公共课优质课向量的减法及其几何意义 (3)

1、2.3 平面向量的坐标表示与运算,2.3 平面向量的坐标表示与运算,2.3 平面向量的坐标表示与运算,2.3 平面向量的坐标表示与运算,复习,平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a= 1 e1+ 2 e2,(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. 1,2是被 a ,e1、e2唯一确定的数量。,a= 1 e1+ 2 e2,复习,G=F1+F2,G=F1

2、+F2叫做重力G的分解,类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1 + 2 a2,新课引入,G与F1,F2有什么关系?,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解,若两个不共线向量互相垂直时,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。,xi,yj,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y

3、叫做a在y轴上的坐标,向量的坐标表示,i= j= 0=,( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ),a = ( x, y ),a,b,相等的向量坐标相同,向量a、b有什么关系?,ab,能说出向量b的坐标吗?,b=( x,y ),两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？,A,如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。,(x,y),因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。,练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.,解：,如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标.,解：,同理，b=-2i+3j=(-2,

4、3),c=-2i-3j=(-2,-3),d=2i-3j=(2,-3),a=(2,3),由a 唯一确定,2点A的坐标与向量a 的坐标的关系？,两者相同,小结：,3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？,2.3.3平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知a ， b ，求a+b，a-b,解：a+b=( i + j ) + ( i + j ),=（ + )i+（ + )j,两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差,2.3.3平面向量的坐标运算,解：,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标,2.

5、3.3 平面向量的坐标运算,例2已知a=（2，1），b=（-3，4），求a+b， a-b，3a+4b的坐标,a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；,3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）,2.3.3 平面向量的坐标运算,例3 已知 平行四边形 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（ 1，3）、（3，4），求顶点D的坐标,解：设顶点D的坐标为（x，y）,2.3.4平面向量共线的坐标表示,如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件? 会得到什么样的重要结论?,向量 与非零向量 平行(共线)的充要 条件是有且只有一个实数 ,

6、 使得,有且只有一个实数，使得,即：（x2 , y2) =(x1 , y1),=(x1 , y1),所以,消去得： x1y2- x2 y1=0,其中,x1y2- x2 y1=0,平面向量共线的坐标表示,向量共线的充要条件的两种表示形式:,x1y2- x2 y1=0,有且只有一个实数,使得,(1),口诀：交叉相乘相等！,典型例题,例7 已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：A、B、C三点共线.,典型例题,练习,已知 求证: A、B、C 三点共线。,若向量 与 共线且 方向相同, 求 x.,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,例8:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐

7、标分别是 。 （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,x,y,O,P1,P2,P,(1),M,解: (1),所以，点P的坐标为,(2),例3:设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。 （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。,直线l上两点 p1 、 p2，在l上取不同于 p1 、p 2的任一点P，则P点与p1 p2的位置有哪几种情形？,能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量 方向确定的取值范围吗？,存在一个实数，使 ，叫做点P分有向线 段 所成的比,设 ， ，P分 所成的比为 ，如何 求P点的坐标呢？,有向线段 的定比分点坐标公式,有向线段