《概率论》期末考试答案及解题思路

1、一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 1设随机事件,A B满足()0P AB =，则下列各选项中正确的是_D_ (A) ,A B互不相容 (B) ,A B独立 (C) ( )0P A =或( )0P B = (D) ()( )P ABP A= 解：因为不可能事件是零概率事件，零概率事件未必是不可能事件，所以选项 A 是错误的； ,A B独立的充分必要条件是()( ) ( )P ABP A P B=，选项 B、C 不一定成立事实上，从 AABAB=+ ，AB AB= ， ()0P AB =可以推出 ( )()()()()

2、P AP ABP ABP ABP AB=+=，所以选项 D 是正确的 2设甲、乙两人独立地向同一目标进行射击，每人射击 1 次，命中率分别为 0.6 和 0.5，则 在目标被击中的条件下，甲击中目标的概率为_C_ (A) 3 5 (B) 5 11 (C) 3 4 (D) 6 11 考点：全概率公式和贝叶斯公式 3某厂产品的次品率为 0.0055，在它生产的 999 件产品中，出现_B_件次品的概率 最大 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 考点：二项分布的最可能取值（课本 P.63 定理 2） 410 个球中只有 1 个红球，有放回地抽取，每次取一个球，设1kn，则随机事件“直 到

3、第n次抽取，红球才第k次出现”的概率为_C_ (A) 19 1010 kn k (B) 19 1010 kn k k n C (C) 1 1 19 1010 kn k k n C (D) 1 1 1 19 1010 kn k k n C 解法一：直接利用负二项分布的分布律求解（课本 P.71） ； 解法二：利用伯努利试验序列求解假设 i A表示“第i次抽取得到红球” ，其中1,2,i =L， 因为是有放回地抽取， 所以每次抽取都是成功概率 1 10 p =的伯努利试验 于是随机事件 “直 到第n次抽取，红球才第k次出现”意味着前1n次抽取中红球出现了1k次而且第n次 抽取一定得到红球，所求概率

4、就是 1 1 1 191 101010 kn k k n C ，即 1 1 19 1010 kn k k n C 5设连续型随机变量的密度函数和分布函数分别为( )f x、( )F x，则下列各选项中正确 的是_A_ (A) 0( )1F x (B) ( )f x在(,) +内连续 (C) ()( )Pxf x= (D) ()( )PxF x= 解：因为均匀分布的密度函数不是连续函数，所以选项 B 是错误的；对于连续型随机变量 而言，对任意的常数值x，总有()0Px= （课本 P.95） ，所以选项 C、D 也是错误的 6设服从正态分布，其密度函数 2 21 1 ( )() xx f xex

5、+ = 3设连续型随机变量的密度函数 cos , 2 ( ) 0, 2 Axx f x x = ，其中A为待定参数，则 2 0 44 P = 解：由( )1f x dx + = 推出 1 2 A=，于是 4 0 2 0( ) 44 Pf x dx = 4设二维离散型随机变量( , ) 的联合分布律为 1 2 3 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 s t 若和相互独立，则 2 9 s =， 1 9 t = 说明：课本 P.164 第 13 题 5设存在非负的数学期望且 2 12 2 E = ， 1 1 22 D = ，则2E= 解：因为 () 2 2 1 112 22 EE = = ，所

6、以() 2 6E= 又因为 11 1 2242 DDD = ，所以2D= 于是 () 22 ()4EED=，2E= 6设在区间( 1, )b上服从均匀分布，若根据切比雪夫不等式可得() 2 12 3 P，则 3b = 解：已知在区间( 1, )b上服从均匀分布，所以 1 2 b E + = 由切比雪夫不等式可知，() 2 1 D PE ，故 1 1 2 b E + =，解得3b= 三、 （共三、 （共 8 分）分）设离散型随机变量的分布律为 2 101 1 12 2 i paa ，求： (1) 参数a的值（4 分） ； (2) 的分布函数（4 分） 解： (1) 由分布律的性质可得120a，

7、2 0a且 2 1 (1 2 )1 2 aa+= 解得 2 1 2 a = (2) 由第(1)题的结论可知的分布律为 101 13 212 22 i p 从而的分布函数 0,1 1 ,10 2 ( )() 1 2,01 2 1,1 x x F xPx x x = = 其它 ，试求： (1) 边缘分布函数( )F x 及边缘密度函数( )fx （6 分） ； (2) (210,210)P 0.5 0,0 ( )( ) 0.5,0 x x d fxF x exdx = (2) (210,210)(10,10)(2,10)(10,2)(2,2)PFFFF=+ 代入数据化简，可得 () 2 15 (2

8、10,210)Pee = 七、 （七、 （12 分）分）设二维随机变量( , ) 的联合密度函数 22 1 ,1 ( , ) 0, xy f x y + = 其它 ，证明： (1) 和不独立（6 分） ； (2) 和不相关（6 分） 证明： (1) 2 2 2 1 1 1 2 1 ,11 ,11 ( )( , ) 0, 0, x x x dyx x fxf x y dy + + = 其它 其它 2 2 2 1 1 1 2 1 ,11 ,11 ( )( , ) 0, 0, y y y dyy y fyf x y dx + + = 其它 其它 因为( , )( )( )f x yfx fy ，所以和不独立 (2) 因为 2 11 2 11 2 12 ( )10 x Ex fx dxxdxxx dx + = ， 最后一个等号成立是因为奇函数在( 1,1)的积分一定等于零 同理 2