1.3.2奇偶性JJJJJ.ppt

1、,f(x)=x,由此得到f(-x)=-x=-f(x) ，即f(-x)=-f(x). 由此得到f(-x)=- x3 =-f(x),即f(-x)=-f(x). 当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.,从函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？,对于R内任意的一个x，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时我们称函数f(x)=x为奇函数.,函数的奇偶性的定义,一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)奇函数.,知识要点,1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.,2、由函数

2、的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,注意,奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.,知识要点,奇偶函数图象的性质可用于：, 判断函数的奇偶性. 简化函数图象的画法.,注意,（1）判断函数 的奇偶性. （2）如图是函数 图像的一部分，能否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？,（1）奇函数 （2）根据奇函数的图 像关于原点

3、对称,例1 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，,若n为偶数，则它为偶函数. 若n为奇数，则它为奇函数.,例2 判断下列函数的奇偶性：,解：(1) 因为 所以f(x)是奇函数. 因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数. 因为 ，所以f(x)是偶函数.,判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系.,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的

4、必要但不充分条件。,(1) 先求定义域，看是否关于原点对称.,(2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,用定义判断函数奇偶性的步骤：,知识要点,例3：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.,解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-，+ ） 对于定义域中的每一个x，都有 f(-x) = -5x = -f(x) 所以函数f(x)=5x为奇函数.,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,（5）f(x)=0.,（5）对于函数f(x)=0的定义域为（-，+ ） 对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函

5、数.,根据奇偶性, 函数可划分为四类:,（3）对于函数 的定义域为xx0 对于定义域中的每一个x，都有,所以函数 是奇函数.,（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-，+ ） 对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)=3是偶函数.,1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？ 2.反比例函数是奇函数吗？ 3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？ 4.函数的定义域对函数有没有影响？ 5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出一例？ 6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举出一例？,课后思考一下，做一做吧！,例4 判断函数 是否具有奇偶性？,解：当a=0时， 此时函

6、数f(x)为奇函数. 当a0时， 此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立，即函数 既不是奇函数也不是偶函数.,例5 已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当 求（1)f(-1) ； (2)若t0,求f(t).,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数,2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称,课堂小结,3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系 4.奇

7、函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律： 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式,课堂练习,1.判断函数 的奇偶性.,解: 定义域为R f(x)为奇函数.,2.判断函数 的奇偶性 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性,o,y,x,3.已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象.,4.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数.求证：f(x)=0,证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数 所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x) 所以f(x)= -f(x) 所以2f(x)=0 即f(x)=0.,这样的函数有多少个呢？,有无数个，因为f(x)只是解析式的特征，若改变其函数的定义域，显然函数就不同了，例如：f(x)=0,x-3,3，与f(x)=0,x