB =

14、，答案： 2 19 12、思路：利用平面束方程。答案 =+ =+ 14 0117373117 zyx zyx C 1、证明：设aOA =，bOB =，cOC =，根据三角形法则。则abAB=，acAC=， bcBC=。根据条件,不全为0，不妨设0，则a ba acAB + = + + = aba 即 AC与AB共线。点CBA,在一条直线上。 2、解：在已知直线L上任取两点)0 , 1 , 2( 1 P，) 1 , 0 , 0( 2 P，则向量 2, 2 , 1, 1, 1 , 3 0201 =MPMP，则构造直线束方程 L： 2 1 2 2 13 1 + = + = + yx ， 表示过点 0

15、 M且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当 L与L成 3 角时，有 3 cos)2(1)2)(1(2) 13( =+，即 2 1 24=， 8 5 = 所求直线方程为 21 1 21 2 23 1 + = = zyx 。 3、解：设所求直线方程为 p z n y m x41 = + 所求直线与已知平面平行，则043=+pnm （1） 又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点)0 , 3 , 1(，则 4, 3 , 0 10 =MM在平面上。三向量共面，得0 430 211= pnm ， 即03410=pnm （2） 由（1） （2） ， 得28:19:16:=pnm 所求直线方程：

16、 28 4 1916 1 = +zyx 4、解：已知两直线的方向向量为0 , 3, 6, 1, 1, 0 21 =SS，故垂直于两方向向量的向 量n可取为kjiSSn663 21 +=，又点)0 , 0 , 1 (在直线 1 L上 过直线 1 L且平行于 2 L的平面为066) 1(3=+zyx，即0122=+zyx，又点 )2, 0 , 0(在直线 1 L上，该点到平面0122=+zyx的距离 1 221 3 222 = + =d为所求两直线间的最短距离。 5、解：设柱面上任意一点),(zyxM，过M作平行于向量g的母线且准线相交于 ) 0 , ,( 000 yxM，又gMM| 0 ，即gMM= 0 ，= 0 xx，= 0 yy，=z。 又 0 M在圆上，1 2 0 2 0 =+yx 1)()( 22 =+yx，即1)()( 22 =+zyzx 6、解： 1 3 cos2 )2 2 )( 2 lim )( )2( lim )( )()( lim )( limlim 2 0 2 2 0 0 22 00 = = + + = + + = + + = + + = + a b